七年级数学上册有理数及其运算12用计算器进行运算有理数的意义错题解析素材.docx

有理数的意义错题解析例1 小学学过的数的前面添上“”号，得到的数都是负数这句话对吗？若不对，怎样改正？错解 这句话是对的诊断这句话是不对的因为小学学过的数除自然数、正分数(小数可以化成分数)外，还有0在0的前面添上“”号仍是0，而0既不是正数，也不是负数正确解答 这句话不对改为：小学学过的数(0除外)的前面添上“”号，得到的数都是负数例2 有理数包括哪些数？错解 有理数包括正数、零和负数诊断 零当然是有理数，但正数和负数中，还有不是有理数的数，只不过我们现在还没有学罢了正确解答 有理数包括整数和分数例3 把有理数6.4、-9、25，100按正整数，负整数，正分数，负分数分成四个集合错解正整数：10，1，25，负整数：9，100，诊断题目是要求把给出的10个数分成四个集合，显然每个集合中的有理数是有限个上述解答把每个集合中的有限个数全部写出来之后，又写上了省略号，把有限个变成了无限个，这显然是错的说明 省略号是表示还有许多没有写出来的数，或者表示无穷个数例4 最小的正整数是几？最大的负整数是几？错解 最小的正整数是零，最大的负整数不存在诊断零是整数，但它既不是正数也不是负数，因而最小的正整数应该是1解题者由于受“不存在最大正整数”负迁移作用的影响，导致出不存在最大的负整数的错误结论事实上，根据两个负数，绝对值小的反而大，可以得到最大的负整数是1例5 a一定是负数吗？错解 a一定是负数诊断之所以出现上面的错误，其原因是解题者对字母表示数的认识肤浅，加上解题者又从形式上看问题事实上，如果a表示5，那么a表示(5)=5；如a表示0，那么a也表示0正确解答 a不一定是负数，可以是正数，也可以是0说明 0经常出现在各种数学问题中，在思考问题时，要注意考虑0这一特殊情况例6 数轴的三要素是什么？错解 数轴的三要素是指原点、正方向、长度单位诊断上面的回答错在混淆了“单位长度”和“长度单位”这两个概念看起来只有词序不同，但实际意义不一样“长度单位”是一个确定的量，如厘米、分米等而“单位长度”不是确定的，它的大小可根据实际需要适当选取当然还可用一个或若干个长度单位来作为一个“单位长度”正确解答 数轴的三要素是原点、正方向和单位长度例7 在数轴上记出下列各数：5.5，6，4，3.5，15错解 如图21诊断 只有标明了原点、正方向和单位长度的直线，才是数轴上面画的数轴错在没有标出原点和单位长度正确解答 如图22例8 任何一个有理数与它的相反数不相等这话对吗？错解 这话是对的如7的相反数是7，7与7不相等诊断这句话不对其原因是把零排除在有理数之外了因为任何一个有理数包括正有理数、负有理数和零，而零的相反数是零，即零和它的相反数相等正确解答 这话不对应改为：任何一个不等于零的有理数与它的相反数不相等例9 写出绝对值不大于5的整数错解 绝对值不大于5的整数是：4，3，2，1，1，2，3，4诊断上面解答错误有两处：其一，把符合条件的零排除在整数集合之外；其二，对“不大于”的含义认识模糊事实上，“不大于”包括“小于”或“等于”两层意思，不能把“等于”排除在外正确解答 绝对值不大于5的整数有：5，4，3，2，1，0，1，2，3，4，5例10 什么数的绝对值是它的相反数？错解 负数的绝对值是它的相反数诊断上面解答错在漏掉了零因为零的绝对值和零的相反数都是零进入有理数后，零这个角色越来越重要了，我们对它要加倍注意正确解答 零和负数的绝对值是它的相反数例11 比较下列每对数的大小：(2)|3|和(2)；(3)(3.25)和|3.245|(2)因为|3|的绝对值是3，(2)的绝对值是2，根据“两个负数，绝对值大的反而小”的法则，所以|3|(2)(3)因为(3.25)=3.25，|3.245|=3.245，而3.253.245，所以(3.25)|3.245|为绝对值大的负数反而小(2)的解答最后的结论是根据“两个负数绝对值大的反而小”得到的但|3|和(2)不都是负数，因而以“两个负数，绝对值大的反而小”为根据，就错了事实上，|3|=3，(2)=2，因为正数大于一切负数，所以|3|(2)(3)的解答中的错误在于3.25不大于3.45，其原因是由于解题者还停留在正数比较大小上事实上，(3.25)和|3.245|都是负数，应该用两个负数比较大小的法则即3.25的绝对值是3.25，3.245的绝对值是3.245，而3.253.245，所以3.253.245，即(3.25)|3.245|例13 比较a与(a)的大小错解 因为a是正数，a是负数所以aa诊断这里不加分析就断定a是正数，a是负数，这是毫无根据的我们知道，字母a可以表示正数，也可以表示负数，还可以表示0因此a与a的大小要依a的取值范围而定正确解法 (1)当a0时，a是正数，a是负数，所以aa；(2)当a0时，a是负数，a是正数，所以aa；(3)当a=0时，a与a均为零；所以a=a例14 如果a0，b0，且|a|b|，试比较a与b的大小错解 ab诊断上面解答出现错误的原因是：解题者对两个负数大小比较法则的语言叙述与数学符号表达式之间不能互相翻译、转换事实上，由a0，b0知a，b两数都是负数，又由|a|b|知负数a的绝对值比负数b的绝对值大再根据两个负数大小比较的法则就不难得出ab例15 已知a0，b0，a|b|，试把a，b，a，b用连结起来错解 abba诊断解题者对这类较抽象的数的大小比较，常常不知道从何处下手，往往凭主观猜想乱写结论上面解答之所以出错，主要是解题思想方法不对所造成的即未把a和b所对应的点在数轴上标出来事实上，a和a是互为相反数，它们分别在原点的两侧，且到原点的距离相等，b和b也是如此因此在数轴上标出有理数a，a，b，b，那么这四个数的大小关系就一目了然正确解法画数轴由a0，b0知表示a，b的点分别在数轴上原点的右边和左边，且由a|b|和a0知|a|b|，所以表示a的点离原点较近因a，b与a，b互为相反数和a|b|，再找出a，b两点(如图)显然，baab例16 |x|=x吗？错解 |x|x如|2|=22诊断出现上述错误的原因是：解题者对绝对值的定义没有理解透彻我们知道，要去掉绝对值符号，应从绝对值的定义出发，根据x的不同取值情况加以讨论正确解法当x0时，|x|=x；当x=0时，|x|=x；当x0时，|x|=x例17 x为何值时，|x1|=(x1)错解 当x10，即x1时，上式成立诊断 根据绝对值定义，|a|=a成立的条件是a0上面解答忽视了x1=0的可能性，使解题失去完整性正确解法 当x1时，|x1|=(x1)例18 某同学归纳出求一个数的绝对值的方法如下：“因为3的这个数前面的符号去掉，就得到它的绝对值”这样的方法对吗？错答 对诊断这样求绝对值的方法不对用这样的方法求绝对值容易出错如求a的绝对值，如果用上面的方法，那么就有|a|=a事实上，|a|不一定等于a因为|a|是一个非负数，即是正数或0当a是负数时，|a|却是一个正数，显然正数不等于负数因此，求a的绝对值，应分a0，a0，a=0这三种情况讨论，并根据绝对值的定义写出结果一般地，求一个有理数的绝对值的正确方法是：首先判断这个数是正数，还是负数还是零，然后再根据绝对值的定义去写出结果如求3的绝对值时，应这样思考，因为3是负数，根据“负数的绝对值等于它的相反数”可知，|3|=(3)=3例19 下列说法中错误的是 A|x|1一定大于零B|a|一定是非负数C若|b1|取最小值，则b=1D|a|b|一定是正数错解 选(C)诊断这里的解答之所以选错，原因有两点：一是对绝对值的本质属性非负性认识模糊；二是对若干个非负数的和的性质理解不清事实上，任何有理数的绝对值是非负数所谓“非负数”，即“不是负数”，亦即是“正数或零”因此，若干个非负数的和仍是非负数，由此可知|a|b|是正数或零，这就说明选(D)才是对的至于选(C)为什么不对？因为|b1|是正数或零，当|b1|取最小值时，则b1=0，故b=1是正确的例20 已知|a|=8，|b|=2，且|ab|=ba，求a和b的值错解因为|a|=8，所以a=8，因为|b|=2，所以b=2则有a=8，b=2或a=8，b=2或a=8，b=2或a=8，b=2诊断我们将a=8，b=2代入等式|ab|=ba的两边，显然两边就不相等了这是因为在解答此题的过程中没有运用|ab|=ba这个条件事实上，由|ab|=ba及|ab|0，知ba0，即ba因此，上面得到的a=8，b=2或a=8，b=2是不符合条件的所以，只有a=8，b=2或a=8，b=2才为所求说明 学习有理数这一节应注意的几个问题：一、要正确理解“”“”号的意义1理解为性质符号，如5，3，分别读作“正5”、“负3”2理解为运算符号，如(2)(3)中(2)与(3)之间的“”就表示加，在(8)(3)中(8)与(3)之间的“”就表示减3既可理解为性质符号又可以理解为运算符号如476，其中的“”“”若理解为性质符号，就读作为“4，负7，正6的和”，若理解为运算符号，则读作为“4减7加6”但23中2前面的“”一定要理解为性质符号，不能读成“减2减3”或“减2负3”，应读成“负2，负3的和”或“负2减3”二、要正确理解绝对值概念1为什么要引入绝对值概念？引入正、负数的目的是为了区别具有相反意义的量，但有时又不需要考虑量是否意义相反，而只注意其数量的大小，因此，需要引出一个与正负数相关而又能反映其数量大小的概念绝对值此外，引入了正负数后，如何进行它们的加减乘除等运算？为了把带有“”“”性质符号的数的运算转化为小学里所学过的数的运算于是，也需要引出一个新的概念绝对值2绝对值的性质每个有理数都有唯一确定的绝对值，它是一个非负数在有理数范围内，绝对值最小的数是0绝对值等于已知正数a的数有两个，