高中数学第三章导数应用章末分层突破学案含解析北师大版.docx

第三章 导数应用 自我校对单调性与极值单调性极值导数 最大值、最小值问题利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性是导数的主要应用之一，其步骤为：(1)求函数的定义域，并求导；(2)研究导函数f(x)的符号，解不等式f(x)0或f(x)0，得0x1，令f(x)1.f(x)的增区间为(0，1)，减区间为(1，).再练一题1.已知函数f(x)x3ax1，讨论f(x)的单调区间.【解】f(x)3x2a.(1)当a0时，f(x)0，所以f(x)在(，)上为增函数.(2)当a0时，令3x2a0，得x，当x或x0；当x时，f(x)0时，f(x)在，上为增函数，在上为减函数.利用导数研究函数的极值与最值导数是求函数极值与最值的最有力工具，求函数极值的一般步骤为：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f(x)0的根；(3)检验f(x)0的根的两侧f(x)的符号.若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；否则，此根不是f(x)的极值点.对于求函数的最值问题，只需直接将极值与区间端点函数值比较即可.已知函数f(x)x3ax2b的图像上一点P(1，0)，且在点P处的切线与直线3xy0平行.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)c在区间1，3上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围.【精彩点拨】(1)由求出a，b即可.(2)对t分0t2与2t3两种情况求最值.(3)构造函数g(x)f(x)c转化为g(x)在1，3上有实根求解.【规范解答】(1)因为f(x)3x22ax，曲线在P(1，0)处的切线斜率为f(1)32a，即32a3，a3.又函数过(1，0)点，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22，得f(x)3x26x.由f(x)0，得x0或x2.当0t2时，在区间(0，t)上f(x)0，f(x)在0，t上是减函数，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22.当2t3时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0，2)2(2，t)tf(x)00f(x)2单调递减极小值2单调递增t33t22f(x)minf(2)2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个.f(t)f(0)t33t2t2(t3)0.所以f(x)maxf(0)2.(3)令g(x)f(x)cx33x22c，g(x)3x26x3x(x2).在x1，2)上，g(x)0.要使g(x)0在1，3上恰有两个相异的实根，则解得2c0.再练一题2.已知函数f(x)x312xm.(1)若xR，求函数f(x)的极大值与极小值之差；(2)若函数yf(x)有三个零点，求m的取值范围；(3)当x1，3时，f(x)的最小值为2，求f(x)的最大值.【解】(1)f(x)3x212.当f(x)0时，x2或x2.当f(x)0时，2x2.当f(x)0时，x2或x2.f(x)在(，2)，(2，)上单调递减，在(2，2)上单调递增.f(x)极小值f(2)16m.f(x)极大值f(2)16m.f(x)极大值f(x)极小值32.(2)由(1)知要使函数yf(x)有三个零点，必须即16m16.m的取值范围为(16，16).(3)当x1，3时，由(1)知f(x)在1，2)上单调递增，f(x)在2，3上单调递减，f(x)的最大值为f(2).又f(1)11m，f(3)m9，f(1)f(3)，在1，3上f(x)的最小值为f(1)11m，11m2，m9.当x1，3时，f(x)的最大值为f(2)(2)3122925.导数的实际应用利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题：(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去.(2)在实际问题中，由f(x)0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值.请你设计一个包装盒，如图31所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx(cm).图31(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【精彩点拨】根据侧面积和体积公式建立侧面积和体积关于x的函数，利用配方法或导数法求出最值.【规范解答】设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.由已知得ax，h(30x)，0x0；当x(20，30)时，V0.所以当x20时，V取得极大值，也是最大值.此时，即包装盒的高与底面边长的比值为.再练一题3.统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为yx3x8(0x120).已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【解】当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)x2(0x120).h(x)(0x120)，令h(x)0，得x80.因为x(0，80)时，h(x)0，h(x)是增函数，所以当x80时，h(x)取得极小值h(80)11.25(升).因为h(x)在(0，120上只有一个极小值，所以它是最小值.答：汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.函数与方程的思想函数的单调性是证明不等式的一种常用方法，证明时灵活构造函数关系，尽可能选择求导和判断导数符号都比较容易的函数，如果证明f(x)g(x)，x(a，b)，可转化为证明F(x)f(x)g(x)与0的关系，若F(x)0，则函数F(x)在(a，b)上是增函数.若F(a)0，则由增函数的定义，知当x(a，b)时，有F(x)F(a)0，即f(x)g(x)成立，同理可证明f(x)g(x)，x(a，b).设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值.(1)求a，b的值；(2)若对任意的x0，3，都有f(x)0；当x1，2时，f(x)0.所以当x1时，f(x)取得极大值f(1)58c，当x2时，f(x)取得极小值f(2)48c，又f(0)8c，f(3)98c.所以当x0，3时，f(x)的最大值为f(3)98c.因为对于任意的x0，3，有f(x)c2恒成立，所以98cc2，解得c9.故c的取值范围为c9.再练一题4.(2016山东威海一模)已知函数f(x)ln xax，对任意的x(0，)，满足f(x)f0，其中a，b为常数.(1)若f(x)的图象在x1处的切线经过点(0，5)，求a的值；(2)已知0a0.【解】(1)在f(x)f0中，取x1，得f(1)0，又f(1)ln 1abab，所以ba.从而f(x)ln xax，f(x)a，f(1)12a.又f(1)5，所以12a5，a2.(2)证明：fln 2ln aln 2.令g(x)2ln xln 2，则g(x).所以，x(0，1)时，g(x)g(1)2ln 21ln e0.所以0a0.1.(2015全国卷)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()A.(，1)(0，1)B.(1，0)(1，)C.(，1)(1，0)D.(0，1)(1，)【解析】设yg(x)(x0)，则g(x)，当x0时，xf(x)f(x)0，g(x)0，g(x)0时，f(x)0，0x1，当x0，g(x)0，x0成立的x的取值范围是(，1)(0，1)，故选A.【答案】A2.(2015福建高考)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)1，其导函数f(x)满足f(x)k1，则下列结论中一定错误的是()A.fC.f【解析】令g(x)f(x)kx1，则g(0)f(0)10，gfk1f.g(x)f(x)k0，g(x)在0，)上为增函数.又k1，0，gg(0)0，f0，即f.【答案】C3.(2015全国卷)设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)0，则a的取值范围是()A.B.C.D.【解析】f(0)1a0，x00.又x00是唯一的使f(x)0的整数，即解得a.又a1，a1，经检验a，符合题意.故选D.【答案】D4.(2016北京高考)设函数f(x)(1)若a0，则f(x)的最大值为_；(2)若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是_.【解析】由当xa时，f(x)3x230，得x1.如图是函数yx33x与y2x在没有限制条件时的图象.(1)若a0，则f(x)maxf(1)2.(2)当a1时，f(x)有最大值；当aa时无最大值，且2a(x33x)max，所以a1.【答案】2af(0)1.所以(x2)ex(x2)，即(x2)exx20.(2)g(x)(f(x)a).由(1)知，f(x)a单调递增.对任意a0，1)，f(0)aa10，f(2)aa0.因此，存在唯一xa(0，2，使得f(xa