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1.3.1 函数的单调性与导数学业分层测评(建议用时:45分钟)学业达标一、选择题1函数yxxln x的单调递减区间是()A(,e2)B(0,e2)C(e2,)D(e2,)【解析】因为yxxln x,所以定义域为(0,)令y2ln x0,解得0x0,所以函数f(x)在(4,5)上单调递增故选C.【答案】C3若函数f(x)ax3x在R上是减函数,则()Aa0Ba1Ca2.则f(x)2x4的解集为()A(1,1)B(1,)C(,1)D(,)【解析】构造函数g(x)f(x)(2x4),则g(1)2(24)0,又f(x)2.g(x)f(x)20,g(x)是R上的增函数f(x)2x4g(x)0g(x)g(1),x1.【答案】B5已知函数f(x)x3ax2x1在(,)上是单调函数,则实数a的取值范围是()A(,),)B,C(,)(,)D(, )【解析】f(x)3x22ax10在(,)上恒成立且不恒为0,4a2120a.【答案】B二、填空题6函数f(x)x2sin x在(0,)上的单调递增区间为_.【解析】令f(x)12cos x0,则cos x,又x(0,),解得x0,得a21,解得a1.【答案】(,1)(1,)8若函数yx3bx有三个单调区间,则b的取值范围是_. 【解析】若函数yx3bx有三个单调区间,则y4x2b0有两个不相等的实数根,所以b0.【答案】(0,)三、解答题9(2016吉林高二检测)定义在R上的函数f(x)ax3bx2cx3同时满足以下条件:f(x)在(,1)上是增函数,在(1,0)上是减函数;f(x)的导函数是偶函数;f(x)在x0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直求函数yf(x)的解析式【解】f(x)3ax22bxc,因为f(x)在(,1)上是增函数,在(1,0)上是减函数,所以f(1)3a2bc0.由f(x)的导函数是偶函数,得b0,又f(x)在x0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直,所以f(0)c1,由得a,b0,c1,即f(x)x3x3.10若函数f(x)x3mx22m25的单调递减区间是(9,0),求m的值及函数的其他单调区间【解】因为f(x)3x22mx,所以f(x)0,即3x22mx0.由题意,知3x22mx0,解得x0或x9.故(,9),(0,)是函数f(x)的单调递增区间综上所述,m的值为,函数f(x)的单调递增区间是(,9),(0,)能力提升1已知函数yf(x),yg(x)的导函数的图象如图134所示,那么yf(x),yg(x)的图象可能是()图134【解析】由题图,知函数g(x)为增函数,f(x)为减函数,且都在x轴上方,所以g(x)的图象上任一点的切线的斜率都大于0且在增大,而f(x)的图象上任一点的切线的斜率都大于0且在减小又由f(x0)g(x0),知选D.【答案】D2设f(x),g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数,且f(x)g(x)f(x)g(x)0,则当axf(b)g(b)Bf(x)g(a)f(a)g(x)Cf(x)g(b)f(b)g(x)Df(x)g(x)f(a)g(a)【解析】因为.又因为f(x)g(x)f(x)g(x)0,所以在R上为减函数又因为ax,又因为f(x)0,g(x)0,所以f(x)g(b)f(b)g(x)因此选C.【答案】C3(2016亳州高二检测)若函数f(x)x3x2mx1是R上的单调函数,则实数m的取值范围为_【解析】f(x)3x22xm,由于f(x)是R上的单调函数,所以f(x)0或f(x)0恒成立由于导函数的二次项系数30,所以只能有f(x)0恒成立法一由上述讨论可知要使f(x)0恒成立,只需使方程3x22xm0的判别式412m0,故m.经检验,当m时,只有个别点使f(x)0,符合题意所以实数m的取值范围是m.法二3x22xm0恒成立,即m3x22x恒成立设g(x)3x22x32,易知函数g(x)在R上的最大值为,所以m.经检验,当m时,只有个别点使f(x)0,符合题意所以实数m的取值范围是m.【答案】4设函数f(x)a2ln xx2ax(a0)(1)求f(x)的单调区间;(2)求所有的实数a,使e1f(x)e2对x1,e恒成立【解】(1)f(x)a2ln xx2ax,其中x0,f(x)2xa,由
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