2012年高考数学二轮精品复习资料专题07立体几何(理)(教师版).doc

2012届高考数学二轮复习资料专题七 立体几何（理）（教师版）【考纲解读】1、平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用，初步掌握性质与推论的简单应用。2、空间两条直线的三种位置关系，并会判定。3、平行公理、等角定理及其推论，了解它们的作用，会用它们来证明简单的几何问题，掌握证明空间两直线平行及角相等的方法。4、异面直线所成角的定义，异面直线垂直的概念，会用图形来表示两条异面直线，掌握异面直线所成角的范围，会求异面直线的所成角。5.理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘;了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算;掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.6.了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念.掌握棱柱,棱锥的性质,并会灵活应用,掌握球的表面积、体积公式;能画出简单空间图形的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.7.空间平行与垂直关系的论证. 8. 掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能熟练解决有关问题,进一步掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题.9.理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法（如：直接法、转化法、向量法）.对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算距离.【考点预测】在2012年高考中立体几何命题有如下特点：1.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系2.多面体中线面关系论证，空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现3.多面体及简单多面体的概念、性质、三视图多在选择题，填空题出现4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点此类题目分值一般在17-22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【要点梳理】1.三视图：正俯视图长对正、正侧视图高平齐、俯侧视图宽相等.2.直观图:已知图形中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于y轴的线段平行性不变,但在直观图中其长度为原来的一半.3.体积与表面积公式:(1)柱体的体积公式:;锥体的体积公式: ;台体的体积公式: ;球的体积公式: . (2)球的表面积公式: .4.有关球与正方体、长方体、圆柱、圆锥、圆台的结合体问题，要抓住球的直径与这些几何体的有关元素的关系.5.平行与垂直关系的证明,熟练判定与性质定理.6利用空间向量解决空间角与空间距离。【考点在线】考点一 三视图例1.（2011年高考海南卷文科第8题）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图，【解析】由主视图和府视图可知，原几何体是由后面是半个圆锥，前面是三棱锥的组合体，所以，左视图是D.【名师点睛】本题考查三视图的基础知识.【备考提示】三视图是高考的热点之一,年年必考,所以必须熟练立体几何中的有关定理是解答好本题的关键.练习1: （2011年高考江西卷文科9)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（ ）【解析】左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点，连起来就可以得到答案.考点二 表面积与体积例2.(2011年高考安徽卷文科8)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )【答案】C【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，两底面积和为，四个侧面的面积为，所以几何体的表面积为.故选C.【名师点睛】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法.【备考提示】：表面积与体积的求解也是高考的热点之一，年年必考，大多以三视图为载体，在选择与填空题中考查，难度不大，也可能在解答题的一个问号上.练习2：332正视图侧视图俯视图图1（2011年高考湖南卷文科4)设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A【答案】D【解析】有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积.考点三 球的组合体例3. （2011年高考辽宁卷文科10)己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点AB=2, 则棱锥的体积为( )(A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】取SC的中点D,则D为球心，则AD=BD=DS=2。