高中数学题库高一部分-B函数-二次函数.doc

已知函数f(x)=，其中（I）若b2a,且 f(sinx)(xR)的最大值为2，最小值为4，试求函数f(x)的最小值；（II）若对任意实数x，不等式恒成立,且存在成立，求c的值。答案：f(sinx)= f(sinx)max=f(1)=2, 又b2a0, (7分)(2) 不存在 当a=1时，c=1,此时存在x0,使来源：题型：解答题，难度：较难函数，则函数的最小值为（ ）ABCD答案：D来源：题型：选择题，难度：中档二次函数f(x)=（I）若方程f(x)=0无实数根，求证：b0；（II）若方程f(x)=0有两实数根，且两实根是相邻的两个整数，求证：f(a)=；（III）若方程f(x)=0有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数k，使得.答案：（I）（II）设两整根为x1,x2，x1x2 (5分)（III）设mx1x22），求ABC面积的最大值.答案：解：如图，f(x)是以2为周期的周期函数，当（平移），f(x)是偶函数，当x1，0时，当x1，2时，f(x)=f(x2)=(x2)+1=x+3（平移）. 设A、B的纵坐标为t（1t2），并设A在B的左边，则A、B的横坐标分别为3t，t+1，则|AB|=（t+1）（3t）=2t2，ABC的面积为 令 得当，即2a3时，S有最大值 当，即a3时，函数单调增，S有最大值S（2）=a2.这里可将S配方；S=也可直接用二次函数理论得出.来源：题型：解答题，难度：中档AMBDPQNC如图，四边形ABCD是一块边长为4的正方形地域，地域内有一条河流MD，其经过的路线是以AB中点M为顶点，且开口向右的抛物线（河流宽度不计）。某公司准备建一大型游乐园PQCN，问如何施工，才能使游乐园面积最大？并求出最大的面积。答案：以M为原点，AB所在直线为y轴建立直角坐标系，抛物线MD方程为。设P是曲线MD上任一点，则由导数法知，当时， 来源：1题型：解答题，难度：中档已知二次函数R）满足，对任意实数x，都有，且时，总有（1）求；（2）求a，b，c的值；（3）当，时，函数（mR）是单调函数，求m的取值范围答案：（1）对任意实数x，都有，所以，又在时，有，故，因此有（2）因为，则，因为，则（当且仅当时取等号）又因为对任意实数x，都有，所以恒成立，即恒成立故且，因此有，从而（3），的对称轴是，因为（mR）在，上是单调函数，所以或来源：题型：解答题，难度：中档汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，我们称这段距离为刹车距离.刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速40km/h以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了,事发后现场测得甲车的刹车距离没有超过17.5m，乙车刹车距离超过l0m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系:S甲=0.01x2+0.15x, S乙=0.005x2+0.05x.试问超速行驶应负主要责任的是甲车还是乙车?答案：S甲=0.01x2+0.15x,17.5 解得:-50x35, v甲10解得:x40, v乙40 km/h显然甲没超速，而乙超限速，故乙车应负主要责任。来源：08年高考函数应用专题题型：解答题，难度：容易某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆的月租金为3000元时可全部租出;当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的每辆每月需要维护费50元，当每辆车的月租金定为多少元时租赁公司的月收益最大?最大收益是多少元?答案：f(x)=()(x-150)-()50当x=4050时f(x)min=307050来源：08年高考函数应用专题题型：解答题，难度：中档某小型自来水厂的蓄水池中存有400t水，水厂每小时向蓄水池中注人自来水60t，若蓄水池向居民不间断地供水，且th内供水总量为 120t (0t24)(1)供水开始几小时后，蓄水池中的水量最小?最小水量为多少吨?(2)若蓄水池中的水量小于80t，就会出现供水紧张问题，试问在一天的24h内，有多少小时会出现供水紧张情况，并说明理由答案：(1)设th后蓄水池中的水量为yt,则y=400+60t-120 令=x,则0x12y=400+60x2-120x=10(x-6)2+40,当x=6 即 t=6 时y有最小值40即从开始供水6h后蓄水池中水量最小，最小值是40t(2) 400+60x2-120x80 得 4x100时，乙车停止，甲车继续前行DE越来越大，无最大值.