高中数学第一章三角函数7.1正切函数的定义7.2正切函数的图像与性质学案北师大版必修.docx

71正切函数的定义72正切函数的图像与性质内容要求1.能借助单位圆中的正切线画出函数ytan x的图像.2.掌握正切函数的图像、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质(重点).3.注重数形结合思想的应用以及正切函数与正、余弦函数的综合应用(难点)知识点1正切函数的定义(1)任意角的正切函数：如果角满足R，k(kZ)，那么，角的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值，我们把它叫作角的正切函数，记作ytan ，其中R，k，kZ.(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系：根据定义知tan (R，k，kZ)(3)正切值在各象限的符号：根据定义知，当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时，其正切函数值为负(4)正切线：在单位圆中令A(1,0)，过A作x轴的垂线，与角的终边或终边的延长线相交于T，称线段AT为角的正切线【预习评价】1若角的终边上有一点P(2x1,3)，且tan ，则x的值为()A7B8C15 D.解析由正切函数的定义tan ，解之得x8.答案B2函数ytan 2x的定义域为_解析由正切函数的定义知，若使ytan 2x有意义，则2xk(kZ)解得x(kZ)答案知识点2正切函数的图像及特征(1)ytan x，xR且xk，kZ的图像(正切曲线)：(2)正切曲线的特征：正切曲线是由被相互平行的直线xk(kZ)隔开的无穷多支曲线组成的这些直线叫作正切曲线各支的渐近线【预习评价】正切函数是奇函数，图像关于原点对称，那么正切函数的对称中心只有一个吗？提示正切函数的对称中心除了原点外，诸如(，0)等都是对称中心，正切函数有无数个对称中心知识点3正切函数的性质函数ytan x定义域值域R周期性周期为k(kZ，k0)，最小正周期为奇偶性奇函数单调性在(kZ)上是增加的【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)正切函数为定义域上的增函数()(2)正切函数存在闭区间a，b，使ytan x是增加的()(3)若x是第一象限的角，则ytan x是增函数()(4)正切函数ytan x的对称中心为(k，0)kZ.()题型一正切函数的定义【例1】已知角的终边经过点P(4a,3a)(a0)，求sin ，cos 、tan 的值解r5|a|，若a0，则r5a，角在第二象限，sin ，cos .tan ；若a0，则r5a，角在第四象限，sin ，cos ，tan .规律方法已知角终边上任一点的坐标(m，n)利用定义求tan 时，其值与该点的位置无关且tan .但要注意判断角所在象限利用定义可求下列特殊角的正切：0tan 011【训练1】若tan ，利用三角函数的定义，求sin 和cos .解tan 0，角是第一或第三象限角若角是第一象限角，则由tan ，角的终边上必有一点P(2,1)，r|OP|.sin ，cos .若角是第三象限角，则由tan 知，角的终边上必有一点P(2，1)，r|OP|.sin ，cos .题型二正切函数的图像及应用【例2】利用正切函数的图像作出y|tan x|的图像并写出使y的x的集合解当x时，ytan x0，当x时，ytan x0，y|tan x|如图所示使y的x的集合为.规律方法1.作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移从而得到正切函数的图像，通过图像的特点，可用“三点两线法”，这三点是，(0,0)，两线是直线x为渐近线2如果由yf(x)的图像得到yf(|x|)及y|f(x)|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出yf(x)(x0)的图像，令其关于y轴对称便可以得到yf(|x|)(x0)的图像；同理只要作出yf(x)的图像，令图像“上不动，下翻上”便可得到y|f(x)|的图像【训练2】(1)函数y的定义域为_解析要使该函数有意义，则有即xk且xk.答案(2)根据正切函数的图像，写出tan x1的解集解作出ytan x及y1的图像，如下图满足此不等式的x的集合为.方向1比较大小【例31】比较tan 1、tan 2、tan 3的大小解tan 2tan(2)，tan 3tan(3)，又2，20.3，30，显然231，且ytan x在内是增函数，tan (2)tan (3)tan 1，即tan 2tan 3 tan 1.方向2求解最值【例32】若x，求函数ytan2x2tan x2的最值及相应的x值解令ttan x，x，t，1，yt22t2(t1)21，当t1，即x时，ymin1，当t1，即x时，ymax5.方向3性质的综合应用【例33】已知f(x)atan x(a0)(1)判断f(x)在x上的奇偶性；(2)求f(x)的最小正周期；(3)求f(x)的单调区间；(4)若a0，求f(x)在上的值域解(1)f(x)atan x(a0)，x，f(x)atan(x)atan xf(x)又定义域关于原点对称，f(x)为奇函数(2)f(x)的最小正周期为.(3)ytan x在(kZ)上单调递增，当a0时，f(x)在(kZ)上单调递减，当a0时，f(x)在(kZ)上单调递增(4)当a0时，f(x)在上单调递减，故x时，f(x)maxa，无最小值f(x)的值域为(，a规律方法1.比较同名三角函数值的大小，实质上是将两个角利用周期性放在同一个单调区间内，利用单调性比较大小2对于形如ytan(x)(、为非零常数)的函数性质和图像的研究，应以正切函数的性质与图像为基础，运用整体思想和换元法求解如果0)的图像的相邻两支曲线截直线y所得线段长为，则f的值是()A0B1C1 D.解析由题意，得T，4.f(x)tan 4x，ftan 0.答案A10已知函数ytan x在(，)是减函数，则的取值范围是_解析ytan x在(，)内是减函数，0且T.|1，即10.答案1,0)11求函数ytan2x4tan x1，x的值域为_解析x，1tan x1.令tan xt，则t1,1yt24t1(t2)25.当t1，即x时，ymin4，当t1，即x时，ymax4.故所求函数的值域为4,4答案4,412若函数f(x)tan2xatan x的最小值为6.求实数a的值解设ttan x，因为|x|，所以t1,1则原函数化为：yt2at2，对称轴t.若11，则当t时，ymin6，所以a224(舍去)；若1，即a2时，二次函数在1,1上递增，ymin21a6，所以a7；若1，即a2时，二次函数在1,1上递减ymin21a6，所以a7.综上所述，a7或a7.13(选做题)已知函数f(x).(1)求函数定义域；(2)用定义判断f(x)的奇偶性；(3)在，上作出f(x)的图