高中数学第三章概率3.2古典概型知识导航北师大版.DOC

2古典概型知识梳理1.试验结果有有限个,且每个事件都是随机事件的事件称为基本事件.一个复杂彼此互斥的事件都可以表示成基本事件的和.2.我们把具有:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件出现的可能性相等.两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.3.基本事件总数n的古典概型中,每个基本事件发生的概率为.4.在古典概型中,任何事件的概率P(A)=5.在一个随机试验中,我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称为互斥事件.6.事件A+B发生是指事件A和B至少有一个发生.如果随机事件A和B是互斥事件,那么有P(A+B)=P(A)+P(B),这是互斥事件的概率加法公式.该公式还可以推广为多个互斥事件的情况,其公式是:P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An).7.记为事件A的对立事件,那么P()+P(A)=1.知识导学古典模型是一种最基本的模型,也是学习其他概率模型的基础,学习时要抓住以下三个特点:(1)对于每次随机试验来说,只可能出现有限个不同的试验结果;(2)对于这有限个不同的结果,它们出现的可能性是相等的;(3)求事件的概率可以不通过大量重复试验,而只要通过对一次试验中出现的结果进行分析计算即可.因此,必须分清事件是否是等可能事件,以免与后面学习的其他事件及其概率混淆.古典概率的计算公式P(A)=与事件A发生的频率fn(A)=有本质的区别:对同一试验的同一事件P(A)为一个定值,而频率中的nA是随试验次数变化而变化的,因此,fn(A)也是变化的,但fn(A)总是接近于P(A).判断两个事件是否为互斥事件,主要看它们能否同时发生.对于两个互斥事件,由于它们不可能同时发生,即只有一个发生,所以可用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)计算其概率.对立事件一定互斥,但互斥不一定对立.在概率的计算问题中,若事件A比较复杂,而其对立事件比较简单时,我们往往通过公式P()=1-P(A),计算P()来求得P(A).古典概型比较简单又易于理解,并且在实践中有广泛的应用,学习这些,不仅能提高我们的学习兴趣,激发强烈的求知欲望,还能在解决问题中体会到数学本身的趣味性,应用的广泛性,帮助我们培养严谨的逻辑思维能力及高度概括能力.疑难突破1.如何正确地理解古典概型?剖析:如果一个试验的所有结果只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果;每一个试验结果出现的可能性相同,我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.例如,抛掷一枚均匀的骰子,出现各个点数的可能性都是相等的;转带有指针的等份圆盘,指针指向每份的可能性相同;同时抛掷两枚硬币,出现两个硬币都“正面朝上”或都“反面朝上”的可能性相同等这些都属于古典概型.所以理解判断一个试验是否为古典概型,关键在于这个试验是否具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性.所以对理解古典概型还应注意以下几点:(1)并不是所有的试验都是古典概型.例如在适宜的条件下,种下一粒种子,观察它是否发芽.这个试验的基本事件为“发芽”和“不发芽”.而“发芽”和“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的.又如,从规格直径为300 mm0.6 mm的一批合格产品中抽取一根,测量其直径,测得值可能是299.4 mm到300.6 mm之间的任何一个值,所有结果有无限多个.这两个试验都不属于古典概型.(2)从集合角度看待概率.在一次试验中,等可能出现的全部结果组成一个集合I,基本事件个数n就是集合I的元素个数.事件A是集合I的一个包含m个元素的子集,所以P(A)=(3)古典概型中,若试验只有n个等可能结果,其中导致事件A出现的结果有m个,则事件A出现的概率为P(A)=.(4)在面对具体问题时,应先判定所给问题是否为古典概型,若是则根据题意设出事件A,并找出问题的全部等可能结果总数n和导数事件A出现的结果数m,代入古典概型的计算公式计算即可.2.古典概率的计算公式P(A)=中,m和n的具体含义剖析:n表示试验的所有可能结果(基本事件)数,m表示随机事件A包含的基本事件数,即P(A)= .同时,对于某些比较复杂的问题可以利用已学的概率模型进行对比分析以解答.例如,从某鱼池中捕得m条鱼,都作上记号后放回鱼池,再捕得n条鱼,其中有k条鱼有记号,大家很容易估计出这池鱼的数目约为条,我们使用了古典概率的计算公式.3.公式P(A+B)=P(A)+P(B)的适用条件剖析:事件A+B是一个事件,事件A+B发生是指事件A和B之中至少有一个发生.如果随机事件A与B是互斥事件,则有P(A+B)=P(A)+P(B);如果随机事件A和B不是互斥事件,则有P(A+B)P(A)+P(B).典题精讲例1一个盒子里装有完全相同的十个小球,分别标上1、2、3、10这10个数字,今随机地抽取两个小球,如果:(1)小球是不放回的;(2)小球是有放回的.