2019届高考数学二轮复习专题五1第1讲直线与圆学案.docx

第1讲直线与圆年份卷别考查内容及考题位置命题分析2018卷圆的方程、直线与圆的位置关系T19(2)1.近两年圆的方程成为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查2直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上.卷直线与圆的位置关系T62017卷圆的性质、点到直线的距离、双曲线的几何性质T15卷圆的弦长问题、双曲线的几何性质T9卷直线与圆的位置关系、点到直线的距离、椭圆的离心率T10直线与圆的方程、直线与抛物线的位置关系T202016卷圆的方程、点到直线的距离应用T4卷直线与圆的位置关系T16直线的方程(基础型) 两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1l2k1k2，l1l2k1k21.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在 2个距离公式(1)两平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离d.(2)点(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离公式d.考法全练1若平面内三点A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a()A1或0B.或0C.D.或0解析：选A.因为平面内三点A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，所以kABkAC，即，即a(a22a1)0，解得a0或a1.故选A.2若直线mx2ym0与直线3mx(m1)y70平行，则m的值为()A7B0或7C0D4解析：选B.因为直线mx2ym0与直线3mx(m1)y70平行，所以m(m1)3m2，所以m0或7，经检验，都符合题意故选B.3两条平行线l1，l2分别过点P(1，2)，Q(2，3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是()A(5，)B(0，5C(，)D(0，解析：选D.当直线PQ与平行线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线l1，l2间的距离的最大值，为，所以l1，l2之间距离的取值范围是(0，故选D.4已知点A(1，2)，B(2，11)，若直线yx1(m0)与线段AB相交，则实数m的取值范围是()A2，0)3，)B(，1(0，6C2，13，6D2，0)(0，6解析：选C.由题意得，两点A(1，2)，B(2，11)分布在直线yx1(m0)的两侧(或其中一点在直线上)，所以0，解得2m1或3m6，故选C.5(一题多解)已知直线l：xy10，l1：2xy20.若直线l2与l1关于直线l对称，则直线l2的方程是_解析：法一：l1与l2关于l对称，则l1上任意一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1，0)在l2上又易知(0，2)为l1上的一点，设其关于l的对称点为(x，y)，则，解得即(1，0)，(1，1)为l2上两点，故可得l2的方程为x2y10.法二：设l2上任一点为(x，y)，其关于l的对称点为(x1，y1)，则由对称性可知解得因为(x1，y1)在l1上，所以2(y1)(x1)20，即l2的方程为x2y10.答案：x2y10圆的方程(综合型)圆的3种方程(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2.(2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)(3)圆的直径式方程：(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圆的直径的两端点是A(x1，y1)，B(x2，y2) 典型例题 在平面直角坐标系xOy中，曲线：yx2mx2m(mR)与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C.(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点【解】由曲线：yx2mx2m(mR)，令y0，得x2mx2m0.设A(x1，0)，B(x2，0)，则可得m28m0，x1x2m，x1x22m.令x0，得y2m，即C(0，2m)(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则0，得x1x24m20，即2m4m20，所以m0或m.由0得m8，所以m，此时C(0，1)，AB的中点M即圆心，半径r|CM|，故所求圆的方程为y2.(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2y2mxEy2m0，将点C(0，2m)代入可得E12m，所以过A，B，C三点的圆的方程为x2y2mx(12m)y2m0，整理得x2y2ym(x2y2)0.令可得或故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)和.求圆的方程的两种方法(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程 对点训练1圆(x1)2(y2)21关于直线yx对称的圆的方程为()A(x2)2(y1)21B(x1)2(y2)21C(x2)2(y1)21D(x1)2(y2)21解析：选A.由题意知圆心的坐标为(1，2)易知(1，2)关于直线yx对称的点为(2，1)，所以圆(x1)2(y2)21关于直线yx对称的圆的方程为(x2)2(y1)21，故选A.2已知ABC三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.B.C.D.