2018版高中数学第一章棱柱棱锥棱台和球的表面积学案含解析新人教B版.docx

1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念，了解它们的侧面展开图.(重点)2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式，并会求它们的表面积.(重点)3.了解球的表面积公式，会运用公式求球的表面积.(重点)4.组合体的表面积计算.(难点)基础初探教材整理1棱柱、棱锥、棱台的表面积阅读教材P25P26“倒数第5行”以上内容，完成下列问题.棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积和.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.()(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.()(3)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等.()【解析】(1)正确.多面体的表面积等于侧面积与底面积之和.(2)错误.棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的，不一定是等腰梯形.(3)错误.由于剪开的棱不同，同一个几何体的表面展开图可能不是全等形.但是，不论怎么剪，同一个多面体表面展开图的面积是一样的.【答案】(1)(2)(3)教材整理2圆柱、圆锥、圆台和球的表面积阅读教材P26“倒数第3行”P27“例1”以上内容，完成下列问题.1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式几何体侧面展开图表面积公式圆柱S圆柱2r(rl)，r为底面半径，l为侧面母线长圆锥S圆锥r(rl)，r为底面半径，l为侧面母线长圆台S圆台(r2r2rlrl)，r为上底面半径，r为下底面半径，l为侧面母线长2.球的表面积球的表面积公式S球4R2.1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A.4B.3C.2D.【解析】所得旋转体为圆柱，圆柱的底面圆半径为1，高为1，侧面积S2rh2112.故选C.【答案】C2.已知两个球的半径之比为12，则这两个球的表面积之比为()A.12 B.14C.16D.18【解析】.【答案】B小组合作型求棱柱、棱锥、棱台的表面积已知正四棱锥底面边长为4，高与斜高夹角为30.求它的侧面积和表面积.【精彩点拨】根据多面体的侧面积公式，可以先求出相应多面体的底面边长和各侧面的斜高，进而由公式求解.【自主解答】如图所示，设正四棱锥的高为PO，斜高为PE，底面边心距为OE，它们组成一个直角三角形POE.OE2，OPE30，PE4.S正四棱锥侧ch(44)432，S表面积423248.即该正四棱锥的侧面积是32，表面积是48.1.要求锥体的侧面积及表面积，要利用已知条件寻求公式中所需的条件，一般用锥体的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解相应的量.2.空间几何体的表面积运算，一般是转化为平面几何图形的运算，往往通过解三角形来完成.再练一题1.某几何体的三视图如图1188所示，则该几何体的表面积为()图1188A.180 B.200 C.220 D.240【解析】由三视图知识知该几何体是底面为等腰梯形的直四棱柱.等腰梯形的上底长为2，下底长为8，高为4，腰长为5，直四棱柱的高为10，所以S底(82)4240，S侧1081022105200，S表40200240，故选D.【答案】D求圆柱、圆锥、圆台的表面积如图1189所示，已知直角梯形ABCD，BCAD，ABC90，AB5 cm，BC16 cm，AD4 cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积. 【导学号：45722026】图1189【精彩点拨】【自主解答】以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm，下底半径是16 cm，母线DC13 (cm).该几何体的表面积为(416)1342162532(cm2).1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键.2.棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解.再练一题2.在本例题题设条件不变的情况下，求以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.【解】以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图所示：其中圆锥的高为16412(cm)，圆柱的母线长为AD4 cm，故该几何体的表面积为：25452513130(cm2).球的表面积问题有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.【精彩点拨】本题是求三个球的表面积之比，解题的关键是得出半径之比，可在各几何体内做出截面，找到球心，易求半径.【自主解答】设正方体的棱长为a.(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，所以有2r1a，r1，所以S14ra2.(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图，2r2a，r2a，所以S24r2a2.(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图，所以有2r3a，r3a，所以S34r3a2.综上可得S1S2S3123.1.在处理球和长方体的组合问题时，通常先作出过球心且过长方体对角面的截面图，然后通过已知条件求解.2.球的表面积的考查常以外接球的形式出现，可利用几何体的结构特征构造熟悉的正方体，长方体等，通过彼此关系建立关于球的半径的等式求解.再练一题3.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图1190所示，则该三棱锥的外接球的表面积为()图1190A.29B.28 C.25 D.26【解析】由三视图得直观图如图，三棱锥OABC中OA，OB，OC两两垂直，OA3，OC4，OB2，可看作是长方体从同一顶点出发的三条棱长，长方体的对角线，即为球的直径，长为，故外接球半径为，外接球的表面积S球429.【答案】A探究共研型与三视图有关的表面积探究1一个几何体的三视图如图1191所示，请说出该几何体的结构特征.图1191【提示】由所给三视图可知该几何体为一个三棱柱，且底面为直角三角形.探究2试根据图中数据求该几何体的表面积.【提示】三棱柱底面三角形的直角边长分别为3和4，斜边长为5，三棱柱的高为5，如图所示，所以表面积为2(345)572.探究3已知几何体的三视图，如何求几何体的表面积？【提示】首先根据三视图确定几何体的形状及其结构特征，再根据相应的表面积公式计算.已知某几何体的三视图如图1192(单位：cm).(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积. 【导学号：45722027】图1192【精彩点拨】【自主解答】(1)这个几何体的直观图如图所示.(2)这个几何体可看成是正方体AC1及三棱柱B1C1QA1D1P的组合体.由PA1PD1，A1D1AD2，可得PA1PD1.故所求几何体的表面积S522222224(cm2).1.由三视图转化为直观图在解题中起到关键作用，在转化过程中注意图中各个数据的对应关系.2.在求几何体的表面积时，要搞清几何体的结构特征，注意分割、拼补的技巧，注意转化与化归思想应用.再练一题4.某几何体的三视图如图1193所示，它的表面积为()图1193A.32 B.48 C.33 D.24【解析】由三视图可知，该几何体是一个半球和一个圆锥的组合体S2323533.【答案】C1.一个几何体的三视图如图1194所示，该几何体的表面积是()图1194A.372 B.360C.292D.280【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积与上面长方体的四个侧面积之和.S2(10810282)2(6882)360.故选B.【答案】B2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为()A. B.C.D.【解析】设圆柱的底面半径为r，高为h，则有h2r，所以表面积与侧面积的比为2(r2rh)2rh(rh)h(21)2.【答案】A3.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为_.【解析】S圆柱22aa2，S圆锥aa2，S圆柱S圆锥21.【答案】214.如图1195所示，圆台的上、下底半径和高的比为144，母线长为10，则圆台的侧面积为_.图1195【解析】设圆台的上底