函数应用题40道汇编(含答案).doc

函数应用题40道汇编一解答题（共40小题）1某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往 A，B两地区收割水稻，其中30台派往 A地区，20台派往 B地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表：每台甲型收割机的租金每台乙型收割机的租金A地区1800元1600元B地区1600元1200元（1）设派往 A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式；（2）若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元，试写出满足条件的所有分派方案；（3）农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由2为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽）问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽3为配合上海迪斯尼游园工作，某单位设计人数的数学模型（nN+）：以f（n）=表示第n时进入人数，以g（n）=表示第n个时刻离开园区的人数；设定以15分钟为一个计算单位，上午9点15分作为第1个计算人数单位，即n=1：9点30分作为第2个计算单位，即n=2；依此类推，把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位：（最后结果四舍五入，精确到整数）（1）试计算当天14点到15点这一个小时内，进入园区的游客人数f（21）+f（22）+f（23）+f（24）、离开园区的游客人数g（21）+g（22）+g（23）+g（24）各为多少？（2）从13点45分（即n=19）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由：4经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P=3（其中0xa，a为正常数）已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求（）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？5某公司生产甲，乙两种桶装产品已知生产甲产品1桶需消耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需消耗A原料2千克、B原料1千克每桶甲产品利润300元，每桶乙产品利润400元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克那么该公司每天如何生产获得利润最大？最大利润是多少？（作出图象）6某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为E=cvnT，其中v为进行时相对于水的速度，T为行进时的时间（单位：h），c为常数，n为能量次级数，如果水的速度为4km/h，该生物探测器在水中逆流行进200km（1）求T关于v的函数关系式；（2）当能量次级数为2时，求探测器消耗的最少能量；当能量次级数为3时，试确定v的大小，使该探测器消耗的能量最少7某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，点P到l2的距离为2千米以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；（2）求直线AB的方程，并求出公路AB的长度（结果精确到1米）8某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为吨，（0t24）（1）从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？（2）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象9某公司经销某产品，第x天（1x30，xN*）的销售价格为p=a+|x20|（a为常数）（元件），第x天的销售量为q=50|x16|（件），且公司在第18天该产品的销售收入为2016元（1）求该公司在第20天该产品的销售收入是多少？（2）这30天中该公司在哪一天该产品的销售收入最大？最大收入为多少？10某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=（其中0xa，a为正常数）已知生产该产品还需投入成本6（P+）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？11在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业其用氧量包含以下三个方面：下潜时，平均速度为每分钟x米，每分钟的用氧量为升；水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；返回水面时，速度为每分钟米，每分钟用氧量为0.2升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升（1）将y表示为x的函数；（1）若x4，8，求总用氧量y的取值范围12某公司经过测算投资x百万元，投资项目A与产生的经济效益y之间满足：y=f（x）=+2x+12，投资项目B产生的经济效益y之间满足：y=h（x）=+4x+1（1）现公司共有1千万资金可供投资，应如何分配资金使得投资收益总额最大？（2）投资边际效应函数F（x）=f（x+1）f（x），当边际值小于0时，不建议投资，则应如何分配投资？13某企业参加A项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元根据现实的需要，从A项目中调出x人参与B项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润10（a）万元（a0），A项目余下的工人每年创造利润需要提高0.2x%（1）若要保证A项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a的取值范围14已知某城市2015年底的人口总数为200万，假设此后该城市人口的年增长率为1%（不考虑其他因素）（1）若经过x年该城市人口总数为y万，试写出y关于x的函数关系式；（2）如果该城市人口总数达到210万，那么至少需要经过多少年（精确到1年）？