信号采样与z变换理论基础课件

第三章,信号采样与Z变换理论基础,机械自动化系,本章内容,3.1 采样过程与采样定理,3.2 信号的恢复与零阶保持器,3.4 z变换与z反变换,3.5 脉冲传递函数,3.6 Z平面分析,3.3 离散系统的差分方程,机械自动化系,基本要求,正确理解采样过程，采样定理，信号复现和零阶保持器的作用, 了解采样系统与连续系统的区别与联系。 Z变换和Z反变换，熟练掌握几种典型信号的Z变换和通过部分分式分解进行反变换, 了解用Z变换法解差分方程的主要步骤和方法。 正确理解脉冲传递函数的概念，熟练掌握简单采样系统开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的计算方法, 掌握典型闭环采样系统输出的Z变换表达式。 熟练掌握Z域稳定性的判别方法。 掌握采样瞬时的稳态误差的计算方法,机械自动化系,概述,计算机控制系统简化方框图,等效的采样控制系统简化方框图,机械自动化系,3.1.1信号的采样,3.1 采样过程与采样定理,采样过程：以一定的时间间隔对连续信号进行采样，使连续信号转换成时间上离散的脉冲序列的过程。 实现采样过程的装置：多种多样，但不管具体是如何实现的，其基本功能都可以用一个开关来表示，称为采样器或采样开关。 理想采样开关：按一定的周期进行闭合采样。设采样周期为T，每次采样时的闭合时间为。由于采样开关闭合时间极短，一般远小于采样周期T和被控制对象的最大时间常数，因此可以认为是瞬间完成。,机械自动化系,3.1.1信号的采样,3-1 采样过程与采样定理,若时间间隔用任意数T表示，离散信号用x(kT)或x(k)表示。其中k表示离散时间，T称为采样时间或采样周期。,机械自动化系,采样过程类似于一个脉冲调制过程。设理想的单位脉冲序列 的数学表达式为：,采样开关对模拟信号,进行采样后，其输出信号,可以表示为,从控制系统的实际意义出发，通常取,时，,故上式可改写为：,3.1.1信号的采样,机械自动化系,3.1.2 采样定理,3.1 采样过程与采样定理,工程上常以在满足系统性能要求的前提下，尽可能选择较大的采样周期（即较小的采样频率），以降低成本为基本准则。采样周期的选择，在很大程度上还取决于实际控制系统的现场情况。,3.1.3 采样周期的选择,机械自动化系,信号复现 是指将采样信号恢复为连续信号的过程，能够实现这一过程的装置称为保持器。,可将,展成如下泰勒级数：,时，,3.2 信号复现与零阶保持器,3.2.1 信号复现,机械自动化系,取各阶导数的近似值,由此类推，计算n阶导数的近似值需已知n+1个采样时刻的瞬时值。若展开式的右边只取前n+1项，便得到n阶保持器的数学表达式。,机械自动化系,3.2 信号的恢复与零阶保持器,3.2.2 零阶保持器,信号的采样与保持过程,零阶保持器的数学表达式为：,机械自动化系,零阶保持器采用恒值外推原理，把每个采样值,一直保持到下一个采样时刻,，从而把采样信号,变成了阶梯信号 。,由于是恒值外推，处在采样区间内的值始终为常数， 其导数为零，故称作零阶保持器。,3.2.2 零阶保持器,零阶保持器的功能,机械自动化系,3.2.3 零阶保持器的单位脉冲响应,零阶保持器是采样系统的基本元件，为了满足系统分析、设计的需要，必须了解零阶保持器的传递函数和频率特性。对零阶保持器输入单位脉冲时，其输出为一个高度为1，宽度为T的矩形波，这就是零阶保持器的单位脉冲响应 。,两个单位阶跃函数的叠加,机械自动化系,3.2.4 零阶保持器的传递函数,由线性函数的叠加性，零阶保持器的脉冲响应函数：,对上式取拉氏变换，可得零阶保持器的传递函数为：,机械自动化系,3.2.5 零阶保持器的频率特性,将 代入上式，可以得到零阶保持器的频率特性为：,机械自动化系,3.2.5 零阶保持器的频率特性,零阶保持器的幅、相频率特性分别为 ：,机械自动化系,3.2.5 零阶保持器的频率特性,零阶保持器的幅、相频率特性分别为 ：,机械自动化系,3.2.6 一阶保持器与零阶保持器比较,1一阶保持器幅频特性的幅值较大，高频分 量也大。,2一阶保持器相角滞后比零阶保持器大。,3一阶保持器的结构更复杂。,一阶保持器实际很少使用！,机械自动化系,连续系统、离散系统的数学处理方法对比,3.3 离散系统的差分方程,机械自动化系,假设在下图所示的采样系统中，模拟数字转换器在离散时间对误差信号 进行采样，并将瞬时值 记为 或 ，则 的一阶前项差分定义为：,1 差分的定义,3.3 离散系统的差分方程,机械自动化系,二阶前向差分定义为： n阶前向差分定义为 n阶后向差分定义为,3.31 差分的定义,3.3 离散系统的差分方程,机械自动化系,3.3.2 差分方程,差分方程由未知序列 y(k)，及移位序列y(k+1)、y(k+2)、 或 y(k-1)、y(k-2)、，以及激励u(k)及其移位序列u(k+1)、u(k+2)、或 u(k-1)、u(k-2)、构成。