浙江专用2020版高考数学第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入单元质检.docx

单元质检五平面向量与复数(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2018全国3)(1+i)(2-i)=()A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i答案D2.(2017浙江诸暨调研)在ABC中,点D在BC边上,且CD=2DB,CD=rAB+sAC,则r+s等于()A.23B.43C.-3D.0答案D3.(2018全国2)1+2i1-2i=()A.-45-35iB.-45+35iC.-35-45iD.-35+45i答案D4.已知a,b是任意的两个向量,则下列关系式中不恒成立的是()A.|a|+|b|a-b|B.|ab|a|b|C.(a-b)2=a2-2ab+b2D.(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3答案D5.(2017浙江绍兴期中)已知|a|=2,|b|=3,(2a+b)(a-2b),则向量b在向量a方向上的投影为()A.-53B.54C.-56D.56答案A6.(2018天津高考)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,MON=120,BM=2MA,CN=2NA,则BCOM的值为()A.-15B.-9C.-6D.0答案C解析连接MN,BM=2MA,CN=2NA,AC=3AN,AB=3AM.BC=AC-AB=3(AN-AM)=3MN=3(ON-OM).OM=1,ON=2,MON=120,BCOM=3(ON-OM)OM=3(ONOM-|OM|2)=321-12-1=-6.7.已知O为ABC内一点,且满足OA+OB+(-1)OC=0.若OAB的面积与OAC的面积比值为13,则的值为()A.32B.2C.13D.12答案A解析OA+OB+(-1)OC=0,(OB+OC)=OC-OA=AC.取BC的中点D,AB的中点E,连接DE,则2OD=AC.O在线段DE上,且2OD=AC=2DE,=DEOD,连接AD.设OD=1,则DE=,OE=-1.SAOBSABD=OEDE=-1,SABD=SADC=SAOC=12SABC,SAOBSAOC=-1=13,解得=32.故选A.8.已知向量a,b,c满足|a|=2,|b|=ab=3,若(c-2a)c-23b=0,则|b-c|的最小值是()A.2+3B.2-3C.1D.2答案B解析|a|=2,|b|=ab=3,则b=(3,0)或b=-32,332.设a=(1,3),b=(3,0),c=(x,y),由(c-2a)c-23b=0,得(x-2)2+(y-3)2=3.c的终点在以(2,3)为圆心,以3为半径的圆上,|b-c|的最小值为(2-3)2+(3-0)2-3=2-3.同理,当b=-32,332时,|b-c|的最小值也是2-3.故选B.9.已知G是ABC的重心,过点G作直线MN与AB,AC交于点M,N,且AM=xAB,AN=yAC(x,y0),则3x+y的最小值是()A.83B.72C.52D.43+233答案D解析如图,M,N,G三点共线,MG=GN,AG-AM=(AN-AG),G是ABC的重心,AG=13(AB+AC).13(AB+AC)-xAB=yAC-13(AB+AC),13-x=-13,13=y-13,解得(3x-1)(3y-1)=1;结合图形可知12x1,12y1;令3x-1=m,3y-1=n12m2,12n2;故mn=1,x=1+m3,y=1+n3;故3x+y=1+m+1+n3=43+m+n343+213mn=43+233,当且仅当m=33,n=3时等号成立.故选D.10.如图,在ABC中,已知BD=12DC,P为AD上一点,且满足CP=mCA+49CB,若ABC的面积为3,ACB=3,则|CP|的最小值为()A.163B.169C.83D.43答案D解析过P点分别作PMBC交AC于点M,PNAC交BC于点N,则CM=mCA,CN=49CB,因为|PM|DC|=|AM|AC|,所以求出m=13,设|CA|=b,|CB|=a,则由三角形面积公式有12ab32=3,即ab=4,而CP=13CA+49CB,则CP2=19b2+1681a2+16272191681a2b2+1627=169,故|CP|的最小值为43,故选D.二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.将答案填在题中横线上)11.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a,b的夹角为3,则|a+2b|=;a与a-2b的夹角为.答案23312.(2017浙江绍兴)若复数z=4+3i,其中i是虚数单位,则|z|=,1+iz=.答案57+i2513.(2017浙江杭州调研)已知复数z=x+yi,其中x,yR,且|z-2|=3,则yx的最大值为,最小值为.答案3-314.设e1,e2为单位向量,且e1,e2的夹角为60,若a=e1+3e2,b=2e1,则|a+b|等于,向量a在b方向上的投影为.答案335215.ABC中,cos A=13,AB=2,则CACB的最小值是.答案-1916.