解析：选B.设外接圆圆心为P.因为ABC外接圆的圆心在线段BC的垂直平分线上，即直线x1上，可设圆心P(1，p)，由PAPB得|p|，解得p，所以圆心坐标为P，所以圆心到原点的距离|OP|.故选B.3经过原点且与直线xy20相切于点(2，0)的圆的标准方程是()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)24D(x1)2(y1)24解析：选A.设圆心的坐标为(a，b)，则a2b2r2，(a2)2b2r2，1，联立解得a1，b1，r22.故所求圆的标准方程是(x1)2(y1)22.故选A.直线与圆、圆与圆的位置关系(综合型) 直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr相交；dr相切；dr相离(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式来讨论位置关系：0相交；0相切；0相离 圆与圆的位置关系的判定(1)dr1r2两圆外离(2)dr1r2两圆外切(3)|r1r2|dr1r2两圆相交(4)d|r1r2|(r1r2)两圆内切(5)0d|r1r2|(r1r2)两圆内含 典型例题命题角度一圆的切线问题 (2018永州模拟)自圆C：(x3)2(y4)24外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为()A8x6y210B8x6y210C6x8y210D6x8y210【解析】由题意得，圆心C的坐标为(3，4)，半径r2，如图因为|PQ|PO|，且PQCQ，所以|PO|2r2|PC|2，所以x2y24(x3)2(y4)2，即6x8y210，所以点P的轨迹方程为6x8y210，故选D.【答案】D过一点求圆的切线方程的方法(1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线的方程的求法若切线斜率存在，则先求切点与圆心连线所在直线的斜率k(k0)，由垂直关系知切线斜率为，由点斜式方程可求切线方程若切线斜率不存在，则可由图形写出切线方程xx0. (2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线的方程的求法当切线斜率存在时，设切线斜率为k，切线方程为yy0k(xx0)，即kxyy0kx00.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程当切线斜率不存在时要加以验证命题角度二直线与圆相交问题 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C与y轴相切，且过点M(1，)，N(1，)(1)求圆C的方程；(2)已知直线l与圆C交于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积为2.求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标【解】(1)因为圆C过点M(1，)，N(1，)，所以圆心C在线段MN的垂直平分线上，即在x轴上，故设圆心为C(a，0)，易知a0，又圆C与y轴相切，所以圆C的半径ra，所以圆C的方程为(xa)2y2a2.因为点M(1，)在圆C上，所以(1a)2()2a2，解得a2.所以圆C的方程为(x2)2y24.(2)记直线OA的斜率为k(k0)，则其方程为ykx.联立，得消去y，得(k21)x24x0，解得x10，x2.所以A.由kkOB2，得kOB，直线OB的方程为yx，在点A的坐标中用代换k，得B.当直线l的斜率不存在时，得k22，此时直线l的方程为x.当直线l的斜率存在时，即k22.则直线l的斜率为.故直线l的方程为y.即y，所以直线l过定点.综上，直线l恒过定点，定点坐标为.直线与圆相交问题的求法(1)弦长的求解方法根据半径，弦心距，弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系R2d2(其中l为弦长，R为圆的半径，d为圆心到直线的距离)根据公式l|x1x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)求出交点坐标，用两点间距离公式求解(2)定点、定值问题的求解步骤设：设出直线方程，并代入圆的方程整理成关于x(或y)的一元二次方程列：用参数表示出需要证明的直线或者几何式子解：判断直线是否过定点或对表示出的代数式进行化简求解 对点训练1(2018黄山模拟)已知圆O：x2y21，点P为直线1上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点()A.B.C.D.解析：选B.因为点P是直线1上的一动点，所以设P(42m，m)因为PA，PB是圆x2y21的两条切线，切点分别为A，B，所以OAPA，OBPB，所以点A，B在以OP为直径的圆C上，即弦AB是圆O和圆C的公共弦所以圆心C的坐标是，且半径的平方r2，所以圆C的方程为(x2m)2，又x2y21，所以得，(2m4)xmy10，即公共弦AB所在的直线方程为(2xy)m(4x1)0，所以由得所以直线AB过定点.故选B.2已知圆C经过点A(0，2)，B(2，0)，圆C的圆心在圆x2y22的内部，且直线3x4y50被圆C所截得的弦长为2.点P为圆C上异于A，B的任意一点，直线PA与x轴交于点M，直线PB与y轴交于点N.(1)求圆C的方程；(2)若直线yx1与圆C交于A1，A2两点，求；(3)求证：|AN|BM|为定值解：(1)易知圆心C在线段AB的中垂线yx上，故可设C(a，a)，圆C的半径为r.因为直线3x4y50被圆C所截得的弦长为2，且r，所以C(a，a)到直线3x4y50的距离d，所以a0或a170.又圆C的圆心在圆x2y22的内部，所以a0，圆C的方程为x2y24.