由1、2知，甲、乙两车的最近距离为公里（6分）（2）t0=当且仅当V=即V=50公里/小时时，t0最大.（12分）答：v=50/小时时，t0最大.来源：题型：解答题，难度：中档某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为0.75，同时预计年销售量增加的比例为0.6已知年利润=（出厂价投入成本）年销售量（）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；（）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例应在什么范围内？答案：解：（）由题意得，4分整理得 6分（）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当即 9分解不等式得 答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例应满足 12分来源：01春季高考题型：解答题，难度：中档已知二次函数的二次项系数为负，对任意实数x都有，问当与满足什么条件时才有-2x0？答案：由已知，在（-，上单增，在（2，）上单调又，需讨论与的大小由知当，即时，故时，应有来源：题型：解答题，难度：中档经市场调查分析知，某地2006年从年初开始的前n个月，对某种商品需求总量f(n)(万件)近似地满足下列关系: f(n)= (1)写出2006年第n个月这种商品需求量g(x)(万件)与月份n的函数关系式，并求出哪几个月的需求量超过1.4万件;(2)若计划每月该商品的市场投放量都是p万件，并且要保证每月都满足市场需求，则p至少为多少万件?答案：(1)当n=1时，g(1)=f(1)=,当n2 时,g(n)=f(n)-f(n-1)=(n=1也成立)解不等式1.4得5n7 nN n=6,即第六个月的需求量超过1.4万件(2)由题材设可知，对于n=1,2,12恒有：npf(x)即p=当且仅当n=8时，pmin=1.14每月至少投放1.14万件来源：08年高考函数应用专题题型：解答题，难度：中档某地区上年度电价为元/kW，年用电量为kW本年度计划将电价降到元/kW至元/kW之间，而用户期望电价为元/kW经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）该地区电力的成本为元/kW（I）写出本年度电价下调后，电力部门的收益与实际电价的函数关系式；（II）设，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？（注：收益=实际用电量（实际电价-成本价）答案：解：（I）：设下调后的电价为元/，依题意知用电量增至，电力部门的收益为 5分（II）依题意有9分整理得 解此不等式得 答：当电价最低定为元/仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20% 来源：00春季高考题型：解答题，难度：较难某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示()写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f(t)；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；()认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天)答案：解：()由图一可得市场售价与时间的函数关系为f(t)= 2分由图二可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=(t150)2100，0t300 4分()设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)g(t)即h(t)= 6分当0t200时，配方整理得h(t)=(t50)2100，所以，当t=50时，h(t)取得区间0，200上的最大值100；当20087.5可知，h(t)在区间0,300上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大 12分来源：00全国高考题型：解答题，难度：较难已知一物体做 圆周运动，出发后 t分钟内走过的路程，最初用5分钟走完第一圈，接下去用3分钟走完第二圈.（1）试问该物体走完第三圈用了多长时间？（结果可用无理数表示）（2）（理科做文科不做）试问从第几圈开始，走完一圈的时间不超过1分钟？