求两个小球上的数字为相邻整数的概率.思路分析:小球放回与不放回时,基本事件的总数是不同的.解:随机选取两个小球,记事件A为“两个小球上数字为相邻整数”,可能的结果为(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9),(9,10),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5)(7,6),(8,7),(9,8),(10,9)共18种.(1)如果小球是不放回的,按抽取顺序记录结果(x,y),则x有10种可能,y有9种可能,共有的可能结果为109=90种.因此,事件A的概率是(2)如果小球是有放回的,按抽取顺序记录结果(x,y),则x有10种可能,y有10种可能,但(x,y)与(y,x)是一样的,共有可能的结果为1010=100种.因此,事件A的概率是绿色通道:在解答古典概型问题时选用适当的样本空间常常可使问题简化,同时也可以避免复杂的计算.例如本题如果按照常规方法计算,不仅需要分类讨论还需要验证计算,过程十分复杂,可能会在计算过程中出现错误,那么不仅徒劳而且无功.因此在解答古典概型问题时一定要注意应用正确的逻辑推理选择适当的样本空间(基本事件).变式训练从1、2、3、4、5这5个数字中,不放回地任取两数,两数都是奇数的概率是_.思路解析:从5个数字中,不放回地任取两数,第一次有5种取法,第二次有4种取法,但第一次取1、第二次取2和第一次取2、第二次取1是同一事件,故基本事件总数为54=10.记“两数都是奇数”为事件A,则事件A为从1,3,5三个奇数中任取两数有3种取法,即事件A含有3个基本事件.所以,由古典概率公式,得P(A)=.答案: 例2下面有三个游戏规则,袋子中分别装有大小相同的球,从袋中取球,分别计算甲获胜的概率,哪个游戏是公平的?游戏类别游戏1游戏2游戏3袋中球的情况1个红球和1个白球2个红球和2个白球3个红球和3个白球每次取球要求取1个球取1个球,再取1个球取1个球,再取1个球游戏规则取出的球是红球甲胜取出的球是白球乙胜取出的两球同色甲胜取出的两球不同色乙胜取出的两球同色甲胜取出的两球不同色乙胜思路分析:要看哪个游戏对甲来说是公平的,关键是计算出三个游戏中,甲胜的概率分别是多少.解:对于游戏1:甲胜的概率是P(A)=;对于游戏2:从4个球中任取两个球,第一次取球有4种取法,第二次取球有3种取法,但考虑到先取a后取b和先取b后取a是同一事件,故基本事件总数是43=6,记“取出的两球同色”为事件B,则B包含有2个基本事件,所以,P(B)= .对于游戏3:由游戏2知,基本事件总数n=6,记“取出的两球同色”为事件C,则事件C为从3个红球中任取两个球,有三种取法,即事件C含有三个基本事件,所以,P(C)=.通过计算可知,游戏1和游戏3,甲获胜的概率都是.因此,游戏1和游戏3是公平的.变式训练(2005广东高考卷,10）先后抛掷两枚均匀的骰子(它们的6个面分别标有数字1、2、3、4、5、6),设骰子朝上的面的点数分别为X、Y,则log2XY=1的概率为()A.B. C. D.思路解析:同时抛掷两枚骰子,可能的结果如下表:1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)共有36个不同的结果,而X=1、Y=2;X=2、Y=4;X=3、Y=6;三对满足log2XY=1.故所求概率为P=答案:C例3某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率;(2)求他不乘轮船去的概率;(3)如果他去的概率为0.5,请问他有可能是乘何种交通工具去的?思路分析:分清事件之间是互斥关系还是对立关系,然后套用相关公式.解:(1)记“他乘火车去”为事件A1,“他乘轮船去”为事件A2,“他乘汽车去”为事件A3,“他乘飞机去”为事件A4,这四个事件不可能同时发生,故它们彼此互斥.故P(A1+A4)=P(A1)+P(A4)=0.3+0.4=0.7.所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7;(2)设他不乘轮船去的概率为P,则P=1-P(A2)=1-0.2=0.8;(3)由于0.3+0.2=0.5,0.1+0.4=0.5,1-(0.3+0.2)=0.5,1-(0.4+0.1)=0.5,故他有可能乘火车或乘轮船去,也有可能乘汽车或乘飞机去.绿色通道:求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:一是直接求解,即将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和,运用互斥事件的求和公式计算即可;二是间接求解,也就是先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P()计算出结果,即运用了逆向思维(正难则反),特别是问题中遇到“至多”“至少”“不”等问题时,用方法二比较简便.变式训练(1)某居民社区有两种报纸甲、乙供居民订阅,记事件A为“只订甲报”;事件B为“至少订一种报”;事件C为“至多订一种报”;事件D为“不订甲报”;事件E为“一种报纸也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.A与CB与EB与DB与CC与E思路分析:利用互斥事件、对立事件的定义.