数列、等差数列基础题以及答案.doc

数列、等差数列基础题以及答案一、选择题1.数列an满足a1=a2=1，若数列an的前n项和为Sn，则S2013的值为（）A. 2013B. 671C. -671D. 2.已知数列an满足递推关系：an+1=，a1=，则a2017=（）A. B. C. D. 3.数列an的前n项和为Sn，若Sn=2n-1（nN+），则a2017的值为（）A. 2B. 3C. 2017D. 30334.已知正项数列an满足，若a1=1，则a10=（）A. 27B. 28C. 26D. 295.若数列an满足：a1=2，an+1=，则a7等于（）A. 2B. C. -1D. 20186.已知等差数列an的前n项和为Sn，若2a6=a3+6，则S7=（）A. 49B. 42C. 35D. 287.等差数列an中，若a1，a2013为方程x2-10x+16=0两根，则a2+a1007+a2012=（）A. 10B. 15C. 20D. 408.已知数列an的前n项和，若它的第k项满足2ak5，则k=（）A. 2B. 3C. 4D. 59.在等差数列an中，首项a1=0，公差d0，若ak=a1+a2+a3+a10，则k=（）A. 45B. 46C. 47D. 4810.已知a1，a2，a3，a8为各项都大于零的数列，则“a1+a8a4+a5”是“a1，a2，a3，a8不是等比数列”的（）A. 充分且必要条件B. 充分但非必要条件C. 必要但非充分条件D. 既不充分也不必要条件11.已知Sn是等差数列an的前n项和，则2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（）A. 66B. 55C. 44D. 33二、填空题1.已知数列an的前n项和Sn=n2+n，则该数列的通项公式an=_2.正项数列an中，满足a1=1，a2=，=（nN*），那么an=_3.若数列an满足a1=-2，且对于任意的m，nN*，都有am+n=am+an，则a3=_；数列an前10项的和S10=_4.数列an中，已知a1=1，若，则an=_，若，则an=_5.已知数列an满足a1=-1，an+1=an+，nN*，则通项公式an= _ 6.数列an满足a1=5，-=5（nN+），则an= _ 7.等差数列an中，a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，则数列an前9项的和S9等于_三、解答题1.已知数列an的前n项和为Sn，且=1（nN+）（1）求数列an的通项公式；（2）设（nN+），求的值2.数列an是首项为23，第6项为3的等差数列，请回答下列各题：（）求此等差数列的公差d；（）设此等差数列的前n项和为Sn，求Sn的最大值；（）当Sn是正数时，求n的最大值3.已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an-2（nN*）（）求数列an的通项公式；（）求数列Sn的前n项和Tn4.已知数列an具有性质：a1为整数；对于任意的正整数n，当an为偶数时，；当an为奇数时，（1）若a1=64，求数列an的通项公式；（2）若a1，a2，a3成等差数列，求a1的值；（3）设（m3且mN），数列an的前n项和为Sn，求证：（）答案和解析【答案】1. D2. C3. A4. B5. A6. B7. B8. C9. B10. B11. D12. 2n13. 14. -6；-11015. 2n-1；2n-116. -17. 18. 8119. 解：（1）当n=1，a1=，当n1，Sn+an=1，Sn-1+an-1=1，an-an-1=0，即an=an-1，数列an为等比数列，公比为，首项为，an=（2）Sn=1-an=1-（）n，bn=n，=-，=1-+-+-=1-=20. 解：（）由a1=23，a6=3，所以等差数列的公差d=；（）=，因为nN*，所以当n=6时Sn有最大值为78；（）由，解得0n因为nN*，所以n的最大值为1221. 解：（）列an的前n项和为Sn，且Sn=2an-2则：Sn+1=2an+1-2，-得：an+1=2an，即：（常数），当n=1时，a1=S1=2a1-2，解得：a1=2，所以数列的通项公式为：，（）由于：，则：，=，=2n+1-2-2-2-2，=2n+2-4-2n22. 解：（1）由，可得，a9=0，即an的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0（2分）故数列an的通项公式为（4分）（2）若a1=4k（kZ）时，由a1，a2，a3成等差数列，可知即2（2k）=k+4k，解得k=0，故a1=0；若a1=4k+1（kZ）时，由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k）=（4k+1）+k，解得k=-1，故a1=-3；（7分）若a1=4k+2（kZ）时，由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+2）+k，解得k=0，故a1=2；若a1=4k+3（kZ）时，由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+3）+k，解得k=-1，故a1=-1；a1的值为-3，-1，0，2（10分）（3）由（m3），可得，若，则ak是奇数，从而，可得当3nm+1时，成立（13分）又，am+2=0，故当nm时，an0；当nm+1时，an=0（15分）故对于给定的m，Sn的最大值为a1+a2+am=（2m-3）+（2m-1-2）+（2m-2-1）+（2m-3-1）+（21-1）=（2m+2m-1+2m-2+21）-m-3=2m+1-m-5，故（18分）【解析】1. 解：数列an满足a1=a2=1，从第一项开始，3个一组，则第n组的第一个数为a3n-2 a3n-2+a3n-1+a3n =cos =cos（2n-）=cos（-）=cos =-cos =-，20133=671，即S2013正好是前671组的和，S2013=-671=-故选D由数列an满足a1=a2=1，知从第一项开始，3个一组，则第n组的第一个数为a3n-2，由a3n-2+a3n-1+a3n=cos=-，能求出S2013本题考查数列的递推公式和数列的前n项和的应用，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用2. 解：an+1=，a1=，-=1数列是等差数列，首项为2，公差为1=2+2016=2018则a2017=故选：Can+1=，a1=，可得-=1再利用等差数列的通项公式即可得出本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3. 