答案：（1）设圆周长为l，依题意有设出发t分钟后走完第三圈，则，上式代入，得所以走完第三圈需用时间为（2）设出发t分钟后走完第x圈，则解得依题意应有当时，不等式成立,所以，从第16圈开始，走一圈所用时间不超过1分钟.（2分）来源：题型：解答题，难度：中档设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为 (1，画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？答案：解：设画面高为x cm，宽为x cm，则 x2 = 4840设纸张面积为S，有S = (x16) ( x10)= x2(1610) x160， 3分将代入上式，得 6分当时，即时，S取得最小值 8分此时，高：，宽：答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小 12分来源：01全国高考题型：解答题，难度：中档设为实数，函数，（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值答案：解：（I）当时，函数此时，为偶函数当时，此时既不是奇函数，也不是偶函数（II）（i）当时，当，则函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为若，则函数在上的最小值为，且（ii）当时，函数若，则函数在上的最小值为，且若，则函数在上单调递增，从而函数在上的最小值为综上，当时，函数的最小值为当时，函数的最小值为当时，函数的最小值为来源：02全国高考题型：解答题，难度：中档渔场中鱼群的最大养殖量为mt，为保证鱼群的生成空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量，已知鱼群的年增长量yt和实际养殖量xt与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k0).(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域;(2)求鱼群年增长量的最大值;(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围.答案：(1)y=kx() (0xm)(2)y=当x=时，y取得最大值(3)依题材意，为保证鱼群留有一定的生长空间,则有实际养殖量与年增长的量的和小于最大养殖量，即0x+ym因为当x=时,ymax= 0+m,解得：-2k0,从而得:0k0, 则1-x20，所以01-x21，所以0y1. 所以01-y2=z1，所以0x1. 所以x, y, z(0, 1).考虑函数f(t)=1-t2, f(t)在(0, 1)上是减函数，由题设可知f(x)=y, f(y)=z, f(z)=x，若xy，不防设xf(y)，即yz，所以f(y)f(z)，即zf(x). 所以xy矛盾。同理若xy也可得矛盾。所以x=y, 所以f(x)=f(y)，所以y=z。代入原方程组得x2+x-1=0，所以x=. 又0x1，所以x=y=z=. 若y0，则因为1-x21. 又x=1-z21，所以x-1，所以1-z22. 又z=1-y21，所以z-1，所以x, y, z0.又f(t)=1-t2在(-, 0)上递增，同理可得x=y=z，代入原方程解得x=y=z=综上可得方程组的解为x=y=z=.来源：08年数学竞赛专题三题型：解答题，难度：较难某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？答案：解：（）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆车. （）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为，整理得所以，当x=4050时，最大，最大值为，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元. 来源：03北京市春题型：解答题，难度：中档试求分别是900，600时，弦AB所扫过的面积. 已知二次函数的图象经过点（）、（）与点（），（1）求的解析式；（2）设（），且在和（）处取到极值，求证；若，则过原点且与曲线相切的两条直线能否互相垂直，请证明你的结论.若，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线均相切，求的方程.答案： 解：（1）设（），由题意得，解得，所以.4分（2），求导数得，由题意知是二次方程的两个实根.因为，故两根和分布在区间（）和（）内，必有；7分设过原点且与曲线相切的直线的切点为（），则，切线的斜率为，切线方程为.因为切线经过原点，则有，即，整理为，解得或，代入得两条切线的斜率分别为，.