15上海磁悬浮列车工程西起龙阳路地铁站，东至浦东国际机场，全线长35km已知运行中磁悬浮列车每小时所需的能源费用（万元）和列车速度（km/h）的立方成正比，当速度为100km/h时，能源费用是每小时0.04万元，其余费用（与速度无关）是每小时5.12万元，已知最大速度不超过C（km/h）（C为常数，0C500）（1）求列车运行全程所需的总费用y与列车速度v的函数关系，并求该函数的定义域；（2）当列车速度为多少时，运行全程所需的总费用最低？16经市场调查，某商品每吨的价格为x（1x14）百元时，该商品的月供给量为y1万吨，y1=ax+a2a（a0）；月需求量为y2万吨，y2=x2x+1当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积（1）若a=，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a的取值范围17某种产品具有一定时效性，在这个时期内，由市场调查可知：每件产品获利a元，在不作广告宣传的前提下可卖出b件；若作广告宣传，广告费为n+1（nN）千元时比广告费为n千元时多卖出件，设作n（nN）千元广告时销售量为Cn件（1）试写出销售量Cn与n（nN）的函数关系式（2）当a=10，b=4000时，厂家应作几千元广告，才能获取最大利润？18某工厂生产某种黑色水笔，每百支水笔的成本为30元，并且每百支水笔的加工费为m元（其中m为常数，且3m6）设该工厂黑色水笔的出厂价为x元/百支（35x40），根据市场调查，日销售量与ex成反比例，当每百支水笔的出厂价为40元时，日销售量为10万支（1）当每百支水笔的日售价为多少元时，该工厂的利润y最大，并求y的最大值（2）已知工厂日利润达到1000元才能保证工厂的盈利若该工厂在出厂价规定的范围内，总能盈利，则每百支水笔的加工费m最多为多少元？（精确到0.1元）19某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=（万元）当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+（万元）每件商品售价为0.05万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完（）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？20为了提高产品的年产量，某企业拟在2013年进行技术改革，经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元（m0）满足x=3（k为常数）如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件已知2013年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元由于市场行情较好，厂家生产均能销售出去，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍（生产成本包括固定投入和再投入两部分资金）（1）试确定k的值，并将2013年该产品的利润y万元表示为技术改革费用m万元的函数（利润=销售金额生产成本技术改革费用）；（2）该企业2013年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润21我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用C（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式：，若无隔热层，则每年能源消耗费用为8万元设f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和（I）求C（x）和f（x）的表达式；（II）当隔热层修建多少厘米厚时，总费用f（x）最小，并求出最小值22某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x万件，需另投入的成本为C（x）（单位：万元），当年产量小于80万件时，C（x）=x2+10x；当年产量不小于80万件时，C（x）=51x+1450假设每万件该产品的售价为50万元，且该厂当年生产的该产品能全部销售完（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数关系式；（2）年产量为多少万件时，该厂在该产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？23某厂生产一种机器的固定成本（即固定收入）为0.5万元，但每生产一台，需要增加可变成本（即另增加收入）0.25万元市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为（万元）（0x5）其中x是产品售出的数量（单位：百台）（1）把利润表示为年产量的函数；（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？24某水产养殖场拟造一个无盖的长方体水产养殖网箱，为避免混养，箱中要安装一些筛网，其平面图如下如果网箱四周网衣（图中实线部分）建造单价为每米长56元，筛网（图中虚线部分）的建造价为每米长48元，网箱底面面积为160平方米，建造单价为每平方米50元网衣及筛网的厚度不计（1）把建造网箱的总造价y（元）表示为网箱的长x（米）的函数，并求出最低造价；（2）若要求网箱的长不超过15米，宽不超过12米，则当网箱的长和宽各为多少米时，可使总造价最低？（结果精确到0.01米）25某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下（单位：万美元）：年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多生产的件数甲产品30a10200乙产品50818120其中年固定成本与生产的件数无关，a为常数，且4a8另外年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税（1）写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系式；（2）分别求出投资生产这两种产品的最大利润；（3）如何决定投资可获得最大年利润26设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，每月总产值m（万元）与总支出n（万元）近似地满足下列关系：m=x，n=x2+5x+，当mn0时，称不亏损企业；当mn0时，称亏损企业，且nm为亏损额（1）企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？