,3.3 离散系统的差分方程,机械自动化系,差分方程的阶数：定义为未知序列自变量序号中最高值和最低值之差。,用两种形式的差分方程描述的系统没有本质的区别，根据具体情况来确定采用哪一种。,前向差分方程：差分方程中的未知序列是递增方式，即由,组成的差分方程,后向差分方程：差分方程中的未知序列是递减方式，即由,组成的差分方程,3.3.2 差分方程,3.3 离散系统的差分方程,机械自动化系,3.3.2 差分方程,3.3 离散系统的差分方程,常系数线性差分方程的一般形式,机械自动化系,3.3.3 差分方程的求解,3.3 离散系统的差分方程,1.迭代法,3.零输入响应+零状态响应 利用卷积求系统的零状态响应,2.时域经典法：齐次解+特解,4. z变换法反变换y(n),机械自动化系,3.3.3 差分方程的求解,方法1迭代法,解差分方程的基础方法 差分方程本身是一种递推关系，概念清楚比较简便,解：,故,机械自动化系,3.3.3 差分方程的求解,方法1迭代法,例2:,已知：,解：,无法给出闭式解集,机械自动化系,3.3.3 差分方程的求解,解析法：齐次解+特解,齐次解：齐次方程的解,步骤：,差分方程 特征方程特征根 y(n)的解析式由初始状态定常数,方法2时域经典法,机械自动化系,3.3.3 差分方程的求解,方法2时域经典法,特征方程,有n个特征根,1齐次解-自由响应,齐次方程：,即：,机械自动化系,3.3.3 差分方程的求解,方法2时域经典法,齐次解一般形式,i)特征根互不相同的实根,齐次解,ii),与,互为共轭,与,对应的齐次解部分,iii),为k重,对应齐次解部分,机械自动化系,3.3.3 差分方程的求解,方法2时域经典法,例：求,，,解：,得,所以,推出：,的通解,机械自动化系,3.3.3 差分方程的求解,方法3零输入响应+零状态响应,1.零输入响应：输入为零，差分方程为齐次,2.零状态响应：初始状态为零，即,求解方法,经典法：齐次解+特解,卷积法,机械自动化系,3.3.3 差分方程的求解,方法4. z变换法,z变换法反变换y(k),与拉式变换求解微分方程类似,机械自动化系,3.3 Z变换,3.3.1 Z变换的定义,S的超越 函数 非有理函数,机械自动化系,3.3 Z变换,3.3.1 Z变换的定义,几点讨论：,只有采样函数才能定义 Z 变换。 下面表达式的含义是相等的,机械自动化系,3.3 Z变换,3.3.1 Z变换的定义,采样时刻 信号的幅值,采样时刻,因为,所以：,机械自动化系,3.3 Z变换,3.3.1 Z变换的定义,Z 变换只考虑采样瞬间的信号值，它不能反映非采样时刻的信息,机械自动化系,3.3 Z变换,3.3.1 Z变换的性质和常用定理,滞后和超前定理统称为平移定理，是差分方程Z变换求解的主要依据，这与用拉氏变换的微分定理解微分方程类似。,机械自动化系,3.3 Z变换,3.3.1 Z变换的性质和常用定理,终值定理对计算采样离散系统的稳态误差很有用,机械自动化系,级数求和法： 根据z变换的定义来求函数的z变换，适用于简单函数。,3.3.2 Z变换方法,1). 级数求和法,计算Z变换表达式的最基本公式 特别适用于当离散序列不能用解析表达式给出,机械自动化系,3.3.2 Z变换方法,1). 级数求和法,解：现在研究的是单边Z变换， 即f(kT)在t0时有意义， 当t0时取f(kT)为零值。 根据定义式，有,已知序列f(kT)由图给出，求f(kT)的Z 变换。,机械自动化系,3.3.2 Z变换方法,1). 级数求和法,机械自动化系,3.3.2 Z变换方法,1). 级数求和法,机械自动化系,3.3.2 Z变换方法,2). 部分分式展开法查表法,部分分式展开法是最常用的一种方法。 先将复杂拉式变换表达式化成简单的、标准的拉式变换表达式之和，然后求出各部分分式的 Z 变换。由 Z 变换线性定理可知，复杂拉式变换表达式的 Z 变换等于各部分分式的 Z 变换之和。,设,则,机械自动化系,2). 部分分式展开法查表法,机械自动化系,2). 部分分式展开法查表法,已知 ，求Z变换表达式,解：按部分分式展开,则,机械自动化系,3.3.2 Z变换方法,2). 部分分式展开法查表法,机械自动化系,2). 部分分式展开法查表法,机械自动化系,由复变函数留数计算公式知,Pi是F(s)的极点， ri是极点Pi的重根数。,3.3.2 Z变换方法,3). 