2018版高考数学一轮复习推理证明算法复数12.4离散型随机变量及其分布列理.docx

第十二章 推理证明、算法、复数 12.4 离散型随机变量及其分布列 理1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量2离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，则表Xx1x2xixnPp1p2pipn称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(Xxi)pi，i1,2，n表示X的分布列(2)离散型随机变量的分布列的性质pi0，i1,2，n；i1.3常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布若随机变量X服从两点分布，即其分布列为X01P1pp其中pP(X1)称为成功概率(2)超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(Xk)，k0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*.如果随机变量X的分布列具有下表形式，X01mP则称随机变量X服从超几何分布【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量()(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象()(3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布()(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名演员，其中女演员的人数X服从超几何分布()(5)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()(6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的()1(教材改编)抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X4表示的事件是()A一颗是3点，一颗是1点B两颗都是2点C甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点D以上答案都不对答案C解析根据抛掷两颗骰子的试验结果可知，C正确2设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X0)等于()A0 B. C. D.答案C解析设X的分布列为X01Pp2p即“X0”表示试验失败，“X1”表示试验成功，由p2p1，得p，故选C.3从标有110的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有()A17个 B18个 C19个 D20个答案A解析X可能取得的值有3,4,5，19，共17个4从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的分布列为X012P答案0.10.60.3解析X的所有可能取值为0,1,2，P(X0)0.1，P(X1)0.6，P(X2)0.3.X的分布列为X012P0.10.60.35.(教材改编)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X4)的值为_答案解析由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，故P(X4).题型一离散型随机变量的分布列的性质例1(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为X101P23qq2则q等于()A1 B.C. D.答案C解析23qq21，q23q0，解得q.又由题意知0q2，q.(2)设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求2X1的分布列解由分布列的性质知020.10.10.3m1，得m0.3.首先列表为X012342X113579从而2X1的分布列为2X113579P0.20.10.10.30.3引申探究1在本例(2)的条件下，求随机变量|X1|的分布列解由(2)知m0.3，列表X01234|X1|10123P(1)P(X0)P(X2)0.20.10.3，P(0)P(X1)0.1，P(2)P(X3)0.3，P(3)P(X4)0.3.故|X1|的分布列为0123P0.10.30.30.32.若本例(2)中条件不变，求随机变量X2的分布列解依题意知的值为0,1,4,9,16.P(0)P(X20)P(X0)0.2，P(1)P(X21)P(X1)0.1，p(4)P(X24)P(X2)0.1，P(9)P(X29)P(X3)0.3，P(16)P(X216)P(X4)0.3，014916P0.20.10.10.30.3思维升华(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式设随机变量X的分布列为P(X)ak(k1,2,3,4,5)(1)求a；(2)求P(X)；(3)求P(X)解(1)由分布列的性质，得P(X)P(X)P(X)P(X)P(X1)a2a3a4a5a1，所以a.(2)P(X)P(X)P(X)P(X1)345.(3)P(X)P(X)P(X)P(X).题型二离散型随机变量的分布列的求法命题点1与排列组合有关的分布列的求法例2(2015重庆改编)端午节吃粽子是我国的传统习俗设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同从中任意选取3个(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列解(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A).(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X0)，P(X1)，P(X2).综上知，X的分布列为X012P命题点2与互斥事件有关的分布列的求法例3(2015安徽改编)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列解(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A).(2)X的可能取值为200,300,400.P(X200)，P(X300)，P(X400)1P(X200)P(X300)1.故X的分布列为X200300400P命题点3与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法例4(2016蚌埠模拟)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列解用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”则P(Ak)，P(Bk)，k1,2,3,4,5.(1)P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4)P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)222.(2)X的可能取值为2,3,4,5.P(X2)P(A1A2)P(B1B2)P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)，P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(B3)，P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)，P(X5)1P(X2)P(X3)P(X4).故X的分布列为X2345P思维升华求离散型随机变量X的分布列的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识(2016湖北部分重点中学第一次联考)连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为ai，若存在正整数k，使a1a2ak6，则称k为你的幸运数字(1)求你的幸运数字为3的概率；(2)若k1，则你的得分为6分；若k2，则你的得分为4分；若k3，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字，则记0分，求得分的分布列解(1)设“连续抛掷3次骰子，和为6”为事件A，则它包含事件A1，A2，A3，其中A1：三次恰好均为2；A2：三次中恰好1,2,3各一次；A3：三次中有两次均为1，一次为4.A1，A2，A3为互斥事件，则P(A)P(A1)P(A2)P(A3)C()3CCCC()2.(2)由已知得的可能取值为6,4,2,0，P(6)，P(4)()22C，P(2)，P(0)1.故的分布列为6420P题型三超几何分布例5(2017济南质检)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物根据现行国家标准GB30952012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标从某自然保护区2016年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)25,35(35,45(45,55(55,65(65,75(75,85频数311113(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求的分布列解(1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A).(2)依据条件，服从超几何分布，其中N10，M3，n3，且随机变量的可能取值为0,1,2,3.P(k)(k0,1,2,3)P(0)，P(1)，P(2)，P(3).故的分布列为0123P思维升华(1)超几何分布的两个特点超几何分布是不放回抽样问题；随机变量为抽到的某类个体的个数(2)超几何分布的应用条件两类不同的物品(或人、事)；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)(1)求选出的3名同学来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列解(1)设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A，则P(A).故选出的3名同学来自互不相同学院的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(Xk)(k0,1,2,3)P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).故随机变量X的分布列是X0123P17离散型随机变量的分布列典例某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9.如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数的分布列错解展示现场纠错解P(1)0.9，P(2)0.10.90.09，P(3)0.10.10.90.009，P(4)0.130.90.000 9，P(5)0.140.000 1.的分布列为12345P0.90.090.0090.000 90.000 1纠错心得(1)随机变量的分布列，要弄清变量的取值，还要清楚变量的每个取值对应的事件及其概率(2)验证随机变量的概率和是否为1.1(2016太原模拟)某射手射击所得环数X的分布列为X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为()A0.28 B0.88 C0.79 D0.51答案C解析根据X的分布列知，所求概率为0.280.290.220.79.2(2016岳阳模拟)设X是一个离散型随机变量，其分布列为X101P12qq2则q等于()A1 B1 C1 D1答案C解析由题意知即解得q1.3(2016郑州模拟)已知随机变量X的分布列为P(Xi)(i1,2,3,4)，则P(2X4)等于()A. B. C. D.答案B解析由分布列的性质知，1，则a5，P(28且nN*)，其中女