2019届高考数学专题四三角函数向量与解三角形第4讲平面向量数量积学案.docx

第4讲平面向量数量积 1. 平面向量的数量积是高考的必考内容，考查内容主要涉及平面向量数量积的概念、向量的平行、垂直及求有关向量的夹角问题，运用到数形结合、转化与化归等思想2. 高考中的主要题型：(1) 平面向量数量积的运算；(2) 利用数量积解决平行与垂直等问题；(3) 利用向量解决某些简单的几何问题1. (2017全国卷)已知向量a(2，3)，b(3，m)，且ab，则m_答案：2解析： ab， ab233m0，解得m2.2. (2018湛江模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，(1，2)，(2，1)，则_答案：5解析：因为四边形ABCD为平行四边形，所以(1，2)(2，1)(3，1)所以23(1)15.3. 已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2，bke1e2.若ab0，则实数k _答案：解析： ab0， (e12e2)(ke1e2)0，即kk0，即k.4. (2018苏州暑假测试)已知平面向量a(2，1)，ab10，若5，则_答案：5解析：因为a(2，1)，所以|a|.又5，所以a22abb250，所以b225，所以|b|5.,一) 平面向量数量积的运算,1) 已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1) 求a与b的夹角；(2) 求|ab|的值解：(1) 因为(2a3b)(2ab)61，所以4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，所以644ab2761，所以ab6.所以cos .又0，所以.(2) |ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，所以|ab|.已知|a|4，|b|8，a与b的夹角是120.(1) 计算： |ab|， |4a2b|；(2) 当k为何值时，(a2b)(kab)解：由已知得ab4816.(1) |ab|2a22abb2162(16)6448， |ab|4. |4a2b|216a216ab4b2161616(16)464768， |4a2b|16.(2) (a2b)(kab)， (a2b)(kab)0， ka2(2k1)ab2b20，即16k16(2k1)2640，解得k7.即当k7时，a2b与kab垂直,二) 平面向量的平行与垂直问题,2) 向量a(x，1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，求|ab|和ab与c的夹角解： ac， 2x40，解得x2. bc， 42y0，解得y2. a(2，1)，b(1，2)，ab(3，1)， |ab|.设ab与c的夹角为，则cos . 0， ，即ab与c的夹角为.(2018姜堰、泗洪联合调研测试)已知向量a，b(1，4cos )，(0，)(1) 若ab，求tan 的值；(2) 若ab，求的值解：(1) ab， sin134cos 0, tan .(2) ab， sin4cos 30，sin1.又(0，)，2， 2， .,三) 利用数量积解决几何问题,3) 已知半径为1，圆心角为的上有一点C.(1) 当C为的中点时，D为线段OA上任一点，求|的最小值；(2) 当C在上运动时，D，E分别为线段OA，OB的中点，求的取值范围解：以O为原点，以为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系(1) 设D(t，0)(0t1)，C(，)，所以(t，)，所以|2tt2t2t1(t)2(0t1)，故当t时，|取得最小值，最小值为.(2) 设(cos ，sin )，0，E(0，)，则(0，)(cos ，sin )(cos ，sin )因为D(，0)，所以(，)，所以(cos sin )sin().因为0，所以，所以sin()1，1，则sin()，所以的取值范围是，(2018泰州中学学情调研)矩形ABCD中，P为矩形ABCD所在平面内一点，且满足PA3，PC4，矩形对角线AC6，则_答案：解析：由题意可得()()29()09936cos(PAC) 918918.1. (2018全国卷)已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)_答案：3解析：由题意得a(2ab)2a2ab2|a|2(1)213.2. (2017全国卷)已知向量a(1，2)，b(m，1)若向量ab与a垂直，则m_答案：7解析：由题意得ab(m1，3)，因为ab与a垂直，即(ab)a0，所以有(m1)320，解得m7.3. (2018北京卷)设a，b均为单位向量，则“|a3b|3ab|”是“ab”的_条件答案：充分必要解析：|a3b|3ab|a3b|2|3ab|2a26ab9b29a26abb2.因为a，b均为单位向量，所以a26ab9b29a26abb2ab0ab ，即“|a3b|3ab|”是“ab”的充分必要条件4. (2017江苏卷)如图，在同一个平面内，向量，的模分别为1，1，与的夹角为，且tan 7，与的夹角为45.若mn(m，nR)，则mn_答案：3解析：由题意得解得cos (负值舍去)，即cos .又与的夹角为45，所以.又易知cosAOBcos(45)cos cos 45sin sin 45，即，代入可得即mn，故mn3.5. (2017山东卷)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1e2与e1e2的夹角为60，则实数的值是_答案：解析：由题意不妨取e1(1，0)，e2(0，1)，由条件可设ae1e2(，1)，be1e2(1，)，所以cosa，bcos 60，所以，解得.6. (2018天津卷)如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为_. 答案： 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则A ，B ，C ，D ，点E在CD上，则(01)，设E(x，y)，则 ，即 据此可得E ，且 ， .由数量积的坐标运算法则可得，整理可得(4222)(01)结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.(本题模拟高考评分标准，满分14分)已知平面向量a(1，2)，b(4，2)，cmab(mR)(1) 若m2，求|c|的值；(2) 若c与a的夹角为90，求m的值解：(1) (解法1)当m2时，由已知得c(m4，2m2)(6，6)，(3分)所以|c|6.(7分)(解法2)由已知得a212225，b2422220，ab14228，(3分)当m2时，c2(2ab)24a24abb245482072，所以|c|6.(7分)(2) 因为c与a的夹角为90，所以ca0.(9分)(解法1)由已知，得c(m4，2m2)，所以cam42(2m2)5m80，所以m.(14分)(解法2)由已知得a212225，ab14228，所以ca(mab)ama2ab5m80，所以m.(14分)1. 已知向量a，b满足|a|1，b(2，1)，且ab0(R)，则|_答案：解析： ab0， ab， |a|b|b|， |a|.又|a|1， |.2. (2018常州学业水平监测)在ABC中，AB5，AC7，BC3，P为ABC 内一点(含边界)若满足(R)，则的取值范围是_答案： 解析：在边BA上找一点D，使其满足BABD，过点D作DEBC，交AC于点E.因为(R)，所以点P为线段DE上的动点，可以得到0，利用余弦定理得cos B，所以B；()2，即.3. 在平面直角坐标系xOy中，已知向量a(1，0)，b(0，2)设向量xa(1cos )b，ykab，其中0.(1) 若k4，求xy的值；(2) 若xy，求实数k的最大值，并求取最大值时的值解：(1) 当k4，时，x(1，2)，y(4，4)，则xy1(4)(2)444.(2) 依题意，x(1，22cos )，y(k，