解：Sn=2n-1（nN+），a2017=S2017-S2016=22017-1-22016+1=2 故选：A由a2017=S2017-S2016，代值计算即可本题考查了数列的递推公式，属于基础题4. 解：，an+12-2anan+1+an2=9，（an+1-an）2=9，an+1-an=3，或an+1-an=-3，an是正项数列，a1=1，an+1-an=3，即an是以1为首项，以3为公差的等差数列，a10=1+93=28故选B由递推式化简即可得出an是公差为3的等差数列，从而得出a10本题考查了等差数列的判断，属于中档题5. 解：数列an满足：a1=2，an+1=，则a2=，a3=-1 a4=2 a5=，a6=-1a7=2故选：A利用数列的递推关系式，逐步求解即可本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力6. 解：等差数列an的前n项和为Sn，2a6=a3+6，2（a1+5d）=a1+7d+6，a1+3d=6，a4=6，=42故选：B由已知条件利用等差数列的通项公式能求出a4，由此利用等差数列的前n项和公式能求出S7本题考查等差数列的前7项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和前n项和公式的合理运用7. 解：a1，a2013为方程x2-10x+16=0的两根a1+a2013=10 由等差数列的性质知：a1+a2013=a2+a2012=2a1007 a2+a1007+a2012=15 故选：B由方程的韦达定理求得a1+a2013，再由等差数列的性质求解本题主要考查韦达定理和等差数列的性质，确定a1+a2013=10是关键8. 解：已知数列an的前n项和，n=1可得S1=a1=1-3=-2，an=Sn-Sn-1=n2-3n-（n-1）2-3（n-1）=2n-4，n=1满足an，an=2n-4，它的第k项满足2ak5，即22k-45，解得3k4.5，因为nN，k=4，故选C；先利用公式an=求出an=，再由第k项满足4ak7，建立不等式，求出k的值本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式an=的合理运用，属于基础题9. 解：ak=a1+a2+a3+a10，a1+（k-1）d=10a1+45d a1=0，公差d0，（k-1）d=45d k=46 故选B由已知ak=a1+a2+a3+a10，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题10. 解：若八个正数，成等比数列公比q0，（a1+a8）-（a4+a5）=a1（1+q7）-（q3+q4） =a1（q3-1）（q4-1） 当0q1，时（q3-1）0，（q4-1）0 a1（q3-1）（q4-1）0 当q1，时（q3-1）0，（q4-1）0 a1（q3-1）（q4-1）0 所以a1+a8a4+a5，故若a1+a8a4+a5，则a1，a2，a3，a8不是等比数列，若a1，a2，a3，a8不是等比数列，a1+a8a4+a5，不一定成立，故“a1+a8a4+a5”是“a1，a2，a3，a8不是等比数列”的充分非必要条件故选B先假设八个整数成等比数列且q1，利用等比数列的通项公式表示出（a1+a8）-（a4+a5），分别对q1和q1分类讨论，可推断出a1+a8a4+a5一定成立，反之若a1+a8a4+a5，则a1，a2，a3，a8不是等比数列，推断出条件的充分性；若a1，a2，a3，a8不是等比数列，a1+a8a4+a5，不一定成立，综合答案可得本题主要考查了等比关系的确定以及充分条件，必要条件充分必要条件的判定考查了学生分析问题和基本的推理能力11. 解：由等差数列的性质可得：2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，6a3+6a9=36，即a1+a11=6则S11=113=33故选：D利用等差数列的通项公式与性质与求和公式即可得出本题考查了等差数列的通项公式与性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12. 解：由Sn=n2+n，得a1=S1=2，当n2时，an=Sn-Sn-1=（n2+n）-（n-1）2+（n-1）=2n当n=1时上式成立，an=2n故答案为：2n由数列的前n项和求得首项，再由an=Sn-Sn-1（n2）求得an，验证首项后得答案本题考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，是基础题13. 解：由=（nN*），可得a2n+1=anan+2，数列an为等比数列，a1=1，a2=，q=，an=，故答案为：由=（nN*），可得a2n+1=anan+2，即可得到数列an为等比数列，求出公比，即可得到通项公式本题考查了等比数列的定义以及通项公式，属于基础题14. 解：对于任意的m，nN*，都有am+n=am+an，取m=1，则an+1-an=a1=-2，数列an是等差数列，首项为-2，公差为-2，an=-2-2（n-1）=-2na3=-6，数列an前10项的和S10=-110故答案分别为：-6；-110对于任意的m，nN*，都有am+n=am+an，取m=1，则an+1-an=a1=-2，可得数列an是等差数列，首项为-2，公差为-2，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15. 解：在数列an中，由，可知数列是公差为2的等差数列，又a1=1，an=1+2（n-1）=2n-1；由，可知数列是公比为2的等比数列，又a1=1，故答案为：2n-1；2n-1由已知递推式an-an-1=2，可得数列是公差为2的等差数列，由，可知数列是公比为2的等比数列，然后分别由等差数列和等比数列的通项公式得答案本题考查数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，是基础题16. 解：由题意，an+1-an=-，利用叠加法可得an-a1=1-=，a1=-1，an=-，故答案为-由题意，an+1-an=-，利用叠加法可得结论本题考查数列的通项，考查叠加法的运用，属于基础题17. 解：数列an满足a1=5，-=5（nN+），可知数列是等差数列，首项为，公差为：5可得=+5（n-1），解得an故答案为：判断数列是等差数列，然后求解即可本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查计算能力18. 解：等差数列an中，a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，3a4=33，3a6=21；a4=11，a6=7；数列an前9项的和：故答案为：81根据等差数列项的性质与前n项和公式，进行解答即可本题考查了等差数列项的性质与前n项和公式的应用问题，是基础题目19. （1）根据数列的