函数的基本性质小结.doc

第2章 函数的基本性质2. 20 本章考点小结【教学目标】内容教学目标要求记忆性水平解释性理解水平探究性理解水平函数及其基本性质函数的有关概念理解函数是变量之间相互依赖关系的一种反映。加深理解函数的概念，熟悉函数表达的解析法、列表法和图像法。懂得函数的抽象记号以及函数定义域和值域的集合表示。掌握求函数定义域的基本方法。在简单情形下能通过观察和分析确定函数的值域函数的运算理解两个函数的和函数、积函数的概念。函数关系的建立通过解决具有实际背景的简单问题。领会分析变量和建立函数关系的思考方法。初步会用函数观点观察和分析一些自然现象和社会现象。体验函数模型建立的一般过程，加深对事物运动变化和相互联系的认识。函数的基本性质通过对函数零点的研究。体会“二分法”和逼近思想。熟悉计算器的应用。能利用函数的奇偶性描绘函数的图像。从直观到解析、从具体到抽象研究函数的性质，并能从解析的角度理解有关性质。在直观认识函数基本性质的基础上，从具体函数到抽象性、单调性、零点、最大表示的函数对其奇偶值和最小值等基本性质进行解析研究。掌握函数的基本性质以及反映这些基本性质的图像特征。能根据不同问题灵活地用掌握函数的基本性质以及反映这些基本性质的图像特征。能根据不同问题灵活地用解析法、列表法和图像法来表示变量之间的关系和研究函数的性质：会利用函数的性质宋解决简单的实际问题。领悟数形结合的思想。【教学重点】函数的基本性质及应用【教学难点】函数关系的建立、用函数的性质解决简单的实际问题与领悟数学思想方法。【教学过程】：一知识整理1基本思想 （1）函数主要研究两个变量的相互联系，故涉及到两个变量的相互作用、相互影响的问题， 大多可用函数的观点来解决。（2） 研究函数的主要途径是函数的图象和基本性质（以图象说明性质）。2.主要问题：（1） 函数图象的基本作法：a.分段 b.平移 c.对称 d.伸缩（2） 函数单调性的求法：a.图象 b.单调运算 c.复合函数 d.定义（3） 函数最值（或范围）的求法：a.图象 b.单调性 c.不等式 d.复合函数 e.换元 f.数形结合（4） 反函数求法：解出x =(y)，调换x,y, 写出反函数定义域3.函数的基本性质函数定义：在某个变化过程中有两个变量x,y，如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与之对应，那么y就是x函数，记作y = f (x)，xD，x叫做自变量，x的取值范围D叫做函数的定义域，和x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。函数的相等：定义域相同，对应法则相同函数图象：以自变量x的值为横坐标，与x的值对应的y的值为纵坐标所构成的点集，即(x,y)|y = f (x), xDa. 定义域：自变量x的取值范围；亦为函数图象上点的横坐标的集合b.值域：因变量y的取值范围；亦为函数图象上点的纵坐标的集合c.奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a)= f(a)，则称函数f(x)为偶函数； 如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a)=-f(a)，则称函数f(x)为奇函数；判断准则：1.定义域关于原点对称，2. 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称d.单调性：存在定义域的子集M，对于M内的任意两个值 ，则称函数f(x)在集合M上单调递增 （或递减）。e.最值：定义域内的函数值的最大（小）值。亦即函数图象上最高（低）点的纵坐标。f.周期性：对于函数y =f(x),若存在一个常数T0，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)成立，则称f(x)为周期函数，常数T叫做f(x)的周期。4.基本函数：常数函数；正比例函数；反比例函；数一次函数；二次函数；5.函数构成在基本函数的基础上：(a) 运算：以和、差、商、积函数为代表，如：(b) 复合：y = f(g(x)3二例题精析【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的单调性，填空题，易，逻辑思维能力。【题目】函数的单调增区间是 。【解答】答案为。由，得，所以函数的单调增区间是。要熟知各类函数的定义、性质，尤其是一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数和幂函数。【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的单调性，填空题，中，分析问题与解决问题能力。【题目】已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_.【解答】单调递减且值域为(0,1，单调递增且值域为，有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）。【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的性质，解答题，难，分析问题与解决问题能力。【题目】设为实数，函数. (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.【解答】（1）若，则（2）当时， 当时， 综上（3）时，得，当时，；当时，0,得：讨论得：当时，解集为;当时，解集为;当时，解集为.【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，解答题，难，分析问题与解决问题能力。【题目】有时可用函数 描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。（1） 证明：当时，掌握程度的增加量总是下降；（2） 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为,。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。【解答】（1）当而当，函数单调递增，且0.3分故单调递减 当，掌握程度的增长量总是下降.6分（2）由题意可知0.1+15ln=0.85.9分整理得解得.13分由此可知，该学科是乙学科.14分 【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的性质，解答题，难，数学探究与创新能力。【题目】已知函数的反函数。定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“积性质”。（1） 判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由； （2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；（3） 设函数对任何，满足“积性质”。