九年级数学上册第四章图形的相似3相似多边形相似多边形的性质的应用素材.docx

相似多边形的性质的应用1、相似多边形的性质（1）相似多边形中，对应的三角形相似，其相似比等于原相似多边形的相似比（2）相似多边形中，对应线段的比等于相似比（3）相似多边形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方2、重要方法相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，运用这两个性质解决实际问题时，一定要弄清他们的关系，并努力把实际问题与之联系，从而把实际问题简单化.相似三角形的性质（1）回答了相似三角形中所有对应线段都构成比例的问题，这个性质为我们今后证明线段的比例式提供了极大的方便性质（2）、（3）揭示了相似三角形的周长、面积与相似比的关系，利用它可以解决相似三角形中有关周长和面积的问题，这里要注意这些性质的灵活运用如：两个相似三角形的相似比，等于它的周长比；也等于它们的面积比的算术平方根例1一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个多边形和这个多边形相似，其最短边长为6，则最长边长为（）A12B18C24D30【思路与技巧由相似多边形对应边成比例，设最长边为x.，2x=36,x=18.答案B点评本题根据相似多边形的对应边成比例的性质，第一个多边形的最短边与第二个多边形的最短边，第一个多边形的最长边与第二个多边形的最长边分别是对应边，切记不可将对应关系弄错例2如图在ABCD中，AB=6，AD=4，EFAD，若ABCDEFDA，求AE的长 思路与技巧（1）图形中有几对相似的平行四边形？为什么？对应边分别是什么？（2）AE的对应边应是哪条线段？为什么？（3）试一试：求SABCDSEFDA的值.解EFAD，四边形ABCD是平行四边形，AD=4 EF=AD=4，ABCDEFDA， （相似多边形对应边成比例），又AB=6， .点评由相似的条件，可知AE的对应边是DA，一般的在条件中，若使用的是相似符号，则对应边则是确定的，因此书写相似多边形时，对应的字母要写在对应的位置上.例3已知：如图，正方形ABCD中，E是AC上一点，EFAB于F，EGAD于G，AB=6，AEEC=21，求S四边形AFEG思路与技巧（1）四边形AFEG是什么图形？为什么？（2）AEEC的值与哪两条线段的比相等？为什么？如何求出AF的长？（3）任意的两个正方形都相似吗？为什么？所有的矩形都相似吗？所有的菱形都相似吗？解正方形ABCD，EFAB，EGADEFCB，EGDC1=2=45 EF=AFFAG=90，AFEG是正方形，正方形ABCD正方形AFEG，S正ABCDS正AFEG=AB2AF2（相似多边形的面积比等于相似比的平方），在ABC中，EFCB AEEC=AFFB=21，又AB=6 AF=4 S正ABCDS正AFEG=3616， .点评本题中的正方形是特殊的多边形，但在一般的多边形中，一定要注意对应关系（1）相似多边形的对应边的比，等于相似比的平方；（2）所有的正方形都是相似的，此题中只须证出四边形AFEG是正方形，即可得到它与正方形ABCD相似例4已知：如图所示，ABC中，DE/FG/BC（1）若AD=DF=FB，求S1:S2:S3；（2）若S1:S2:S3=1:8:27，求AD:DF:FB思路与技巧注意在（2）中，不能由S1:S2=1:8，就得出AD:DF=1:，因为此处不能直接运用面积的比等于相似比的平方，S1,S2不是两个相似三角形的对应面积解（1）令，则，（2）可设，则AD:AF:AB=1:3:6AD:DF:FB=1:2:3.点评根据相似形，实施比例转化，应用面积比等于相似比的平方例5如图所示，ABC的面积为16，D为AB上任一点，F为BD的中点，DE/BC，FG/BC，分别交AC于E、G，设AD=x（1）把ADE的面积S1，用含x的代数式表示；（2）把梯形DFGE的面积S2，用含x的代数式表示思路与技巧转化为相似三角形，利用其性质解决解答：（1），即（2）F为BD的中点，.例6如图所示，已知O是四边形ABCD的一边AB上的任意一点，EH/AD，HG/DC，GF/BC试说明四边形EFGH与四边形ABCD是否相似，并说明你的理由思路与技巧证明两个四边形的对应边成比例，对应角相等解答：四边形四边形理由：因为，所以，所以，所以又因为，所以，所以，所以而，所以因为，所以，所以而，所以设，所以，所以，所以因此，所以四边形四边形点评通过图形的分割，转化为三角形问题加以研究例7已知：ABCD是梯形，AB/DC，对角线AC，BD交于E，DCE的面积与CEB的面积比为13 求：DCE的面积与ABD的面积比 分析：题目中已知条件是面积比，要求的也是面积比，因此根据图形找到面积之间的关系是很重要的DCE与CEB是等高三角形，因此面积比为底的比，而DCE与ABE是相似三角形，面积的比等于相似比的平方，又可证出ADE与BCE的面积相等，这样DCE与ABD的面积比就可求了解S DCESCEB=13,而DCE与CEB是等高三角形，DEEB=13， DC/AB， DCEBAE，SDCESBAE=(DEEB)2=19，ADC与BDC为等底、等高三角形，SADC=SBDC，SADC-SDCE=SBDC-SDCE，SAED=SBEC 设SDCE=k, 则SAED=SBEC=3k, SBAE=9k,SABD=SABE+SADE=12k,SDCESABD=112. 点评相似三角形的面积比等于相似比的平方，计算时不要丢掉平方；若从面积比求相似三角形的相似比，则要注意开平方 例8如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一条直线l上，当C、Q两点重合时，等腰PQR以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰PQR重合部分的面积为Scm2，解答下列问题： （1）当t=3秒时，求S的值； （2）当t=5秒时，求S的值； 思路与技巧本题考点有等腰三角形；正方形；相似三角形第一问，思路，作PE QR，E为垂足，运用相似三角形的性质，面积比第于相似比的平方，可求出面积 第二问方法与第一问类似，但是要注意图形的位置 解（1）：作PEQR，E为垂足 PQ=PR， QE=RE=QR=4.PE= =3. 当t=3时，QC=3设PQ与DC交于点G.PEDC， QCGQEP，=()2.SQEP= 43=6，S=()26=(cm2).（2）当t=5时，QC5，