（2）当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？27为了美化校园环境，学校打算在兰蕙广场上建造一个绚丽多彩的矩形花园，中间有三个完全一样的矩形花坛，每个花坛面积均为294平方米，花坛四周的过道均为2米，如图所示，设矩形花坛的长为x，宽为y，整个矩形花园面积为S（1）试用x，y表示S；（2）为了节约用地，当矩形花坛的长为多少米时，新建矩形花园占地最少，占地多少平米？28某厂每月生产一种投影仪的固定成本为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元，市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R（x）=5x（万元）（0x5），其中x是产品售出的数量（单位：百台）（1）求月销售利润y（万元）关于月产量x（百台）的函数解析式；（2）当月产量为多少时，销售利润可达到最大？最大利润为多少？29已知某品牌手机公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=（）写出年利润f（x）（万美元）关于年产量x（万部）的函数解析式；（）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润30首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？31近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.5，为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）=（x0），记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和（1）建立F关于x的函数关系式；（2）当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？32某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x（万件）之间大体满足关系：（注：次品率=次品数/生产量，如P=0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；（2）当日产量x为多少时，可获得最大利润？33政府鼓励创新、创业，银行给予低息贷款一位大学毕业生向自主创业，经过市场调研、测算，有两个方案可供选择方案1：开设一个科技小微企业，需要一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，以后每年比上一年增加25%的利润方案2：开设一家食品小店，需要一次性贷款20万元，第一年获利是贷款额的15%，以后每年比上一年增加利润1.5万元两种方案使用期限都是10年，到期一次性还本付息两种方案均按年息2%的复利计算（参考数据：1.259=7.45，1.2510=9.3，1.029=1.20，1.0210=1.22）（1）10年后，方案1，方案2的总收入分别有多少万元？（2）10年后，哪一种方案的利润较大？34某工厂生产A，B两种产品所得利润分别是P（单位：万元）和Q（单位：万元），它们与投入资金t（单位：万元）的关系有经验公式P=t3+t2，Q=t，今将50万元资金投入经营A，B两种产品，其中对A种产品投资为x（单位：万元），设经营A，B两种产品的利润和为总利润y（单位：万元）（1）试建立y关于x的函数关系式，并指出函数的定义域；（2）当x为多少时，总利润最大，并求出最大利润35经测定某点处的光照强度与光的强度成正比，与到光源距离的平方成反比，比例常数为k（k0），现已知相距3m的A，B两光源的光的强度分别为a，b，它们连线上任意一点C（异于A，B）处的光照强度y等于两光源对该处光源强度之和，设AC=x（m），已知x=1时点C处的光照强度是，x=2时点C处的光照强度是3k（1）试将y表示为x的函数，并给出函数的定义域；（2）问AB连线上何处光照强度最小，并求出最小值36阅读下面的一段文字，并解决后面的问题：我们可以从函数的角度来研究方程的解的个数的情况，例如，研究方程2x33x26=0的解的情况：因为方程2x33x26=0的同解方程有x3=+3，2x3=等多种形式，所以，我们既可以选用函数y=x3，y=+3，也可以选用函数y=2x3，y=，通过研究两函数图象的位置关系来研究方程的解的个数情况因为函数的选择，往往决定了后续研究过程的难易程度，所以从函数的角度来研究方程的解的情况，首先要注意函数的选择请选择合适的函数来研究该方程=的解的个数的情况，记k为该方程的解的个数请写出k的所有可能取值，并对k的每一个取值，分别指出你所选用的函数，画出相应图象（不需求出a，b的数值）37一小型机械加工厂生产某种零件的年固定成本为15万元，每生产1千件需另投入1.6万元设该加工厂一年内生产该种零件x千件并全部销售完，每千件的销售收入为P（x）万元，且P（x）=（1）写出年利润y（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该工厂在这种零件的生产中所获得的年利润最大（注：年利润=年销售收入年总成本）38某产品生产厂家生产一种产品，每生产这种产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为42万元，且每生产1百台的生产成本为15万元（总成本=固定成本+生产成本）销售收入R（x）（万元）满足假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述规律，完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最大？