因为ASC=BSC=45，所以SDB=SDA=900，即ADSC,BDSC,ABD是等边三角形，故棱锥S-ABC的体积等于棱锥S-ABD和棱锥C-ABD的体积和，即.【名师点睛】本小题考查三棱锥的外接球体积的求解,关键是找出球的半径.【备考提示】：球的组合体,在高考中,经常考查球与长方体、正方体、三棱锥、四棱锥、圆锥、圆柱等的组合，熟练这些几何体与其外接球的半径的关系是解决此类问题的关键.练习3：（2011年高考海南卷文科16)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 .【答案】【解析】设圆锥的底面半径为,球半径为,则,解得,所以对应球心距为,故小圆锥的高为,大圆锥的高为,所以之比为.考点四 空间中平行与垂直关系的证明例4. （2011年高考山东卷文科19)如图，在四棱台中，平面，底面是平行四边形，60. （）证明：；（）证明：.【解析】（）证明：因为，所以设AD=a,则AB=2a,又因为60,所以在中,由余弦定理得：,所以BD=,所以,故BDAD,又因为平面，所以BD,又因为, 所以平面,故.(2)连结AC,设ACBD=0, 连结,由底面是平行四边形得:O是AC的中点,由四棱台知:平面ABCD平面,因为这两个平面同时都和平面相交,交线分别为AC、，故，又因为AB=2a, BC=a, ，所以可由余弦定理计算得AC=，又因为A1B1=2a, B1C1=, ，所以可由余弦定理计算得A1C1=，所以A1C1OC且A1C1=OC，故四边形OCC1A1是平行四边形，所以CC1A1O，又CC1平面A1BD，A1O平面A1BD，所以.【名师点睛】本题以四棱台为载体,考查空间中平行与垂直关系的论证,考查空间想象能力、逻辑思维能力,分析问题与解决问题的能力.【备考提示】：熟练课本中有关平行与垂直的定理是解答好本类题的关键.练习4. (2011年高考江苏卷16)如图，在四棱锥中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60，E、F分别是AP、AD的中点.求证：（1）直线EF平面PCD；（2）平面BEF平面PAD.【解析】证明: （1）因为E、F分别是AP、AD的中点,所以EFPD,又因为EF平面PCD,PD平面PCD,所以直线EF平面PCD；（2）设AB=AD=,则AF=,又因为BAD=60，所以在中,由余弦定理得：BF=，所以，所以BFAF，因为平面PAD平面ABCD，交线为AD，平面ABCD，所以BF平面PAD，因为平面BEF，所以平面BEF平面PAD.考点五 空间角与距离的求解例5. (2011年高考浙江卷理科20).如图，在三棱锥中，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（）证明：APBC；（）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。【解析】法一：（）证明：如图，以为原点，以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则，由此可得 ，所以 ，即（）解：设 ，则，设平面的法向量，平面的法向量 由 得 即 ，可取 由即得可取，由得解得 ，故 综上所述，存在点M 符合题意，法二（）证明：又因为所以平面故（）如图，在平面内作由（）知得平面，又平面所以平面平面在中，得在中，在中，所以得，在中，得又从而，所以综上所述，存在点M 符合题意，.【名师点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力.【备考提示】：空间角与距离是高考的一个热点，年年必考，熟练三种角及距离的求法，是解答本类题目的关键.练习5. (2011年高考全国卷理科16)己知点E、F分别在正方体ABCD-A1B2C3D4的棱BB1 、CC1上，且B1E=2EB, CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .【答案】【解析】延长CB、FE交于M，连结AM，过B作BNAM于N，连结EN，则ENB为平面AEF与平面ABC所成的二面角，AM=AB，.【易错专区】问题：三视图与表面积、体积例.（2011年高考陕西卷文科5)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为立方体与圆锥，立方体棱长为2，圆锥底面半径为1、高为2，所以体积为故选A.【名师点睛】：本小题以三视图为载体考查空间几何体的体积的求解【备考提示】：由三视图准确判断几何体的形状以及找出几何体各个边长是解答此类问题的关键所在.【考题回放】1.(2011年高考浙江卷理科4)下列命题中错误的是( )（A）如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面（B）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面（C）如果平面，平面，那么（D）如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面【答案】 D【解析】两个平面垂直，两个平面上的所有直线都不是垂直了，比如平面垂直平面，垂线为AB，直线CD属于，与AB交与E点，角度为60，不垂直平面，故选D.2. (2011年高考山东卷理科11)下图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图其中真命题的个数是( )(A)3 (B)2 (C)1 (D)0【答案】A【解析】对于,可以是放倒的三棱柱；容易判断可以.3.(2011年高考浙江卷理科3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )【解析】：A，B与正视图不符，C与俯视图不符，故选D .4.