高中数学第一章导数及其应用1.3第2课时函数的极值与导数学案新人教A版.docx

1.3第二课时 函数的极值与导数一、课前准备1课时目标（1）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.（2）会用导数求函数的极大值和极小值.2基础预探(1) 函数极值定义一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个 ，记作y极大值=f(x0)，x0是 .如果对x0附近的所有的点，都有f(x) f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个 ，记作y极小值= f(x0)，x0是 .极大值与极小值统称为极值.(2) 判别f(x0)是极大、极小值的方法:若满足，且在的两侧的导数 ，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的 ，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是 .(3) 求可导函数f(x)的极值的基本步骤: (1)确定函数的定义区间，求 . (2)求方程f(x)=0的 .(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的 ，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得 ；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得 ；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处 .二、学习引领极值点和极值的常见基本性质:1. 极值是一个局部概念.由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.2. 函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.3. 极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大值未必大于极小值，如图(1)所示，是极大值点，是极小值点，而 4. 若函数f(x)在a，b上有极值，它的极值点的分布是有规律的,如图(2)所示，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.5. 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.6. 可导函数的极值点的导数为0，但是导数为0的点不一定是极值点，如函数y=x3在x=0处导数为0，但x=0不是极值点.三、典例导析题型一 求函数的极值例1 设函数（）,其中,求函数的极大值和极小值思路导析: 先求函数的导数，再令导函数为零,求可疑极值点,最后列表判断极值,并求出极值.解：，令，解得或由于，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且规律总结: 该问题既求函数的极大值,又求极小值,需要依据求极值的基本步骤进行.列表判断符号是关键.当两个可疑极值点大小不确定时,需要进行分类讨论.变式训练1已知，函数，求函数在的极值.题型二 函数极值(点)的判定例2 已知函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如下图所示，则().A函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点思路导析:依据导函数值的符号与函数单调性的关系，判断函数的单调性，再依据单调性判断函数极值.解:由导函数图象可知,当和时,当函数值非负,其余部分导函数值非正,据此可以判断为极大值点, 为极小值点,故该函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点.规律总结:由图象性质判断函数的极值,其依据是函数极值的定义,因此,由导函数的性质判断函数的单调性,是解决该类问题的关键所在.变式练习2已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（ ）.A0是的极大值，也是的极大值B0是的极小值，也是的极小值C0是的极大值，但不是的极值D0是的极小值，但不是的极值题型三 已知函数的极值,求参数的值或取值范围例3已知函数图象上的点处的切线方程为若函数在时有极值，求的表达式.思路导析:求函数的解析式,即求参数的值.利用极值的性质和切线的意义建立方程组,解方程组,便可求解.解：，因为函数在处的切线斜率为-3，所以，即(1).得.(2) 函数在时有极值，所以(3)，联立方程(1),(2),(3),解得,所以 规律总结: 上述问题中,为了建立方程,充分利用了函数在处有极值的必要条件.在此需要注意一点,一般情况下,对求得的值或范围,需要依据极值点的定义进行检验,以确定取舍.变式练习3设函数,若的极值点，求实数.四、随堂练习1. 函数有（ ）.A. 极小值1，极大值1B. 极小值2，极大值3C.极小值2，极大值2D. 极小值1，极大值32. 已知函数,那么( ). A.没有极值 B.有极小值 C. 有极大值 D.有极大值和极小值3. 下列说法正确的是( ). A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大; B. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值;C. 对于,若,则无极值;D.函数在区间上一定存在最值.4. 若函数y=x3+ax2+bx+27在x=1时有极大值，在x=3时有极小值，则a=_,b=_.5. 函数f(x)=x的极大值是_，极小值是_.6. 设,令,求在内的极值.五、课后作业1. 函数的定义域为开区间，导函数在 内的图象如图所示，则函数在内有极小值 点共有（ ）.A1个 B2个 C3个 D 4个 2.下列四个函数，在x=0处取得极值的函数是( ).y=x3 y=x2+1 y=|x| y=2xA. B. C. D.3.若函数在处取得极值,则 .4.函数f(x)=x+b有极小值2，则a、b应满足的条件是 .5. 已知函数,若是函数的极值点,求的值.6. 已知函数是上的奇函数，当时取得极值.求的单调区间和极大值.1.3第二课时 函数的极值与导数答案及解析一、2. 基础预探(1) 极大值; 极大值点; 极小值; 极小值点(2)异号; 极大值点; 极小值.(3) 导函数;根; 符号; 极大值; 极小值; 无极值.四、变式练习1.解: 由求导得，. 令, (1)当即时(-1,0)0+0-0+极大值极小值 6分故的极大值是;极小值是.(2) 当即时,在上递增, 在上递减,所以的极大值为,无极小值. 2. 解答：C.解析:依据函数极值的定义,如果0是的极大值,则在极值点的附近, 恒成立,结合,所以,在某个点附近成立,所以也是的极大值,故C错误.其它选项同理可以判断正确.3. 解答求导得因为的极值点，所以解得经检验，符合题意，所以四、随堂练习1. 答案:D.解析：，令得 ,当时，；当时，；当，,时，当，故选D.2. 答案:C.解析: ,当时, 当时,所以为极大值点.3.答案:C.解析: 由知,当时,判别式小于零,所以无极值.4. 答案:3,9.解析:求导将x=1,x=3代入,得方程组,解方程组即得.5. 答案: 0 ,.解析:,当时,导数不存在,有极大值0;当,取极小值.6. 解:求导得，故，于是.列表如下：2减极小值增所以，在处取得极小值五、课后作业1. 答案:A.解析：函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，函数在开区间内有极小值的点,即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，故选A.2. 答案:B.解析: y=x3, y=2x在x=0处无极值. 符合.3.答案:0.解析:因为可导,且,所以,解得.经验证当时, 函数在处取得极大值.4. 答案: a0,b=2(1).解析：f(x)=.由题意可知f(x)=0有实根，即x2a=0有实根,a0，x=或x=，f(x)=令f(x)0,得x; 令f(x)