由于，则，从而，在不等式两边同乘以正数得，即，所以两条切线不可能垂直. 10分由，由于，则，由得，两条切线垂直即，所以必有且，解可得，所以的方程为.13分来源：题型：解答题，难度：较难随着我国加入WTO,某企业决定从甲、乙两种畅销产品中选择一种进行投资生产,打入国际市场已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位:万美元)项目类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多生产的件数甲产品30a10200乙产品50818120其中年固定成本与生产的件数无关,a为常数,且4a8另外,年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税.(1)写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1,y2与生产相应产品的件数之间的函数关系式；(2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润；如何决定投资可获最大年利润?答案：解：(1) 依题： (2分) (4分)(2) (6分) 当 (8分)(3)令,得a=7.6 (9分)当4a7.6时,投资甲产品 (10分)当7.6a8时,投资乙产品 (11分) 当a=7.6 时,投资甲乙两产品均可 (12分) (由也可)来源：题型：解答题，难度：中档已知（）当时，若函数f (x)的图象与直线均无公共点，求证（）对于给定的负数，有一个最大的正数M（a），使得，问a为何值时，M(a)最大，并求出这个最大值M(a)，证明你的结论.答案：（）的图象与y=x无公共点.（）来源：题型：解答题，难度：较难设0a1,函数f(x)=log,g(x)=1+ log,设f(x)和g（x）的定义域的公共部分为D，当m,nD时，f(x)在m,n(mn)上的值域是g(n),g(m),求a的取值范围。答案：D=（3,1），又因为f(x)= log在（3,1）为减函数。有：f(m)=g(m)、f(n)=g(n),即m,n是方程=a(x+3)的两个根 ，且3mn1,所以有 解之得来源：题型：解答题，难度：较难某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）；销售收入R（x）（万元）满足：，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律。（1）要使工厂有赢利，产量x应控制在什么范围？（2）工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？（3）求赢利最多时每台产品的售价。答案：依题意，.设利润函数为f(x)，则（1）要使工厂有赢利，即解不等式，当时，解不等式。即.1x5时，解不等式，得。 。综上，要使工厂赢利，x应满足1x5时，所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多.（3）即求x=4时的每台产品的售价.此时售价为（万元/百台）=240元/台.来源：题型：解答题，难度：中档已知a0，f(x)=ax2+bx+c，对任意xR有f(x+2)=f(2-x)，若f(1-2x2)f(1+2x-x2)，求x 的取值范围。答案：因为对任意xR,f(x+2)=f(2-x)，所以x=2是函数f(x)图象的对称轴，又1-2x20，f(x)在（-，2单调递减，所以f(1-2x2)1+2x-x2,解得-2x0，求证：方程ax2+bx+c=0有一根x0满足0x00，则因为aa,所以0，即f(0)0,则f(x)=0在（0，）上有一根。)若c0，则f(1)=a+b+c=a+c-a-c=a-c0，所以f(x)=0在上有一根。来源：08年数学竞赛专题二题型：解答题，难度：较难已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(1x1)是奇函数.又知y=f(x)在0，1上是一次函数，在1，4上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值，最小值为5.(1)证明：f(1)+f(4)=0；(2)试求y=f(x)在1，4上的解析式；(3)试求y=f(x)在4，9上的解析式.答案：.(1)证明：略.4分(2)解：f(x)=2(x2)25(1x4);8分(3)解：f(x)=. 12分来源：题型：解答题，难度：较难若abcd，求证：对任意实数t-1, 关于x的方程(x-a)(x-c)+t(x-b)(x-d)=0都有两个不等的实根。答案：证明：原方程可化为f(x)=(1+t)x2-(a+c)+(b+d)tx+(ac+bdt)=0，于是f(b)=(b-a)(b-c)0，所以f(x)=0存在两个不等实根。