2019届高考数学复习专题四数列第2讲数列求和及简单应用教案文.docx

第2讲数列求和及简单应用1.(2018全国卷,文17)等比数列an中,a1=1,a5=4a3.(1)求an的通项公式;(2)记Sn为an的前n项和,若Sm=63,求m.解:(1)设an的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,则Sn=.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.2.(2016全国卷,文17)已知an是公差为3的等差数列,数列bn满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求an的通项公式;(2)求bn的前n项和.解:(1)由已知a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得a1=2.所以数列an是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=,因此bn是首项为1,公比为的等比数列.记bn的前n项和为Sn,则Sn=-.3.(2016全国卷,文17)等差数列an中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求an的通项公式;(2)设bn=an,求数列bn的前10项和,其中x表示不超过x的最大整数,如0.9=0,2.6=2.解:(1)设数列an的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.解得a1=1,d=.所以an的通项公式为an=.(2)由(1)知,bn=.当n=1,2,3时,12,bn=1;当n=4,5时,23,bn=2;当n=6,7,8时,34,bn=3;当n=9,10时,4恒成立,求整数m的最大值.(2)(2018安徽江南十校二模)数列an满足a1+2a2+3a3+nan=2-.求数列an的通项公式;设bn=,求bn的前n项和Tn.(1)证明:由b1=1及b4=10,得d=3,所以bn=3n-2.因为bn+2=3loan=3n-2+2=3n,所以loan=n,即an=n(nN*).则=,所以数列an是首项a1=,公比q=的等比数列.解:由,得cn=-,所以Sn=1-+-+-=1-=.解:因为dn=(3n+1)Sn=(3n+1)=n,则问题转化为对任意正整数n使不等式+恒成立.设f(n)=+,则f(n+1)-f(n)=+-+=+-=-0.所以f(n+1)f(n),故f(n)的最小值是f(1)=.由,得m0,所以q=3,所以an=a1qn-1=3n-1.因为bn=log33n-1+n=2n-1,所以=-,所以Tn=1-=.(2)设等比数列-n的公比为q,则q=2,从而-n=(3-1)2n-1,故an=(n+2n)2;因为an=(n+2n)2,所以an-n2=n2n+1+4n,记Tn=22+223+(n-1)2n+n2n+1,2Tn=23+224+(n-1)2n+1+n2n+2,所以-Tn=22+23+2n+1-n2n+2=2n+2-4-n2n+2=(1-n)2n+2-4,所以Tn=(n-1)2n+2+4.故Sn=Tn+=(n-1)2n+2+.数列的综合问题【例5】 (1)(2018安徽涡阳一中高三最后一卷)古代数学著作张丘建算经上曾出现“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺,前30天共织布390尺,记女子每天织布的数量构成数列an.在30天内,该女子在偶数天所织布的数量比在奇数天所织布的数量多多少?设数列的前n项和为Tn,证明:Tn.(2)(2018江西重点中学协作体二联)已知等差数列an的公差d0,a1=0,其前n项和为Sn,且a2+2,S3,S4成等比数列.求数列an的通项公式;若bn=,数列bn的前n项和为Tn,求证:Tn-2n.(1)解:根据题意,an应为等差数列,设数列an的公差为d,前n项和为Sn,由题意知305+d=390,即d=,S偶数项-S奇数项=15d=15=(尺),故该女子在偶数天所织布的数量比在奇数天所织布的数量多尺.证明:由可知,an=5+(n-1),故=-=-,所以+=-+-+-=-.(2)解:由a1=0得an=(n-1)d,Sn=,因为a2+2,S3,S4成等比数列,所以=(a2+2)S4,即(3d)2=(d+2)6d,整理得3d2-12d=0,即d2-4d=0,因为d0,所以d=4,所以an=(n-1)d=4(n-1)=4n-4.证明:由可得Sn+1=2n(n+1),所以bn=2+=2+-,所以Tn=2n+1-+-+-=2n+1+-,所以Tn-2n.在数列综合问题中,与数列求和有关的不等式是一个重要方法,解决的方法是“放缩法”.(1)如果和式能够求出,则求出结果后进行放缩,例5中的两个题目均是这种类型;(2)如果和式不能求出,则需要把数列的通项放缩成能够求和的形式,求和后再进行放缩,但要注意放缩的“尺度”和“位置”,如证明:对任意正整数,+时,放缩的尺度为Tn恒成立?若存在,求m的最小值;若不存在,请说明理由.(2)(2018安徽江南十校二模)已知等差数列an前n项和为Sn,且满足an+Sn=n2+3n(nN*).求数列an的通项公式;设cn=+,数列cn的前n项和为Tn,求证:Tn.(1)解:当n=1时,a1=S1,由S1=1-a1,得a1=.当n2时,Sn=1-an,Sn-1=1-an-1,所以an=Sn-Sn-1=1-an-1-an-1=an-1-an,所以an=an-1,所以an是以为首项,为公比的等比数列,所以Sn=1-n.存在.由可知,bn=-log3(1-Sn+1)=-log31-1-n+1=-log3n+1=n+1,所以=-,所以Tn=+=-+-+-+-=-,所以nN*恒有SnTn,故存在正整数,当nm时SnTn恒成立,其m的最小值为1.(2)解:an+Sn=n2+3n,当n=1时,a1+S1=4a1=2,当n=2时,a2+a1+a2=10a2=4,又因为an是等差数列,所以d=a2-a1=2,所以an=2+(n-1)2=2n.证明:由得Sn=n2+n,cn=+=+=-+-.所以Tn=1-+-+-+1-+-+-=1-+1-=-+.当nN*且n逐渐增大时,Tn增大,T1=,所以Tn1时,an=2an-2an-1=2,当n=1时,S1=2a1-2a1=2,综上,an是首项为2,公比为2的等比数列,an=2n.(2)证明:因为a2=4b1,所以b1=1,因为nbn+1-(n+1)bn=n2+n,所以-=1,综上,是首项为1,公差为1的等差数列,=1+n-1bn=n2.(3)解:令pn=c2n-1+c2n=-+=(4n-1)22n-2=(4n-1)4n-1,T2n=340+741+1142+(4n-1)4n-1,4T2n=341+742+1143+(4n-5)4n-1+(4n-1)4n,-,得-3T2n=340+441+442+44n-1-(4n-1)4n,-3T2n=3+-(4n-1)4n,T2n=+4n.【例3】 (2018华中师大一附中5月押题)已知nN*,设Sn是单调递减的等比数列an的前n项和,a2=且S4+a4,S6+a6,S5+a5成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn=-log2an+n(-1),数列的前n项和Tn满足T2 018=2 018,求的值.解:(1)设数列an的公比为q,由2(S6+a6)=S4+a4+S5+a5,得(S6-S5)+(S6-S4)+2a6=a4+a5,即4a6=a4,所以q2=,因为an是单调递减数列,所以q=,又因为a2=,所以a1=1,所以an=n-1.(2)由(1)得bn=-log2n-1+n=(+1)n-1,所以=-,所以T2 018=-=2 018,所以=-1或=,因为-1,所以=.【例4】 (2018江西省南昌市三模)已知数列an满足+=n2+n.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=,求数列bn的前n项和Sn.解:(1) +=n2+n,所以当n2时,+=(n-1)2+n-1,-,得=2n(n2),所以an=n2n+1(n2).又因为当n=1