八年级数学下册四边形小专题（五）特殊平行四边形的计算与证明课时作业（新版）沪科版.docx

小专题(五)特殊平行四边形的计算与证明特殊平行四边形具有平行四边形的所有性质,而且在边、角、对角线方面有其独有的性质,能得到相等的角和相等的线段,为几何图形的计算和证明提供了重要的依据,是近几年全国各省市中考的必考内容.类型1特殊平行四边形的计算1.(淮安中考)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=3,点E在边BC上,将ABE沿直线AE折叠,点B恰好落在对角线AC上的点F处,若EAC=ECA,则AC的长是(B)A.33B.6C.4D.52.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点.若CEF的周长为18,则OF的长为(A)A.3.5B.3C.5D.2.53.如图,在矩形AOBC中,O为坐标原点,OA,OB分别在x轴、y轴上,点B的坐标为(0,33),ABO=30,将ABC沿AB所在直线对折后,点C落在点D处,则点D的坐标为(A)A.32,323B.2,323C.323,32D.32,3-3234.如图,菱形ABCD的周长为40,E是AB的中点,D=120,P是对角线AC上的动点,则PE+PB的最小值是(B)A.5B.53C.10D.1035.如图,正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AEF是等边三角形,连接AC交EF于点G,过点G作GHCE于点H.若SEGH=3,则SADF=(A)A.6B.4C.3D.26.如图,ABC的周长为26,点D,E都在边BC上,ABC的平分线垂直于AE,垂足为Q,ACB的平分线垂直于AD,垂足为P.若BC=10,则PQ的长为3.7.如图,在矩形ABCD中,DAC=65,E是CD上一点,BE交AC于点F,将BCE沿BE折叠,点C恰好落在AB边上的点C处,则AFC=40.8.(沈阳中考)四边形ABCD是边长为4的正方形,点E在边AD所在直线上,连接CE,以CE为边,作正方形CEFG(点D,F在直线CE的同侧),连接BF.(1)如图1,当点E与点A重合时,请直接写出BF的长.(2)如图2,当点E在线段AD上时,AE=1.求点F到AD的距离;求BF的长.(3)若BF=310,请直接写出此时AE的长.解:(1)BF=45.(2)如图,过点F作FHAD交AD的延长线于点H.四边形CEFG是正方形,EC=EF,FEC=90,DEC+FEH=90,又四边形ABCD是正方形,ADC=90,DEC+ECD=90,ECD=FEH,又EDC=FHE=90,且EF=EC,ECDFEH,FH=ED.AD=4,AE=1,ED=AD-AE=4-1=3,FH=3,即点F到AD的距离为3.如图,延长FH交BC的延长线于点K.DHK=HDC=DCK=90,四边形CDHK为矩形,HK=CD=4,FK=FH+HK=3+4=7.由知ECDFEH,EH=CD=AD=4,CK=1,BK=BC+CK=4+1=5,在RtBFK中,BF=FK2+BK2=72+52=74.(3)AE=2+41或AE=1.9.如图,ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在AC上,且AE=CF,EF=BD.求证:四边形EBFD是矩形.证明:四边形ABCD是平行四边形,OA=OC,OB=OD,AE=CF,OE=OF,四边形EBFD是平行四边形.EF=BD,平行四边形EBFD是矩形.类型2特殊平行四边形的证明10.如图,DBAC,且DB=12AC,E是AC的中点.(1)求证:BC=DE;(2)连接AD,BE,若要使四边形DBEA是矩形,则需给ABC的边添加什么条件,为什么?解:(1)E是AC的中点,EC=12AC.DB=12AC,DB=EC,又DBEC,四边形DBCE是平行四边形,BC=DE.(2)ABC满足AB=BC时,四边形DBEA是矩形.理由:DB=EC=AE,DBAC,四边形DBEA是平行四边形,BC=DE,AB=BC,AB=DE,DBEA是矩形.11.(娄底中考)如图,已知四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OC,OB=OD,过O点作EFBD,分别交AD,BC于点E,F.(1)求证:AOECOF;(2)判断四边形BEDF的形状,并说明理由.解:(1)OA=OC,OB=OD,四边形ABCD是平行四边形,ADBC,EAO=FCO,在AOE和COF中,EAO=FCO,OA=OC,AOE=COF,AOECOF(ASA).(2)四边形BEDF是菱形.理由:AOECOF,AE=CF,AD=BC,DE=BF,DEBF,四边形BEDF是平行四边形.OB=OD,EFBD,平行四边形BEDF是菱形.类型3特殊平行四边形计算与证明的综合12.将两张完全相同的矩形纸片ABCD,FBED按如图方式放置,BD为重合的对角线,重叠部分为四边形DHBG.(1)试判断四边形DHBG为哪种特殊的四边形,并说明理由;(2)若AB=8,AD=4,求四边形DHBG的面积.解:(1)四边形DHBG是菱形.理由:四边形ABCD,FBED是完全相同的矩形,A=E=90,AD=ED,AB=EB,在DAB和DEB中,AD=ED,A=E,AB=EB,DABDEB(SAS),ABD=EBD.ABCD,DFBE,四边形DHBG是平行四边形,HDB=EBD,HDB=ABD,DH=BH,DHBG是菱形.(2)设DH=BH=x,则AH=8-x,在RtADH中,AD2+AH2=DH2,即42+(8-x)2=x2,解得x=5,即BH=5,菱形DHBG的面积为BHAD=54=20.13.在直角三角形ABC中,C=90,点E,F分别在边AB,AC上,将ABC沿着直线EF折叠,使得A点恰好落在BC边上的D点处,且EDBC.(1)求证:四边形AFDE是菱形;(2)若CD=2,AC=6,求线段ED的长度.解:(1)EDBC,EDB=90.又C=90,EDB=C,ACED,CFD=FDE.由折叠知A=FDE,A=CFD,DF