《重积分详解》PPT课件.ppt

三三 重重 积积 分分 第二节第二节 一、三重积分的概念 三重积分的性质与二重积分的类似。 特别地， x 0 z y z2(x,y) I = P N M . . D z1(x,y) 二、直角坐标系下三重积分的累次积分法 1.先一后二法 x 0 z y z2(x,y) I = D 这就化为一个定积分和这就化为一个定积分和 一个二重积分的运算一个二重积分的运算 z1(x,y) . 二、直角坐标系下三重积分的累次积分法 1.先一后二法 三重积分化为三次积分的过程： 得到 注意 得到 解 于是 ， 于是 ， 得到 得到 解 于是 ， 得到 解 解 6 6 6 x+y+z=6 3x+y=6 2 . 例 x 0 z y ：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域 6 6 6 x+y+z=6 3x+y=6 2 . 例 x 0 z y ：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域 3x+y=6 3x+2y=12 x+y+z=6 . 6 6 6 x 0 z y 4 2 ：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域 3x+y=6 3x+2y=12 x+y+z=6 . 6 6 6 x 0 z y 4 2 ：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域 z = 0 y = 0 4 2 x+y+z=6 . x 0 z y 6 6 6 ：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域 4 2 . x 0 z y 6 6 6 ：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域 例 . . D 0 y x 6 24 D . y 1 4 x+ y = 4 x = 0 x z o . 例 y 1 4 x+ y = 4 x z o 1 . 取第一卦限部分 4 x+ y = 4 y = 0 x y z . D . . o 1 1 x+ y=1 y o z x 1 z=xy .例 例. z =0 1 x+ y=1 o z x 1 y z=xy . 例 1 1 z =0o z x x+ y=1 y 。 。 z=xy . 例 x 0 z y c1 c2 z Dz 先做二重积分，后做定积分先做二重积分，后做定积分 2.2.截面法（先二后一法）截面法（先二后一法） x 0 z y c1 c2 . 先做二重积分，后做定积分先做二重积分，后做定积分 z Dz 2.2.截面法（先二后一法）截面法（先二后一法） x 0 z y c1 c2 I = . 先做二重积分，后做定积分先做二重积分，后做定积分 zDz 2.2.截面法（先二后一法）截面法（先二后一法） x 0 z y c1 c2 . 先做二重积分，后做定积分先做二重积分，后做定积分 I = 2.2.截面法（先二后一法）截面法（先二后一法） (1) 把积分区域向某轴（例如轴Z）投影，得投 影区间 c1,c2 (2) 对用过轴且平行xoy平面的平面去截 ，得截面Dz; 截面法的一般步骤： x 0 y z b c 例 计算 a D0 Dz . . b c . . x 0 y z D0 a . z 0 x z y M(r, z) z r N x y z (x, y, z) (r, , z) 三、柱面坐标下三重积分的计算 . . 1、柱面坐标 简单地说，柱面坐标就是 xoy 面上的极坐标 + z 坐标 柱面坐标与 直角坐标的 关系为 z 动点M(r, , z) 柱面Sr =常数： 平面z =常数： x 0 y z M r S S z 2. 柱面坐标的坐标面 动点M(r, , z) 半平面P 柱面S =常数: r =常数： 平面z =常数： z x 0 y z M r S S P P . 2. 柱面坐标的坐标面 半平面及+d ; 半径为r及 r+dr 的圆柱面； 平面 z及 z+dz； x z y 0 dr r rd d z 平面z 元素区域由六个 坐标面围成： 3、柱面坐标下的体积元素及三重积分计算公式 x z y 0 dr r rd d z 底面积 ：r drd 元素区域由六 个坐标面围成 ： 半平面及+d ; 半径为r及 r+dr 的园柱面； 平面 z及 z+dz； dz 平面z+dz . 3、柱面坐标下的体积元素及三重积分计算公式 x z y 0 dr r rd d z 底面积 ：r drd 元素区域由六个坐标面围成： 半平面及+d ; 半径为r及 r+dr的园柱面； 平面 z及 z+dz； dz dV = . . dV 3、柱面坐标下的体积元素及三重积分计算公式 再根据 V 中 z，r， 的关系，化为三次积分。 一般，先对 z 积分，再对 r ，最后对 积分。 例 利用柱面坐标计算三重积分 其中V 解(1) 画 V 图 (2) 确定 z，r， 的上下限 将 V 向 xoy 面投影，得 或 过 (r, )D 做平行于 z 轴 的直线，得 即 过 (r, )D 做平行于 z 轴 的直线，得 于是 ， 解求交线： 将 向 xoy 面投影，得 或 即 过 (r, )D 做平行于 z 轴 的直线，得 或 例 计算三重积分 其中 是由曲 解 将 向 xoy 面投影，得 或 过 (r, )D 做平行于 z 轴 的直线，得 即 或 过 (r, )D 做平行于 z 轴 的直线，得 即 1 . Dxy: z = 0 . 0 x z y Dxy 例. 计算 I = 1 0 x z y M(r,) r N y x z . . 四、球面坐标系下三重积分的计算 规定： 1、球面坐标 S r M y z x 0 r =常数: =常数: 球面S 动点M(r,) 2、球面坐标的坐标面 C C r =常数: =常数: S S 球面S 半平面P 动点M(r,) M y z x 0 P P =常数:锥面C . 2、球面坐标的坐标面 半平面 及+d ； 半径为r及r+dr的球面； 圆锥面及+d r dr d rsin x z y 0 圆锥面 rd 球面r 圆锥面+d 球面r+d r 元素区域由六个坐标面围成： d rsind 3、球面坐标下的体积元素及三重积分计算公式 半平面 及+d ； 半径为r及r+dr的球面； 圆锥面及+d r dr d x z y 0 d rd 元素区域由六个坐标面围成： rsind . r 2sin drdd sin drddr 2 dV dV = 3、球面坐标下的体积元素及三重积分计算公式 再根据再 中 r， ， 的关系，化为三次积分。 一般，先对 r 积分，再对 ，最后对 积分。 例 用球面坐标计算其中 解画 图。 确定 r， ， 的上下限。 (1) 将 向 xoy 面投影，得 (2) 任取一过 z 轴作半平面，得 (3) 在半平面上，任取一过原点作 射线，得 (3) 在半平面上，任取一过原点作 射线，得 即 z 0 x y a r=2a cos . M . r 例.