来源：08年数学竞赛专题二题型：解答题，难度：中档定义在R上的函数f(x)满足：如果对任意x1，x2R，都有f()f(x1)+f(x2)，则称函数f(x)是R上的凹函数.已知函数f(x)ax2+x(aR且a0)，(1)求证：当a0时，函数f(x)是凹函数；(2)如果x0，1时，f(x)1，求实数a的范围.答案：.(1)证明：对任意x1、x2R，a0，f(x1)+f(x2)2f()=ax12+x1+ax22+x22a()2+=a(x1x2)20.f()f(x1)+f(x2)，f(x)是凹函数.6分(2)解：由f(x)11f(x)11ax2x1.( * )当x0时，aR;7分当x(0，1)时，由( * )得恒成立.10分当x(0，1时，1.当=1时，(+)2+取最大值2;同时()2取最小值0，2a0.a0，2a0.14分来源：题型：解答题，难度：较难已知y=f(x)是定义域为-6，6的奇函数，且当x0，3时是一次函数，当x3，6时是二次函数，又f(6)=2，当x3，6时，f(x)f(5)=3。求f(x)的解析式。答案：因为f(x)为奇函数，所以f(0)=-f(0), f(0)=0，当x0, 3时，设f(x)=kx+b, 则b=0。当x3, 6时，由题设可设f(x)=-a(x-5)2+3。因为f(6)=2，所以-a+3=2，所以a=1. 所以x3, 6时f(x)=-(x-5)2+3=-x2+10x-22，所以f(3)=-1，所以3k=-1，所以。又x-3, 0时，f(x)=-f(x)=x，当x-6, -3时，f(x)=-f(-x)=x2+10x+22.所以f(x)=来源：08年数学竞赛专题三题型：解答题，难度：中档某人解二次方程时作如下练习：他每解完一个方程，如果方程有两个实根，他就给出下一个二次方程：它的常数项等于前一个方程较大的根，x的系数等于较小的根，二次项系数都是1。证明：这种练习不可能无限次继续下去，并求最多能延续的次数。答案：证明：首先，方程f1(x)=x2-26x-可以延续4次，得到第5个方程为f5(x)=x2-x+4. 其次，设由最初某方程f1(x)=x2+p1x+q1可延续n-1次到fn(x)=x2+pnx+qn，再证n5. 考虑f3(x)，若p30, q30，则由（1）和（2）可知（因为5=-4q5）.)若|p5|4，则50；）若|p5|4，则4p5q5.由（2）可知-(p5+q5)1，与p5+10q5+1矛盾。综合）、）可得n5.若p30q3，则由可知p2q20，从而0p1q1。用前面证明可得n3;若p3q30，则由可知0p2q2，同上面推理可得n4；若p3=0，则f3(x)=x2+q3=0无实根，所以n3;若p30=q3，则f4(x)=x2-p3无实根，所以n4.综上所述，n5，即至多可延续4次。来源：08年数学竞赛专题二题型：解答题，难度：较难对于函数（a0），如果方程有相异两根，（1）若，且的图象关于直线xm对称求证：；（2）若且，求b的取值范围；（3）、为区间，上的两个不同的点，求证：答案：（1），且a0因为，所以，即，于是（2）由方程，可知，所以、同号由，则，所以，所以，即4a2b-10，又，所以，（因为a0）代入式得：，解之得（3）由条件得，不妨设，则，故来源：题型：解答题，难度：较难求函数f(x)=的最大值。答案： f(x)=，记点P(x, x2)，A（3，2），B（0，1），则f(x)表示动点P到点A和B距离的差。因为|PA|-|PA|AB|=,当且仅当P为AB延长线与抛物线y=x2的交点时等号成立。所以f(x)max=来源：08年数学竞赛专题三题型：解答题，难度：中档设函数f(x)=ax2+8x+3(a时，f(x)5即a-8时，令f(x)=5得ax2+8x-2=0. x1=,又x1x2,而当0xx1时，3f(x)5，当x1x5，所以此时l(a).若fmax=3-5,即a1，则0，f(x1,x2,xn)是关于x1的开口向上的二次函数。f(x1,x2,xn)maxf(a,x2,xn),f(a+1,x2,xn)。同理，由对称可知f(x1,x2,xn)f(x1,x2,xn)，记b=a+1，设x1,x2,xn中有s个xi=a,n-s个xi=b，则f(x1,x2,xn)=sa2+(n-s)b2-=nsa2+(n-s)b2-s2a2-(n-s)2b2-2s(n-s)ab=s(n-s)a2-(n-s)sb2-2s(n-s)ab=s(n-s)(a-b)2=s(n-s) .当且仅当x1,x2,xn中有个取a（或a+1）其余取a+1（或a）时，fmax=.来源：08年数学竞赛专题二题型：解答题，难度：较难F(x)=ax2+bx+c，a,b,cR, 且|F(0)|1,|F(1)|1,|F(-1)|1,则对于|x|1，求|F(x)|的最大值。