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c-b=6,c+b-a=2,且O为此三角形的内心,则AOCB=.答案6解析过O作ODAB于D,OEAC于E,则AOCB=AO(AB-AC)=AOAB-AOAC=|AD|AB|-|AE|AC|,因为O为ABC的内心,所以|AD|AB|-|AE|AC|=|AD|c-|AD|b,|AD|=a+b+c-(|BD|+|BC|+|CE|)2=c+b-a2,所以AOCB=(c-b)(c+b-a)2=6.17.已知m,n为两个非零向量,且|m|=3,|m+2n|=3,则|2m+n|+|n|的最大值为.答案4解析|m|=3,|m+2n|=3,(m+2n)2=m2+4n2+4mn=m2,4n2+4mn=0,即mn=-n2,|2m+n|=4m2+n2+4mn=12-3n2,|2m+n|+|n|=12-3|n|2+|n|=34-|n|2+|n|,令|n|=2sin02,则34-|n|2+|n|=23cos+2sin=4sin+3,当=6时,4sin+3取得最大值4,故答案为4.三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14分)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61,(1)求a与b的夹角;(2)求|a+b|;(3)若AB=a,BC=b,求ABC的面积.解(1)(2a-3b)(2a+b)=61,4|a|2-4ab-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,64-4ab-27=61,ab=-6.cos=ab|a|b|=-643=-12.又0,=23.(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=42+2(-6)+32=13,|a+b|=13.(3)AB与BC的夹角=23,ABC=-23=3.又|AB|=|a|=4,|BC|=|b|=3,SABC=12|AB|BC|sinABC=124332=33.19.(15分)在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长.(2)设实数t满足(AB-tOC)OC=0,求t的值.解(1)由题设知AB=(3,5),AC=(-1,1),则AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4).所以|AB+AC|=210,|AB-AC|=42.故所求的两条对角线的长分别为42,210.(2)由题设知,OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+t).由(AB-tOC)OC=0,得(3+2t,5+t)(-2,-1)=0,从而5t=-11,所以t=-115.20.(15分)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且向量m=(5a-4c,4b)与向量n=(cos C,cos B)共线.(1)求cos B;(2)若b=10,c=5,ac,且AD=2DC,求BD的长度.解(1)m,n共线,(5a-4c)cosB-4bcosC=0,即5sinAcosB=4sinCcosB+4sinBcosC=4sin(B+C)=4sinA.sinA0,cosB=45.(2)在ABC中,由余弦定理,得cosB=a2+c2-b22ac=45,即a2+1510a=45,解得a=3或a=5(舍去).cosA=b2+c2-a22bc=131050.AD=2DC,AD=23b=2103.在ABD中,由余弦定理,得BD2=AB2+AD2-2ABADcosA=1099.BD=1093.21.(15分)(2017浙江杭州联考)如图,已知O为ABC的外心,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若3OA+4OB+5OC=0,求cos BOC的值;(2)若COAB=BOCA,求b2+c2a2的值.解(1)设外接圆半径为R,由3OA+4OB+5OC=0.得:4OB+5OC=-3OA,两边平方得:16R2+40OBOC+25R2=9R2,即:OBOC=-45R2,则cosBOC=-45.(2)COAB=BOCA,CO(OB-OA)=BO(OA-OC),即-OCOB+OCOA=-OBOA+OBOC,可得-R2cos2A+R2cos2B=-R2cos2C+R2cos2A,2cos2A=cos2C+cos2B,即:2(1-2sin2A)=2-(2sin2B+2sin2C),2sin2A=sin2B+sin2C,利用正弦定理变形得:2a2=b2+c2,b2+c2a2=2.22.(15分)(2017浙江杭州模拟)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(2a-c)cos B=bcos C,ABBC=-3.(1)求ABC的面积;(2)若sin Asin C=32,求AC边上的中线BD的长.解(1)已知等式(2a-c)cosB=bcosC,利用正弦定理化简得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,整理得2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(