39某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（xN*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10（a）万元（a0），剩下的员工平均每人每年创造的利润为原来（1+）倍（）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多可以调整出多少名员工从事第三产业；（）若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的最大取值是多少40已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润函数应用题40道汇编参考答案与试题解析一解答题（共40小题）1（2016黄冈校级自主招生）某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往 A，B两地区收割水稻，其中30台派往 A地区，20台派往 B地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表：每台甲型收割机的租金每台乙型收割机的租金A地区1800元1600元B地区1600元1200元（1）设派往 A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式；（2）若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元，试写出满足条件的所有分派方案；（3）农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由【分析】（1）根据未知量，找出相关量，列出函数关系式；（2）利用不等式的性质进行求解，对x进行分类即可；（3）根据一次函数的单调性可直接判断，得出结论【解答】解：（1）由于派往A地的乙型收割机x台，则派往B地的乙型收割机为（30x）台，派往A，B地区的甲型收割机分别为（30x）台和（x10）台y=1600x+1200（30x）+1800（30x）+1600（x10）=200x+74000（10x30）（2）由题意，得200x+7400079600，解得x28，10x30，x是正整数，x=28、29、30有3种不同分派方案：当x=28时，派往A地区的甲型收割机2台，乙型收割机28台，余者全部派往B地区；当x=29时，派往A地区的甲型收割机1台，乙型收割机29台，余者全部派往B地区；当x=30时，派往A地区的甲型收割机0台，乙型收割机30台，余者全部派往B地区；（3）y=200x+74000中，y随x的增大而增大，当x=30时，y取得最大值，此时，y=20030+74000=80000，建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区，这样公司每天获得租金最高，最高租金为80000元【点评】考查了利用一次函数模型解决实际问题，根据函数的性质，找出解决问题的方法2（2016南通模拟）为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽）问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽【分析】（1）建立坐标系，设抛物线的方程为x2=2py（p0）由已知点P（2，2）在抛物线上，推导出抛物线的方程，可得梯形APQB面积，利用导数可得结论（2）为了使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，设切点M（t，t2），t0则函数在点M的切线方程为yt2=t（xt），由此能推导出设计改挖后的水渠的底宽为m时，可使用权所挖土的土方量最少【解答】解：（1）建立如图的坐标系，设抛物线的方程为x2=2py（p0）由已知点P（2，2）在抛物线上，得p=1，抛物线的方程为x2=2y，设A（t，t2），则此时梯形APQB面积为S（t）=（2t+4）（2t2），S（t）=，t=，t（0，），S（t）0，t（，2），S（t）0t=，Smax（t）=，新水渠底宽为m时，所填土的土方量最少；（2）为了使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，如图，设切点M（t，t2），t0则函数在点M的切线方程为yt2=t（xt），令y=0，y=2，得A（t，0），B（，2），此时梯形OABC的面积为S（t）=（t+）2=t+2，当且仅当t=时，等号成立，此时|OA|=，设计改挖后的水渠的底宽为m时，土方量最少【点评】本题考查函数在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意导数知识、基本不等式的合理运用3（2016闵行区二模）为配合上海迪斯尼游园工作，某单位设计人数的数学模型（nN+）：以f（n）=表示第n时进入人数，以g（n）=表示第n个时刻离开园区的人数；设定以15分钟为一个计算单位，上午9点15分作为第1个计算人数单位，即n=1：9点30分作为第2个计算单位，即n=2；依此类推，把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位：（最后结果四舍五入，精确到整数）（1）试计算当天14点到15点这一个小时内，进入园区的游客人数f（21）+f（22）+f（23）+f（24）、离开园区的游客人数g（21）+g（22）+g（23）+g（24）各为多少？（2）从13点45分（即n=19）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由：【分析】（1）根据条件利用代入法即可得f（21）+f（22）+f（23）+f（24）和g（21）+g（22）+g（23）+g（24）的值，（2）根据分段函数的表达式，结合函数的单调性进行求解即可【解答】解：（1）当天14点至15点这一小时内进入园区人数为f（21）+f（22）+f（23）+f（24）=3603+3+3+3+3000417460（人）3分离开园区的人数g（21）+g（22）+g（23）+g（24）=9000 （人） 6分（2）当f（n）g（n）0 时，园内游客人数递增；当 f（n）g（n）0时，园内游客人数递减7分当19n32 时，由f（n）g（n）=3603500n+120000，可得：当 19n28 时，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多；9分当29n32 时，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少； 11分（ f（28）g（28）=246.490； f（29）g（29）=38.130 ） 当33n45 时，由f（n）g（n）=720n+23600 递减，且其值恒为负数进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少 