(2011年高考辽宁卷理科8)如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）(A) ACSB (B) AB平面SCD (C) SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 (D)AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【答案】D【解析】对于A:因为SD平面ABCD，所以DSAC.因为四边形ABCD为正方形，所以ACBD，故AC平面ABD,因为SB平面ABD,所以ACSB，正确.对于B：因为AB/CD,所以AB/平面SCD.对于C:设.因为AC平面ABD，所以SA和SC在平面SBD内的射影为SO，则ASO和CSO就是SA与平面SBD所成的角和SC与平面SBD所成的角，二者相等，正确.故选D.5(2011年高考江西卷理科8)已知，是三个相互平行的平面平面，之间的距离为，平面，之间的距离为直线与，分别相交于，那么“=”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】过点作平面的垂线g,交平面，分别于点A、B两点,由两个平面平行的性质可知,所以,故选C.6.(2011年高考重庆卷理科9)高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为( )（A） （B） （C）1 （D）【答案】C【解析】设底面中心为G，球心为O，则易得，于是，用一个与ABCD所在平面距离等于的平面去截球，S便为其中一个交点，此平面的中心设为H，则，故，故7(2011年高考四川卷理科3)，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) (A)， （B），(C) ，共面 （D），共点，共面【答案】B【解析】若则有三种位置关系，可能平行、相交或异面，故A不对.虽然，或共点，但是可能共面，也可能不共面，故C、D也不正确.8.(2011年高考全国卷理科6)已知直二面角，点为垂足，为垂足，若则到平面的距离等于( )（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】如图，作于，由为直二面角，得平面，进而,又,于是平面。故为到平面的距离。在中，利用等面积法得15. (2011年高考全国卷理科11)已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成，二面角的平面截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为( ) (A) (B) (c) (D)【答案】D【解析】：由圆的面积为得，在 故选D. 16. (2011年高考全国新课标卷理科15)已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 。【答案】【解析】如图，连接矩形对角线的交点和球心,则，,四棱锥的高为,所以，体积为17. (2011年高考全国新课标卷理科18) (本小题满分12分)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.()证明：PABD；()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。【解析】(1)证明：在三角形ABD中，因为该三角形为直角三角形，所以,（2）建立如图的坐标系，设点的坐标分别是则，设平面PAB的法向量为，所以， 取得，同理设平面PBC的法向量为， 取得，于是，因此二面角的余弦值是.18(2011年高考湖南卷理科19)如图5，在圆锥中，已知=，O的直径,是的中点，为的中点（）证明：平面 平面;（）求二面角的余弦值.【解法一】连结OC，因为又底面O，AC底面O，所以，因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以平面POD，而平面PAC，所以平面POD平面PAC。（II）在平面POD中，过O作于H，由（I）知，平面所以平面PAC，又面PAC，所以在平面PAO中，过O作于G，连接HG，则有平面OGH，从而，故为二面角BPAC的平面角。在在在在所以故二面角BPAC的余弦值为【解法二】（I）如图所示，以O为坐标原点，OB、OC、OP所在直线分别为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，设是平面POD的一个法向量，则由，得所以设是平面PAC的一个法向量，则由，得所以得。因为所以从而平面平面PAC。（II）因为y轴平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为由（I）知，平面PAC的一个法向量为,设向量的夹角为，则由图可知，二面角BPAC的平面角与相等，所以二面角BPAC的余弦值为【高考冲策演练】一、选择题：1（2009年高考广东卷A文科第6题）给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 （ ）A和 B和 C和 D和 【答案】D【解析】错, 正确, 错, 正确.故选D2（2009年高考湖南卷文科第6题）平面六面体中，既与共面也与共面的棱的条数为（ ）A3 B4 C5 D6 【答案】C【解析】如图，用列举法知合要求的棱为：、，故选C.3. (山东省青岛市2011年3月高考第一次模拟)已知直线 、，平面、，且，则是的( ).充要条件 .充分不必要条件 .必要不充分条件 .