2018届高三数学复习不等式选讲第二节不等式的证明夯基提能作业本理.docx

第二节不等式的证明A组基础题组1.如果x0,比较(x-1)2与(x+1)2的大小.2.已知a,b,c都是正数,求证:a2b2+b2c2+c2a2a+b+cabc.3.已知x,y都是正数,求证:x3+y3x2y+xy2.4.已知ABC的三边长分别是a,b,c,且m为正数,求证:aa+m+bb+mcc+m.5.设n是正整数,求证:121n+1+1n+2+12n1.6.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ca13;(2)a2b+b2c+c2a1.B组提升题组7.(2016江西赣州一模)设a、b为正实数,且1a+1b=22.(1)求a2+b2的最小值;(2)若(a-b)24(ab)3,求ab的值.8.(2016江西质量检测)已知函数f(x)=|x-1|.(1)解不等式f(2x)+f(x+4)8;(2)若|a|1,|b|fba.答案全解全析A组基础题组1.解析(x-1)2-(x+1)2=(x-1+x+1)(x-1)-(x+1)=-4x.因为x0,所以-4x0,所以(x-1)20,所以a2(b2+c2)2a2bc.同理,b2(a2+c2)2ab2c,c2(a2+b2)2abc2.相加得2(a2b2+b2c2+c2a2)2a2bc+2ab2c+2abc2,从而a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c).由a,b,c都是正数,得a+b+c0,因此a2b2+b2c2+c2a2a+b+cabc.3.证明(x3+y3)-(x2y+xy2)=x2(x-y)+y2(y-x)=(x-y)(x2-y2)=(x-y)2(x+y),x,y都是正数,(x-y)20,(x+y)0,即(x3+y3)-(x2y+xy2)0,x3+y3x2y+xy2.4.证明要证aa+m+bb+mcc+m,只需证a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m)0,即证abc+abm+acm+am2+abc+abm+bcm+bm2-abc-acm-bcm-cm20,即证abc+2abm+(a+b-c)m20.由于a,b,c分别是ABC的三边长,故有abc0,ab0,a+bc.因为m0,所以(a+b-c)m20,2abm0,所以abc+2abm+(a+b-c)m20成立,因此aa+m+bb+mcc+m成立.5.证明由2nn+kn(k=1,2,n),得12n1n+k1n.当k=1时,12n1n+11n;当k=2时,12n1n+21n;当k=n时,12n1n+n1n,所以12=n2n1n+1+1n+2+12nnn=1.6.证明(1)由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca得a2+b2+c2ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,所以3(ab+bc+ca)1,即ab+bc+ca13.(2)因为a2b+b2a,b2c+c2b,c2a+a2c,故a2b+b2c+c2a+(a+b+c)2(a+b+c),即a2b+b2c+c2aa+b+c.所以a2b+b2c+c2a1.B组提升题组7.解析(1)由22=1a+1b21ab得ab12,当a=b=22时取等号.故a2+b22ab1,当a=b=22时取等号.所以a2+b2的最小值是1.(2)由(a-b)24(ab)3得1a-1b24ab.即1a+1b2-4ab4ab,从而ab+1ab2.又ab+1ab2,所以ab+1ab=2,又a,b为正实数,所以ab=1.8.解析(1)f(2x)+f(x+4)=|2x-1|+|x+3|=当x-3时,由-3x-28,