13分综上，当天下午16点时（n=28）园区内的游客人数最多，此时计算可知园区大约共有77264人14分【点评】本题主要考查函数的应用问题，分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义是解决本题的关键4（2016上海模拟）经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P=3（其中0xa，a为正常数）已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求（）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【分析】（）根据产品的利润=销售额产品的成本建立函数关系；（）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件【解答】解：（）由题意知，（3分）将代入化简得：（0xa）（6分）（）当a1时，x（0，1）时y0，所以函数在（0，1）上单调递增x（1，a）时y0，所以函数在（1，a）上单调递减促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；（9分）当a1时，因为函数在（0，1）上单调递增在0，a上单调递增，所以x=a时，函数有最大值即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大综上，当a1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大（12分）（注：当a1时，也可：，当且仅当时，上式取等号）【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题5（2016河西区二模）某公司生产甲，乙两种桶装产品已知生产甲产品1桶需消耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需消耗A原料2千克、B原料1千克每桶甲产品利润300元，每桶乙产品利润400元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克那么该公司每天如何生产获得利润最大？最大利润是多少？（作出图象）【分析】根据题设中的条件可设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，根据题设条件得出线性约束条件以及目标函数求出利润的最大值即可【解答】解：设分别生产甲乙两种产品为x桶，y桶，利润为z元则根据题意可得，z=300x+400y作出不等式组表示的平面区域，如图所示作直线L：3x+4y=0，然后把直线向可行域平移，由可得x=y=4，此时z最大z=2800【点评】本题考查用线性规划知识求利润的最大值，这是简单线性规划的一个重要运用，解题的关键是准确求出目标函数及约束条件6（2016南通模拟）某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为E=cvnT，其中v为进行时相对于水的速度，T为行进时的时间（单位：h），c为常数，n为能量次级数，如果水的速度为4km/h，该生物探测器在水中逆流行进200km（1）求T关于v的函数关系式；（2）当能量次级数为2时，求探测器消耗的最少能量；当能量次级数为3时，试确定v的大小，使该探测器消耗的能量最少【分析】（1）分别求出探测器相对于河岸的速度，建立条件即可即可求T关于v的函数关系式；（2）当能量次级数为2时，利用分式函数的性质结合基本不等式进行求解当能量次级数为3时，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可【解答】解：（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为，又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小于4km/h，即为v4，则=v4，即T=，（v4）；（2）当能量次级数为2时，由（1）知，v4，E=200c=200c=200c（v4）+8200c2+8=3200c，当且仅当v4=，即v=8km/h时取等号，当能量次级数为3时，由（1）知，E=200c，v4，则E=200c，由E=0，解得v=6，即当v6时，E0，当v6时，E0，即当v=6时，函数E取得最小值为E=21600C【点评】本题主要考查函数的应用问题，以及利用基本不等式和导数求解函数的最值，考查学生的运算能力7（2016闵行区一模）某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，点P到l2的距离为2千米以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；（2）求直线AB的方程，并求出公路AB的长度（结果精确到1米）【分析】（1）由题意得M（1，8），则a=8，故曲线段MPN的函数关系式为，可得其定义域；（2）根据直线和曲线相切，利用判别式=0进行求解即可【解答】解：（1）由题意得M（1，8），则a=8，故曲线段MPN的函数关系式为，又得，所以定义域为1，10（2）由（1）知P（2，4），设直线方程为y4=k（x2），联立方程，得kx2+2（2k）x8=0，由判别式=0得4（2k）2+32k=4（k+2）2=0，得k=2，即直线AB的方程为y=2x+8，当x=0时，y=8，当y=0时，x=4，即A（0，8），B（4，0），则AB=48944米【点评】本题考查函数的应用问题，利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，确定函数关系是关键8（2016镇江一模）某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为吨，（0t24）（1）从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？