留数计算法,机械自动化系,3.3.2 Z变换方法,3). 留数计算法,设连续函数f (t)的拉普拉斯变换F(s)及全部极点已知,则可用留数计算法求Z变换,当F(S)具有一阶极点S=P1时,其留数为,当F(S)具有q阶重复极点时,其留数为,机械自动化系,第三章 信号采样与Z变换理论基础,3.4 Z反变换方法,机械自动化系,第三章 信号采样与Z变换理论基础,3.4 Z反变换方法,机械自动化系,第三章 信号采样与Z变换理论基础,3.4 Z反变换方法,机械自动化系,例4.2 函数的,变换为,，确定,的前5个值。,的分子和分母写成,的升幂排列,应用长除法，用分子多项式除以分母多项式，得,前5个值为,也可写成,解：将,即,3.4 Z反变换方法,机械自动化系,3). 留数计算法,若,具有重极点,n为总的极点数，n-m为单极点数，,表示第i个单极点，则,，其重极点数为m，,例4.6：已知,，求,解：,有两个极点,则,这个结果，与例4.3计算的结果完全相同。,例4.7：已知,，求,解：,有两个极点,则,4）MATLAB部分分式展开法,若函数,的Z变换,表达式为,可用MATLAB进行部分分式展开求解Z反变换。 命令格式为：,r,p,d=residue(num,den),例4.7 将,解：由已知条件可得,则由MATLAB程序L0407求解。 num=0 0 10; den=1 -3 2; r,p,d=residue(num,den) 结果为 r = p= d= 10 2 -10 1 即,部分分式展开。,例4.8 已知,求,解：由已知条件可得,则由MATLAB程序L0408求解。 num=2 -3; den=conv(1 -2,conv(1 -1,1 -1); r,p,d=residue(num,den) 结果为 r = p= d= 1.0000 2.0000 -1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 即,查表可得各分式的Z反变换为,从上面两例题的分析可以看出用MATLAB进行部分分式展开求解Z变换更简单、迅速，尤其对于有重根的情况。,用z变换求解差分方程 对于线性连续控制系统，系统的时域描述为线性常系数微分方程，可以用拉氏变换变成s的代数方程，因此可以大大简化求解过程。计算机控制系统属于离散系统，其时域描述为线性常系数差分方程，可用z变换变成z的代数方程，用代数方程来求解。,3.4 Z反变换方法,机械自动化系,3.4 Z反变换方法,机械自动化系,3.5 脉冲传递函数,脉冲传递函数(Z传递函数)在零初始条件下，线性定常系统输出的采样信号的Z变换Y(z)与输入的采样信号的Z变换X(z)之比：,离散系统的方框图,机械自动化系,3.5 脉冲传递函数,3.5.1脉冲传递函数的求取方法,从差分方程获取 从方框图获取 从S传递函数进行转换,机械自动化系,1.从差分方程获取,设 n 阶离散系统的差分方程为,在零初始条件下，对方程两边进行Z变换，可得到该系统的脉冲传递函数,或其等效的形式,机械自动化系,1.从差分方程获取,若已知离散系统的脉冲传递函数，同样也可得到相应的差分方程。,交叉相乘得,设,对函数Y(z)和X(z)进行Z反变换，可得到相应的n阶差分方程模型。,机械自动化系,2.从方框图获取,机械自动化系,3. 从S传递函数进行转换,机械自动化系,脉冲传递函数G(z)与传递函数G(s)的关系,3. 从S传递函数进行转换,机械自动化系,系统的脉冲传递函数求解步骤,第一步，对连续传递函数,进行拉氏反变换，求出脉冲响应函数,；,进行拉氏反变换，,第二步，求出,的采样函数,第三步，进行Z变换，求得该系统的脉冲传递函数,脉冲传递函数 还可由经部分分式法，直接查变换和拉普拉斯变换对应表求得,3. 从S传递函数进行转换,机械自动化系,例：已知采样系统的连续传递函数为,；,解：由已知条件可得,试求该系统的脉冲传递函数,3.5.2 开环脉冲传递函数,串联环节的脉冲传递函数,机械自动化系,自学：例4.11,2.并联环节的脉冲传递函数,机械自动化系,例4.11,例4.11 设在图4. 4中,求系统的开环脉冲函数. 解：对于图4. 4(a)中所示系统，,对于图4.6-4(b)中所示系统，,3.有零阶保持器的开环脉冲传递函数,由线性定理,由滞后定理,所以,带有零阶保持器的控制系统,机械自动化系,3.5.3闭环脉冲传递函数,在连续系统中，闭环传递函数与相应的开环传递函数之间存在确定的关系，故可用一个统一的方框图来描述其闭环系统。 但在采样系统中，由于采样开关在系统中的位置有多种可能，因而对采样系统而言，会有多种闭环结构形式。因此闭环