解:由于事件C“至多订一种报”中有可能只订甲报,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件.由于事件B发生可导致事件E一定不发生,且事件E发生会导致事件B一定不发生,故B与E还是对立事件.事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报,即有可能不订甲报,也就是说事件B发生,事件D也可能发生,故B与D不互斥.事件B“至少订一种报”中有这些可能:“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报”中有这些可能:“什么也不订”“只订甲报”“只订乙报”.由于这两个事件可能同时发生,故B与C不是互斥事件.由(4)的分析,事件E“一种报纸也不订”只是事件C的一种可能,事件C与事件E有可能同时发生,故C与E不互斥.(2)从一堆产品(其中正品和次品都多于2件)中任取2件,其中:“恰有一件次品和恰有两件次品”;“至少有一件次品和全是次品”;“至少有一件次品和全是正品”.试判断以上各对事件是不是互斥事件?思路分析:两事件若是互斥事件,则它们一定不可能同时发生,据此可进行判断.解:因为“恰有一件次品”和“恰有两件次品”不可能同时发生,所以它们是互斥事件;因为恰有2件次品时,至少有一件次品和全是次品同时发生,所以它们不是互斥事件;因为“至少有一件次品”与“全是正品”不可能同时发生,所以它们互斥.(3)从1,2,3,9这9个数中任取两数,其中:恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;至少有一个是奇数和两个都是奇数;至少有一个是奇数和两个都是偶数;至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中,是对立事件的是()A.B.C.D.思路解析:中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”,而从19中任取两数共有3个事件:“两个奇数”“一奇一偶”“两个偶数”,故“至少有一个是奇数”与“两个偶数”是对立事件.所以选C.答案:C问题探究问题1结合你对古典概型问题的理解以及问题的解决,思考并归纳在古典概型的学习中常容易出现哪些错误.导思:古典概型是一种重要的概率模型,特别注意它有两个主要特征,其概率如何计算,在解决具体问题时,常用列举法将基本事件一一列出,然后再求出m和n的值.如果两个事件互斥,则可按互斥事件的加法公式进行求解.可回顾所涉及的问题进行探究整理.探究:(1)审题不细,语句理解不到位.例如,某学生参加考试,他要解答六道题,每道题被他解出的概率是,求他首次做错一道题之前,已经正确做出两道题的概率.容易出现的错误解答是:将事件分成总共做出3、4、5、6道题等四种情况讨论.显然没有准确理解“首次做错”的含义.(2)对事件发生的概率实质的理解不透彻.例如一名学生在军训中练习射击项目,他射击一次,命中目标的概率是,若连续射击6次,且各次射击是否命中目标相互之间没有影响,求这名学生在第3次射击时,首次命中目标的概率;求这名学生在射击过程中,恰好命中目标3次的概率.分析:事件“学生在第3次射击时,首次命中目标”的概率计算可能出现误解,认为本题要连同第4,5,6次射击的结果一起计算,因为学生要连续射击6次.事实上,第4,5,6次射击的结果是什么并不需要了解,它们是必然事件,概率为1.(3)互斥事件与独立事件混淆.例如,甲、乙、丙三名学生在军训中练习射击项目,命中目标的概率分别是,.求甲、乙两人恰好一人击中目标的概率;求三人至少有一人命中目标的概率.分析:本题求甲、乙两人恰好一人击中目标的概率时,可能出现误解:将甲、乙的概率计算割裂开来,得到+=,将独立事件当成互斥事件算,不知道甲击中目标与否和乙击中目标与否,这两个事件是同时发生的.(4)考虑不周,忽视分类讨论.例如,某种信号发送要重复发送,以保证正确率.已知每次发送信息正确率都是连续发送三次,按“少数服从多数”原则确认信号.求得到错误结果的概率.分析:本题中可能错误地得到+=.计算出现2次错误的概率时,只注意到出现错误次数,没有关注哪一次发生错误.本题若采用独立重复试验的公式则可避免失误.问题2在标准化考试中,既有单选题又有多选题,多选题是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确的答案,同学们可能有一种感觉,如果不知道正确答案,多选题更难猜对,这是为什么?导思:可以研究单选题和多选题猜对的概率分别是多少.探究:对于多选题,我们先写出正确答案的所有结果:如果只有一个答案是正确的,则有(A)、(B)、(C)、(D)4种;如果有两个答案是正确的,则正确答案可以是(A、B)、(A、C)、(A、D)、(B、C)、(B、D)、(C、D)6种;如果有3个答案是正确的,则正确答案可以是(A、B、C)、(A、C、D)、(A、B、D)、(B、C、D)4种;如果有4个答案是正确的,则正确答案只有(A、B、C、D)一种.故正确答案的所有可能结果有4641=15种,从这15种答案中任选1种的可能性只有.对于单选题,只有(A)、(B)、(C)、(D)4种,从这4种答案中任选1种的可能性是.因为,所以多选题更难猜对.问题3某种饮料每箱装12听,如果其中有2听不合格,若质检人员从中随机抽出2听,检测出不合格产品的概率有多大?如果增加检测的听数,查出不合格