高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念学案含解析新人教A版.docx

3.1.1数系的扩充和复数的概念学习目标1了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程2理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念3掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件知识链接为解决方程x22，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内也有很多问题不能解决，如从解方程的角度看，x21这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x21在实数系中无根的问题呢？答设想引入新数i，使i是方程x21的根，即ii1，方程x21有解，同时得到一些新数预习导引1复数的有关概念(1)复数的概念：形如abi的数叫做复数，其中a，bR，i叫做虚数单位a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部(2)复数的表示方法：复数通常用字母z表示，即zabi.(3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集通常用大写字母C表示2复数的分类及包含关系(1)复数(abi，a，bR)(2)集合表示：3复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么abicdiac且bd.要点一复数的概念例1请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数23i；3i；i；i；0.解的实部为2，虚部为3，是虚数；的实部为3，虚部为，是虚数；的实部为，虚部为1，是虚数；的实部为，虚部为0，是实数；的实部为0，虚部为，是纯虚数；的实部为0，虚部为0，是实数规律方法复数abi中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部跟踪演练1已知下列命题：复数abi不是实数；当zC时，z20；若(x24)(x23x2)i是纯虚数，则实数x2；若复数zabi，则当且仅当b0时，z为虚数；若a、b、c、dC时，有abicdi，则ac且bd.其中真命题的个数是_答案0解析根据复数的有关概念判断命题的真假是假命题，因为当aR且b0时，abi是实数是假命题，如当zi时，则z21b，则aibiC若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则实数x1D两个虚数不能比较大小答案D解析对于复数abi(a，bR)，当a0且b0时为纯虚数在A中，若a1，则(a1)i不是纯虚数，故A错误；在B中，两个虚数不能比较大小，故B错误；在C中，若x1，不成立，故C错误；D正确4在下列几个命题中，正确命题的个数为()两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；1ai(aR)是一个复数；虚数的平方不小于0；1的平方根只有一个，即为i；i是方程x410的一个根；i是一个无理数A3个 B4个 C5个 D6个答案B解析命题正确，错误1对于复数zabi(a，bR)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况2两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的条件进行判断.一、基础达标1如果zm(m1)(m21)i为纯虚数，则实数m的值为()A1 B0 C1 D1或1答案B解析由题意知，m0.2(2013青岛二中期中)设a，bR.“a0”是“复数abi是纯虚数”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案B解析因为a，bR.“a0”时“复数abi不一定是纯虚数”“复数abi是纯虚数”则“a0”一定成立所以a，bR.“a0”是“复数abi是纯虚数”的必要而不充分条件3以2i的虚部为实部，以i2i2的实部为虚部的新复数是()A22i BiC2i Di答案A解析设所求新复数zabi(a，bR)，由题意知：复数2i的虚部为2；复数i2i2i2(1)2i的实部为2，则所求的z22i.故选A.4若(xy)ix1(x，yR)，则2xy的值为()A. B2 C0 D1答案D解析由复数相等的充要条件知，解得xy0.2xy201.5z134i，z2(n23m1)(n2m6)i，且z1z2，则实数m_，n_.答案22解析由z1z2得，解得.6(2013上海)设mR，m2m2(m21)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m_.答案2解析m2.7已知(2xy1)(y2)i0，求实数x，y的值解(2xy1)(y2)i0，解得所以实数x，y的值分别为，2.二、能力提升8若(x31)(x23x2)i是纯虚数，则实数x的值是()A1 B1C1 D1或2答案A解析由题意，得解得x1.9若sin 21i(cos 1)是纯虚数，则的值为()A2k(kZ) B2k(kZ)C2k(kZ) D(kZ)答案B解析由题意，得，解得(kZ)，2k，kZ.10在给出下列几个命题中，正确命题的个数为_若x是实数，则x可能不是复数；若z是虚数，则z不是实数；一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；1没有平方根答案1解析因实数是复数，故错；正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故错；因1的平方根为i，故错11实数m分别为何值时，复数z(m23m18)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数解(1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z为实数，则，解得m6.所以当m6时，z为实数(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.故若使z为虚数，则m23m180，且m30，解得m6且m3，所以当m6且m3时，z为虚数(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.故若使z为纯虚数，则，解得m或m1.所以当m或m1时，z为纯虚数12设z1m21(m2m2)i，z24m2(m25m4)i，若z1z2，求实数m的取值范围解由于z1z2，mR，z1R且z2R，当z1R时，m2m20，m1或m2.当z2R时，m25m40，m1或m4，当m1时，z12