答案：|F(x)|=|(a+b)x2+b(-x2)+c|=当0x1时，|F(x)|x2+x+1,当-1x0时，|F(x)-x2+x+1,综上所述，|F(x)|.当F(x)=-x2+x+1且x=时|F(x)|max=来源：08年数学竞赛专题二题型：解答题，难度：较难已知f(x)=x2+ax+b，若存在实数m，使得|f(m)|,|f(m+1)|,求=a2-4b的最大值和最小值。答案：若1)，使得存在tR，只要x1, m就有f(x+t)x.答案：因为f(x-4)=f(2-x),令t=x-3，则f(-1+t)=f(-1-t)，所以-1为f(x)图象的对称轴，由（3）可知a0，并可设f(x)=a(x+1)2(a0),由（1）得f(1)1，由（2）得f(1)1,所以f(1)=1,所以a=,所以f(x)=(x+1)2.又f(x+t)x(x+t+1)2xx2+2(t-1)x+(t+1)20 当t=-4时，方程x2+2(t-1)x+(t+1)2=0 的两根为1和9。所以的解集为1x9，所以m=9.因为在1,m内恒成立，当x=1时有t2+4t0，所以-4t0.当-4t0时，方程的较大的根为x1=1-t+29.而的解集为x2xx1，所以此时m9.综上所述，m的最大值为9，此时t=-4，对任意x1, 9.因为(x-1)(x-9)0，所以(x-4+1)2x.即f(x-4)x，所以m的最大值为9.来源：08年数学竞赛专题二题型：解答题，难度：较难求证：方程3ax2+2bx-(a+b)=0(b0)在(0,1)内至少有一个实根。答案：证明：当a=0时，方程变为2bx=b，则无论b(b0)为何值，总有根x=(0,1).当a0时，记f(x)=3ax2+2bx-(a+b)，下面找出x1x2，使得f(x1)f(x2)0。而f(x1)=3a+2bx1-(a+b), f(x2)=3a+2bx2-(a+b),令f(x1)=-f(x2)，则3a+2bx1-(a+b)= -3a-2bx2+(a+b),即a+(2x1+2x2-2)b=0.上式对a,b的不同取值均成立，则。解得x1=, x1=故找到x1x2，使得f(x1)f(x2)=f(x1)-f(x1)=-f2(x1)0成立。同时，由01可知，若f(x1)f(x2)=0，则此时x1,x2均为原方程的根，命题成立。若f(x1)f(x2)0)，方程f(x)=x的两根x1, x2满足0x1x2,（）当x(0, x1)时，求证：xf(x)x1；（）设函数f(x)的图象关于x=x0对称，求证：x0答案： 因为x1, x2是方程f(x)-x=0的两根，所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)，即f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.（）当x(0, x1)时，x-x10, x-x20，所以f(x)x.其次f(x)-x1=(x-x1)a(x-x2)+1=a(x-x1)x-x2+0，所以f(x)x1.综上，xf(x)x1.（）f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+1-a(x1+x2)x+ax1x2,所以x0=,所以，所以来源：08年数学竞赛专题二题型：解答题，难度：较难设变量x满足x2+bx-x(b-1)，并且x2+bx的最小值是，求b的值。答案：由x2+bx-x(b-(b+1)，即b-2时，x2+bx在0，-(b+1)上是减函数，所以x2+bx的最小值为b+1,b+1=-,b=-.综上，b=-.来源：08年数学竞赛专题二题型：解答题，难度：中档已知方程x2+px+q=0有两个相异的实根.求证:若k0，则方程x2+px+q+k（2x+p）=0也有两个相异的实根，并且仅有一个根在前一个方程的两根之间.答案：证明：（1）方程x2+px+q=0有相异的两个实根，1=p24q0.又k0，方程x2+px+q+k（2x+p）=0的判别式2=（p+2k）24（q+kp）=p2+4kp+4k24q4kp=p24q+4k20.方程x2+px+q+k（2x+p）=0有两个相异实根.6分（2）设f1（x）=x2+px+q，f2（x）=x2+px+q+k（2x+p），且x1、x2是f1（x）=0的两根.则f2（x1）f2（x2）=x12+（p+2k）x1+（q+kp）x22+（p+2k）x2+（q+kp）=（2kx1+kp）（2kx2+kp）=k2（4qp2）0.方程f2（x）=0在x1与x2之间只有一个实根.14分来源：题型：解答题，难度：中档已知二次函数满足条件：=，且方程=有等根。(1)求的解析式；(2)是否存在实数m、n(mn)，使的定义域和值域分别是m，n和3m，3n?如果存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由。答案：(1)由条件易得