既不充分也不必要条件【答案】B4(山东省济宁市2011年3月高三第一次模拟)已知a、b为直线，、为平面在下列四个命题中， 若a，b，则ab ； 若 a，b ，则ab； 若a，a，则； 若b，b ，则正确命题的个数是 （ ） A 1 B 3 C 2 D 0【答案】C【解析】由“垂直于同一平面的两直线平行”知真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知假；由“垂直于同一直线的两平面平行”知真；易知假，选C5. （山东省泰安市2012届高三上学期期末文科）设l、m、n为不同的直线，为不同的平面，有如下四个命题：( )若若若若A.0B.1C.2D.3【答案】B6. （山东省济南一中2012届高三上学期期末文科）已知正三棱锥的主视图、俯视图如下图所示，其中VA=4，AC=,则该三棱锥的左视图的面积 ( )A9 B6 C D【答案】B7(山东省烟台市2012届高三上学期期末文科)已知空间两条不同的直线和两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A若 B若C若 D若【答案】D8(2010年高考全国2卷理数9）已知正四棱锥中，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为( )（A）1 （B） （C）2 （D）39(2010年高考全国2卷理数11）与正方体的三条棱、所在直线的距离相等的点( )（A）有且只有1个 （B）有且只有2个（C）有且只有3个 （D）有无数个10. (2010年高考重庆市理科10)到两互相垂直的异面的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）（A） 直线（B） 椭圆（C） 抛物线（D） 双曲线【答案】D【解析】排除法 轨迹是轴对称图形，排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除B11. (2010年全国高考宁夏卷10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】B 【解析】如图，P为三棱柱底面中心，O为球心，易知，所以球的半径满足：，故12（2010年高考广东卷理科6）如图1， ABC为三角形，/, 二填空题：13(2011年高考上海卷理科7)若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为 。【答案】；14（2009年高考江苏卷第12题）设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）.【答案】(1)(2)15. (山东省济南市2011年2月高三教学质量调研文科)已知右上图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为 . 【答案】816.（2011年高考全国卷文科15)已知正方体中，E为的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为 .【答案】【解析】取的中点，为所求角，设棱长为2，则，三解答题：17(2011年高考山东卷理科19)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ACB=，平面，EF，.=.（)若是线段的中点，求证：平面;（）若=,求二面角-的大小【解析】（)连结AF,因为EF，EF=F,所以平面EFG平面ABCD,又易证,所以,即,即,又M为AD的中点,所以,又因为D，所以M,所以四边形AMGF是平行四边形,故GMFA,又因为平面,FA平面,所以平面.（）取AB的中点O,连结CO,因为,所以COAB,又因为平面，CO平面,所以CO,又AB=A,所以CO平面,在平面ABEF内,过点O作OHBF于H,连结CH,由三垂线定理知: CHBF,所以为二面角-的平面角.设=,因为ACB=，=,CO=,连结FO,容易证得FOEA且,所以,所以OH=,所以在中,tanCHO=,故CHO=,所以二面角-的大小为.18.(2011年高考辽宁卷理科18)如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD.（I）证明：平面PQC平面DCQ;（II）求二面角Q-BP-C的余弦值.【解析】（I）方法一：由条件知，PDAQ是直角梯形，因为AQ平面ABCD,所以平面PDAQ平面ABCD,交线是AD.又四边形ABCD是正方形，DCAD,所以DC平面PDAQ，可得PQDC.在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQQD.所以PQ平面DCQ.因为PQ平面PQC,所以平面PQC平面DCQ.方法二：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间之间坐标系D-xyz.依题意由Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0).则(1,1,0)，(0,0,1)， (1,-1,0).所以， 即，.故平面DCQ，又平面PQC，所以平面PQC平面DCQ.（II）依题意得B(1,0,1)，,设n=(x,y,z)是平面PBC的法向量，则即因此，取n=(0,-1,-2).设m是平面PBQ的法向量，则可取m=(1,1,1),所以，故二面角Q-BP-C的余弦值为.19. (2011年高考安徽卷理科17)如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，,，都是正三角形。（）证明直线；（II）求棱锥F-OBED的体积。【解析】（1）【证法一】： 同理可证， 【证法二】：设G是线段DA与EB延长线的交点， 同理设是线段DA与FC延长线的交点，有，又G与都在线段DA的延长线上，所以G与重合。又 和 ,可