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组合数求和问题剖析一、逆用二项式定理:例1:(2005,天津)设= .解:设规律总结:对于形如(其中组成等比数列)的求和问题,均可逆用二项式定理来解。二、赋值法:例2:求证:证明:在令规律总结:在二项式定理中令取一些特殊值可以解决形如的求和问题。三、倒序相加法例3:求的值。解:设规律总结:因为组合数中成立,与等差数列具有类似的性质,因此对于形如:(其中成等差数列)的式可求和均可利用倒序相加的方法。四、逐项合并法:例4:求的值。解:原式规律总结:利用可求形如:的值。五、裂项相消法:例5:同例3,由得:规律总结:对于组合数的性质的应用,除了正用外,还要注意逆用及变形用即:正用是合并项,而逆用和变形用 把一项拆为两项。六、利用求和:例6:求解1:利用倒序相加法。解2: 七、构造法:例7:求证:证明1:构造排列组合数,这件事可这样来做,将n+m个元素分为两类,一类中含有n个元素,另一类中含有m个元素,不含第一类元素的取法有含K个第一类元素的取法有种不同取法;又由组合定义,从m+n个不同元素中取出K个元素的组合数为所以原式成立 。证明2:构造二项式定理:利用的展开式中项的系数来证。的系数为:的系数为故原式成立。规律总结:此法适用于各项为二个组合数的积,其中各项中组合数下标只出现两个自然数,各项中两个组合数的上标之和为常数,且一个上标由0依次递增到此常数,另一上标由此常数依次递减为0的组合数的求和问题。
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