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专题突破练(6)圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题一、选择题1设AB为过抛物线y22px(p0)的焦点的弦,则|AB|的最小值为()A. Bp C2p D无法确定答案C解析当弦AB垂直于对称轴时|AB|最短,这时x,yp,|AB|min2p.2已知F是双曲线1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|PA|的最小值为()A4 B6 C8 D9答案D解析注意到P点在双曲线的右支上,且双曲线右焦点为F(4,0),于是由双曲线定义得|PF|PF|2a4,故|PF|PA|2a|PF|PA|4|AF|9,当且仅当A、P、F三点共线时等号成立32016哈三中模拟直线l与抛物线C:y22x交于A,B两点,O为坐标原点,若直线OA,OB的斜率k1,k2满足k1k2,则l一定过点()A(3,0) B(3,0) C(1,3) D(2,0)答案A解析设直线l的方程为xmyb,联立直线和抛物线的方程得整理得y22my2b0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得y1y22b,y1y22m,故x1x2(my1b)(my2b)m2y1y2mb(y1y2)b22bm22bm2b2b2.因为k1k2,解得b3,故l的横截距为定值3,即l一定过点(3,0)42016贵州遵义联考设P,Q分别为圆x2(y6)22和椭圆y21上的点,即P,Q两点间的最大距离是()A5 B. C6 D7答案C解析解法一:设Q(x,y),1y1.因为圆x2(y6)22的圆心为T(0,6),半径r,则|QT|5,当y时取等号,所以|PQ|max56.故选C.解法二:设Q(cos,sin),圆心为M,由已知得M(0,6),则|MQ| 5,故|PQ|max56.52016贵阳摸底已知椭圆C:1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是2,1,那么直线PA1的斜率的取值范围是()A. B. C. D.答案B解析解法一:设P(x,y),直线PA1,PA2的斜率分别为k1,k2,易知A1(2,0),A2(2,0),则有k1k2,因为2k21,所以k10且21,即12,解得k1.故选B.解法二:设直线PA2的斜率为k2,令k21,则直线PA2的方程为y(x2),代入椭圆方程并整理得7x216x40,解得x12,x2,从而可得点P的坐标为,于是直线PA1的斜率k1.同理,令k22,可得k1.结合选项知,选项B正确62016山西运城调研已知A,B为抛物线y22px(p0)上的两动点,F为其焦点,且满足AFB60,过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线,垂足为N,|MN|AB|,则的最大值为()A1 B. C. D2答案A解析过点A,B作准线的垂线,垂足分别为D,C,因为M为线段AB的中点,BCAD,所以|MN|(|BC|AD|),又因为|AF|AD|,|BF|BC|,所以|MN|(|BF|AF|),又|MN|AB|,所以2|AB|AF|BF|,两边平方得42|AB|2|AF|2|BF|22|AF|BF|,即42.在ABF中,由余弦定理得|AB|2|AF|2|BF|22|AF|BF|cos60,即|AB|2|AF|2|BF|2|AF|BF|,所以42,由|AB|2|AF|2|BF|2|AF|BF|2|AF|BF|AF|BF|AF|BF|,故|AB|2|AF|BF|,所以424,因为0,所以0b0),其离心率e,过椭圆E内一点P(1,1)的两条直线分别与椭圆交于点A,C和B,D,且满足,其中为实数当点C恰为椭圆的右顶点时,对应的.(1)求椭圆E的方程;(2)当变化时,kAB是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由解(1)因为椭圆E:1(ab0)的离心率e,即a2c2,所以b2a2.因为C(a,0),成立,所以由,得A,将其代入椭圆方程中,得1,解得a2,所以a2,b,所求椭圆E的方程为1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),由,得同理将A,B的坐标代入椭圆方程得两式相减得,3(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0,即3(x1x2)4(y1y2)kAB0.同理,3(x3x4)4(y3y4)kCD0.因为,所以ABCD,所以kABkCD,所以3(x3x4)4(y3y4)kAB0,所以3(x3x4)4(y3y4)kAB0,所以3(x1x3x2x4)4(y1y3y2y4)kAB0,即6(1)8(1)kAB0,所以kAB为定值122016贵阳检测已知抛物线C:y22px(p0),O为坐标原点,F为抛物线的焦点,已知点N(2,m)为抛物线C上一点,且|NF|4.(1)求抛物线C的方程;(2)若直线l过点F交抛物线于不同的两点A,B,交y轴于点M,且a,b,a,bR,对任意的直线l,ab是否为定值?若是,求出ab的值;否则,说明理由解(1)因为|NF|4,由抛物线的定义知xN4,即24,所以p4,所以抛物线C的方程为y28x.(2)显然直线l的斜率存在且一定不等于零,设其方程为xty2(t0),则直线l与y轴交点为M.设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x得y28ty160,所以(8t)2(64)64(t21)0,y1y28t,y1y216.由a,得a(2x1,y1),所以a1,同理可得b1,ab221.所以ab为定值1.132017广东四校联考 在空间中,取直线l为轴,直线l与l相交于O点,夹角为30,l围绕l旋转得到以O为顶点,l为母线的圆锥面已知直线l平面,l与的距离为2,平面与圆锥面相交得到双曲线.在平面内,以双曲线的中心为原点,以双曲线的两个焦点所在直线为y轴,建立直角坐标系(1)求双曲线的方程;(2)在平面内,以双曲线的中心为圆心,半径为2的圆记为曲线,在上任取一点P,过点P作双曲线的两条切线交曲线于两点M,N,试证明线段MN的长为定值,并求出这个定值解(1)如图,设O为双曲线的中心,则轴l与平面的距离为|OO|2,A为双曲线的一个顶点,AOO60,所以|OA|2.在轴l上取点C,使得|OC|4,过C作与轴l垂直的平面,交圆锥面得到圆C,圆C与双曲线相交于D,E两点设DE的中点为B,易知|CB|2,|CD|4,可得|BD|2,从而可知双曲线的实半轴长为2,且过点(2,4)设双曲线的标准方程为1,将点(2,4)代入方程得b24,所以双曲线的标准方程为1.(2)证明:在条件(1)下,显然双曲线的两切线PM,PN都不垂直x轴设点P的坐标为(x0,y0),令过点P的切线的斜率为k,则切线方程为yk(xx0)y0,由消去y,得(k23)x22k(kx0y0)x(kx0y0)2120,由0,化简得(x4)k22x0y0k(y12)0.令PM,PN的斜率分别为k1,k2,则k1k2,由点P(x0,y0)在圆上,得xy8,得1,k1k21.所以PMPN,线段MN是圆的直径,为定值,|MN|4.14. 2016重庆统考如图,F是椭圆1(ab0)的右焦点,O是坐标原点,|OF|,过F作OF的垂线交椭圆于P0,Q0两点,OP0Q0的面积为.(1)求该椭圆的标准方程;(2)若直线l与上、下半椭圆分别交于点P,Q,与x轴交于点M,且|PM|2|MQ|,求OPQ的面积取得最大值时直线l的方程解(1)由已知条件,|P0F|,易知|P0F|,从而.又c|OF|,即a2b25,因此a2a50,解得a3或a,又因为a0,故a3,从而b2.故所求椭圆的标准方程为1.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(m,0),由题意知y10,y20,并可设直线l:xtym(t0),代入椭圆方程得1,即(4t29)y28
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