(2)将yx1代入x2y24得2x22x30.设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，则x1x21，x1x2.所以(x12)(x22)y1y2x1x22(x1x2)4(x11)(x21)2x1x2(x1x2)53153.(3)证明：当直线PA的斜率不存在时，|AN|BM|8.当直线PA与直线PB的斜率都存在时，设P(x0，y0)，直线PA的方程为yx2，令y0得M.直线PB的方程为y(x2)，令x0得N.所以|AN|BM|444444448，故|AN|BM|为定值8.一、选择题1(2018高考全国卷)直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是()A2，6B4，8C，3D2，3 解析：选A.圆心(2，0)到直线的距离d2，所以点P到直线的距离d1，3根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(2，0)，B(0，2)，所以|AB|2，所以ABP的面积S|AB|d1d1.因为d1，3，所以S2，6，即ABP面积的取值范围是2，62圆C与x轴相切于T(1，0)，与y轴正半轴交于A、B两点，且|AB|2，则圆C的标准方程为()A(x1)2(y)22B(x1)2(y2)22C(x1)2(y)24D(x1)2(y)24解析：选A.由题意得，圆C的半径为，圆心坐标为(1，)，所以圆C的标准方程为(x1)2(y)22，故选A.3半径为2的圆C的圆心在第四象限，且与直线x0和xy2均相切，则该圆的标准方程为()A(x1)2(y2)24B(x2)2(y2)22C(x2)2(y2)24D(x2)2(y2)24解析：选C.设圆心坐标为(2，a)(a0)，则圆心到直线xy2的距离d2，所以a2，所以该圆的标准方程为(x2)2(y2)24，故选C.4(2018湖南湘东五校联考)圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离等于2的点有()A1个B2个C3个D4个解析：选B.圆(x3)2(y3)29的圆心为(3，3)，半径为3，圆心到直线3x4y110的距离d2，所以圆上到直线3x4y110的距离为2的点有2个故选B.5在平面直角坐标系内，过定点P的直线l：axy10与过定点Q的直线m：xay30相交于点M，则|MP|2|MQ|2()A.B.C5D10解析：选D.由题意知P(0，1)，Q(3，0)，因为过定点P的直线axy10与过定点Q的直线xay30垂直，所以MPMQ，所以|MP|2|MQ|2|PQ|29110，故选D.6(2018郑州模拟)已知ABC的三个顶点坐标分别为A(2，3)，B(2，1)，C(6，1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为()Ax2y21Bx2y237Cx2y24Dx2y21或x2y237解析：选D.如图，易知AC所在直线的方程为x2y40.点O到直线x2y40的距离d1，OA，OB，OC，所以以原点为圆心的圆若与三角形ABC有唯一的公共点，则公共点为(0，1)或(6，1)，所以圆的半径为1或，则该圆的方程为x2y21或x2y237.故选D.二、填空题7(2018南宁模拟)过点(，0)引直线l与曲线y相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于_解析：令P(，0)，如图，易知|OA|OB|1，所以SAOB|OA|OB|sinAOBsinAOB，当AOB90时，AOB的面积取得最大值，此时过点O作OHAB于点H，则|OH|，于是sinOPH，易知OPH为锐角，所以OPH30，则直线AB的倾斜角为150，故直线AB的斜率为tan 150.答案：8已知动直线l0：axbyc20(a0，c0)恒过点P(1，m)，且Q(4，0)到动直线l0的最大距离为3，则的最小值为_解析：动直线l0：axbyc20(a0，c0)恒过点P(1，m)，所以abmc20.又Q(4，0)到动直线l0的最大距离为3，所以 3，解得m0.所以ac2.又a0，c0，所以(ac)，当且仅当c2a时取等号答案：9(2018桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考)设圆C满足：截y轴所得弦长为2；被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为31；圆心到直线l：x2y0的距离为d.当d最小时，圆C的面积为_解析：设圆C的圆心为C(a，b)，半径为r，则点C到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|.由题设知圆C截x轴所得劣弧所对的圆心角为90，知圆C截x轴所得的弦长为r，故r22b2，又圆C截y轴所得的弦长为2，所以r2a21，从而得2b2a21.又点C(a，b)到直线x2y0的距离d，所以5d2(a2b)2a24b24aba24b22(a2b2)2b2a21，当且仅当，即a2b21时等号成立，此时d取得最小值，此时r22，圆C的面积为2.答案：2三、解答题10已知点P(2，2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积解：(1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x，y)，则(x，y4)，(2x，2y)由题设知0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上又P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为，故l的方程为yx.又|OM|OP|2，O到l的距离为，|PM|，所以POM的面积为.11(2018高考全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x