求的表达式。【解答】（1）函数的反函数是 而其反函数为 故函数不满足“1和性质”（2）设函数满足“2和性质”，.6分而得反函数.8分由“2和性质”定义可知=对恒成立即所求一次函数为.10分 （3）设，且点在图像上，则在函数图象上，故，可得， 12分， 令，则。，即。14分综上所述，此时，其反函数就是，而，故与互为反函数 。 16分三课堂反馈【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的图像、对称性、周期性，选择题，易，分析问题与解决问题能力。【题目】函数的图像大致为( ).1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O 【解答】:函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A. 【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的图像、对称性、周期性，选择题，中，分析问题与解决问题能力。【题目】.定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的值为( )A.-1 B. 0 C.1 D. 2【解答】:由已知得,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C.【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的图像、对称性、周期性，选择题，中，分析问题能力。【题目】定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（3）的值为( )A.-1 B. -2 C.1 D. 2【答案】:由已知得,故选B.【解答】:B. 【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的图像、对称性、周期性，填空题，中，分析问题与解决问题能力。【题目】若曲线与直线没有公共点，则分别应满足的条件是 .【解答】四课堂小结（课堂小结主要为方法总结及解题注意事项）.函数是用以描述客观世界中量的依存关系的数学概念，函数思想的实质就是用联系、变化的观点提出数学对象，建立函数关系，求得问题解决.近几年高考中，考查函数的思想方法已更加突出，特别是应用题的考查，考查力度逐年加大，都需用到函数的知识与方法才能解决，从如何建立函数关系式入手，考查函数的基本性质，以及数形结合、分类讨论、最优化等数学思想，重视对实践能力的考查是高考的新动向.因此要强化函数思想的应用意识的训练，才能适应高考新的变化.五课后作业【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的概念，选择题，易，分析问题与解决问题能力。【题目】设函数,则实数=（A）-4或-2 （B）-4或2 （C）-2或4 （D）-2或2【解答】 当时，； 当，. 选B【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的奇偶性单调性，选择题，易，逻辑思维能力。【题目】下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）A B C D【解答】对A，显然是偶函数，当0时，函数为，内函数在（0，+）上是减函数且值域为（0，+），外函数在（0，+）是增函数，根据复合函数的单调性知，原函数在（0，+）是减函数，故选A.对B，是奇函数，不符合条件；对C，是偶函数，当0时，是增函数，不符合条件；对D，是偶函数，在（0，+ ）上有增有减，不符合条件.【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的图像，选择题，中，数学探究与创新能力。【题目】对实数与，定义新运算“”： 设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是A B C D【解答】B-1-2oxy 则的图象如图的图象与轴恰有两个公共点，与的图象恰有两个公共点，由图象知，或.【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的奇偶性，填空题，中，分析问题与解决问题能力。【题目】若函数为偶函数，则实数 。【解答】0 ，为偶函数，即.【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的单调性，解答题，中，分析问题与解决问题能力。【题目】已知函数，其中常数满足。（）若，判断函数的单调性；（）若，求时的取值范围。【解答】() 当时，任意，则= ， ，函数在上是增函数。当时，同理，函数在上是减函数。() 当时，则；当时，则。【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的基本性质，解答题，中，分析问题与解决问题能力。【题目】已知，是否存在实数，使定义域时，请你构造一个偶函数，使定义域，值域为【解答】（1），是增函数，得，同理， ，得，所以 （2）可由图象特征得等，【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的概念，辨析题，中，分析问题与解决问题能力。 【题目】已知两个函数的定义域均为若对于任意，总有，我们称可被“替代”试判断是否可被，替代？分析 这是一个涉及函数知识的创新问题，理解“替代”是关键，为此，我们只要在4，16上确定是否恒成立即是否恒成立为此，我们设，确定其在4,16上的单调性和值域，便可判断是否恒成立解 设，任意取， ，当时，这时为减函数；当时，这时为增函数；时，；时，又，故由，知在时恒成立，因此，可被“替代”【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的单调性，解答题，难，逻辑思维能力。【题目】 若为奇函数，对任意实数a和b，都有， 且当时，（1） 证明：在上是减函数；（2） 求在上的最大值和最小值【解答】（1）由是奇函数，设，则 ，又 ，为减函数（2）由为减函数， ， 点拨善于灵活应用单调性求最值，可谓是好的方法【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的概念，解答题，难，分析问题与逻辑思维能力。【题目】函数的定义域为D，若存在，使成立，则称以为坐标的点是函数的图象上的不动点 （1）若函数的图象上有且仅有两个相异的“不动点”，试求实数a的取值范围。（2）已知定义在R上的奇函数存在有限个“不动点”，证明：函数必定有奇数个“不动点” （3）若函数有两个关于原点对称的不动点，求实数a,b应满足的条件【解答】（1）设，是函数的图象上的两个“不动点”，则有，