（2）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象【分析】（1）根据题意先设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨写出蓄水池中的存水量的函数表达式，再利用换元法求此函数的最小值即得；（2）先由题意得：y80时，就会出现供水紧张由此建立关于x的不等关系，最后解此不等式即得一天中会有多少小时出现这种供水紧张的现象【解答】解：（1）设t小时后蓄水池中的水量为y吨，则； （3分）令=x；则x2=6t，即y=400+10x2120x=10（x6）2+40；（5分）当x=6，即t=6时，ymin=40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨（8分）（2）依题意400+10x2120x80，得x212x+320（11分）解得，4x8，即，；即由，所以每天约有8小时供水紧张（14分）【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用，解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型属于基础题9（2016江苏模拟）某公司经销某产品，第x天（1x30，xN*）的销售价格为p=a+|x20|（a为常数）（元件），第x天的销售量为q=50|x16|（件），且公司在第18天该产品的销售收入为2016元（1）求该公司在第20天该产品的销售收入是多少？（2）这30天中该公司在哪一天该产品的销售收入最大？最大收入为多少？【分析】（1）设第x天的销售收入为Wx，先求出第18天的销售价格p与销售量q，得第18天的销售收入W18=pq=2016，可得a的值，从而求得第20天的销售收入W20=p20q20；（2）根据Wx=pq=（a+|x20|）（50|x16|），去掉绝对值，分别在1x16时，17x20时，21x30时求得函数Wx的最大值，并通过比较得出，第几天该公司的销售收入最大【解答】解：（1）设第x天的销售收入为Wx，第18天的销售价格p=a+|1820|=a+|1820|=a+2，销售量q=50|1816|=48，第18天的销售收入W18=pq=48（a+2）=2016（元），解得：a=40，p=40+|x20|，q=50|x16|，第20天的销售收入为W20=p20q20=4046=1840（元）；（2）设第x天的销售收入为Wx，当1x16时，Wx=（60x）（34+x）=2209（当且仅当x=13时取等号），当x=13时有最大值W13=2209；当17x20时，Wx=（60x）（56x）=x2116x+3360=（x58）24，当x=17时有最大值W17=1677；当21x30时，Wx=（x+20）（56x）=x2+36x+1120=（x18）2+1444，当x=21时有最大值W21=1435；由于W13W21W17，所以，第13天该公司的销售收入最大，最大值为2209元【点评】本题考查了含有绝对值的函数模型的应用；含有绝对值的函数，通常转化为分段函数来解答，本题是中档题目10（2016闸北区二模）某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=（其中0xa，a为正常数）已知生产该产品还需投入成本6（P+）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？【分析】（1）根据产品的利润=销售额产品的成本建立函数关系；（2）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件【解答】解：（）由题意知，y=（4+）px6（p+），将p=代入化简得：y=19x（0xa）；（）y=22（+x+2）223=10，当且仅当=x+2，即x=2时，上式取等号；当a2时，促销费用投入2万元时，该公司的利润最大；y=19x，y=，a2时，函数在0，a上单调递增，x=a时，函数有最大值即促销费用投入a万元时，该公司的利润最大【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题11（2016松江区一模）在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业其用氧量包含以下三个方面：下潜时，平均速度为每分钟x米，每分钟的用氧量为升；水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；返回水面时，速度为每分钟米，每分钟用氧量为0.2升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升（1）将y表示为x的函数；（1）若x4，8，求总用氧量y的取值范围【分析】（1）通过速度、时间与路程之间的关系可知下潜所需时间为分钟、返回所需时间为分钟，进而列式可得结论；（2）通过基本不等式可知及x4，8可知在4，6上单调递减、在6，8上单调递增，比较当x=4、8时的取值情况即得结论【解答】解：（1）依题意，下潜所需时间为分钟；返回所需时间为分钟，整理得：（x0）；（2）由基本不等式可知，当且仅当即x=6时取等号，因为x4，8，所以在4，6上单调递减、在6，8上单调递增，所以当x=6时，y取最小值7，又因为当x=4时；当x=8时，所以y的取值范围是：【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题12（2016上海校级模拟）某公司经过测算投资x百万元，投资项目A与产生的经济效益y之间满足：y=f（x）=+2x+12，投资项目B产生的经济效益y之间满足：y=h（x）=+4x+1（1）现公司共有1千万资金可供投资，应如何分配资金使得投资收益总额最大？（2）投资边际效应函数F（x）=f（x+1）f（x），当边际值小于0时，不建议投资，则应如何分配投资？【分析】（1）确定函数的解析式，利用配方法，得出结论；（2）利用投资边际效应函数F（x）=f（x+1）f（x）0，解不等式可得结论【解答】解：（1），即投资A项目4百万，投资B项目6百万，收益总额最大（2），解得，投资A项目350万元，同理可得，应投资B项目550万元【点评】本题考查函数在生产实际中的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化13（2016普陀区二模）某企业参加A项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元根据现实的需要，从A项目中调出x人参与B项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润10（a）万元（a0），A项目余下的工人每年创造利润需要提高0.2x%（1）若要保证A项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a的取值范围【分析】（1）根据题意，列出不等式10（1000x）（1+0.2x%）101000，求解即可；（2）求出x的范围，得出不等式10（a ）x10（1000x）（1+0.2x%），整理可得a+1恒成立，根据x的范围，可知在定义域内函数为减函数，当x=