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第2讲 直接证明与间接证明一、选择题1.“所有9的倍数都是3的倍数,某奇数是9的倍数,故该奇数是3的倍数.”上述推理()A 小前提错 B 结论错C 正确 D 大前提错解析 大前提,小前提都正确,推理正确,故选C.答案 C2对于平面和共面的直线m,n,下列命题中真命题是()A若m,mn,则nB若m,n,则mnC若m,n,则mnD若m,n与所成的角相等,则mn解析对于平面和共面的直线m,n,真命题是“若m,n,则mn”答案C3要证:a2b21a2b20,只要证明()A2ab1a2b20 Ba2b210C.1a2b20 D(a21)(b21)0解析因为a2b21a2b20(a21)(b21)0,故选D.答案D4命题“如果数列an的前n项和Sn2n23n,那么数列an一定是等差数列”是否成立()A不成立 B成立 C不能断定 D能断定解析Sn2n23n,Sn12(n1)23(n1)(n2),anSnSn14n5(n1时,a1S11符合上式)又an1an4(n1),an是等差数列答案B5设a,b,c均为正实数,则三个数a,b,c() A都大于2 B都小于2C至少有一个不大于2 D至少有一个不小于2解析a0,b0,c0,6,当且仅当abc时,“”成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.答案D6定义一种运算“*”:对于自然数n满足以下运算性质:(n1)*1n*11,则n*1 ()An Bn1 Cn1 Dn2解析由(n1)*1n*11,得n*1(n1)*11(n2)*12n.答案A二、填空题7要证明“2”可选择的方法有以下几种,其中最合理的是_(填序号)反证法,分析法,综合法答案8设ab0,m,n,则m,n的大小关系是_解析取a2,b1,得mn.再用分析法证明:a0,显然成立答案mn9已知a,b,(0,)且1,则使得ab恒成立的的取值范围是_解析a,b(0,)且1,ab(ab)1010216,ab的最小值为16.要使ab恒成立,需16,0b与ab及ab中至少有一个成立;ac,bc,ab不能同时成立其中判断正确的是_解析 正确;中ac,bc,ab可能同时成立,如a1,b2,c3.选C.答案 三、解答题11已知非零向量a,b,且ab,求证:.证明abab0,要证.只需证|a|b|ab|,只需证|a|22|a|b|b|22(a22abb2),只需证|a|22|a|b|b|22a22b2,只需证|a|2|b|22|a|b|0,即(|a|b|)20,上式显然成立,故原不等式得证12设数列an是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和(1)求证:数列Sn不是等比数列;(2)数列Sn是等差数列吗?为什么?(1)证明假设数列Sn是等比数列,则SS1S3,即a(1q)2a1a1(1qq2),因为a10,所以(1q)21qq2,即q0,这与公比q0矛盾,所以数列Sn不是等比数列(2)解当q1时,Snna1,故Sn是等差数列;当q1时,Sn不是等差数列,否则2S2S1S3,即2a1(1q)a1a1(1qq2),得q0,这与公比q0矛盾13已知f(x)x2axb.(1)求:f(1)f(3)2f(2);(2)求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.(1)解f(1)ab1,f(2)2ab4,f(3)3ab9,f(1)f(3)2f(2)2.(2)证明假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于.则f(1),f(2),f(3),12f(2)1,1f(1)f(3)1.2f(1)f(3)2f(2)2,这与f(1)f(3)2f(2)2矛盾假设错误,即所证结论成立14已知二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象与x轴有两个不同的交点,若f(c)0,且0xc时,f(x)0.(1)证明:是f(x)0的一个根;(2)试比较与c的大小;(3)证明:2b1.解 (1)证明f(x)的图象与x轴有两个不同的交点,f(x)0有两个不等实根x1,x2,f(c)0,x1c是f(x)0的根,又x1x2,x2,是f(x)0的一个根(2)假设c,又0,由0xc时,f(
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