江苏省扬州市高三—度第一学期期末检测数学试题含答案.doc

2017届江苏省扬州市高三第一学期期末检测数学试题（I卷）1已知集合，则 2设(为虚数单位，)，则 （第4题图）3某学校共有师生3200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 4如图是一个求函数值的算法流程图，若输入的的值为5，则输出的的值为 5已知直线与圆交于两点，则弦的长度为 6已知且，则直线的斜率小于0的概率为 7若实数满足，则的最大值为 8若正四棱锥的底面边长为（单位：），侧面积为（单位：），则它的体积为 （单位：）. 9已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为 10已知，则 11已知是函数两个相邻的极值点，且在处的导数，则 12在正项等比数列中，若，则的最小值为 13是边长为的等边三角形，点是以为圆心的单位圆上一动点，点满足，则的最小值是 14已知一个长方体的表面积为48（单位：），12条棱长度之和为36（单位：），则这个长方体的体积的取值范围是 （单位：） 15（14分）在中，（1）求的长； （2）求的值16（14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，点E、F分别是棱PC和PD的中点.（1）求证：EF平面PAB； （2）若AP=AD，且平面PAD平面ABCD，证明：AF平面PCD.17（14分）如图，矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCDE区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在ADE区域内参观在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，为监控角，其中M、N在线段DE（含端点）上，且点M在点N的右下方.经测量得知：AD=6米，AE=6米，AP=2米，.记（弧度），监控摄像头的可视区域PMN的面积为S平方米（1）求S关于的函数关系式，并写出的取值范围；（参考数据：）（2）求的最小值. 18（16分）如图，椭圆，圆，过椭圆的上顶点的直线:分别交圆、椭圆于不同的两点、，设（1）若点点求椭圆的方程； （2）若，求椭圆的离心率的取值范围19（16分）已知数列与的前项和分别为和，且对任意，恒成立（1）若，求；（2）若对任意，都有及成立，求正实数的取值范围；（3）若，是否存在两个互不相等的整数，使成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由20（16分）已知函数，其中函数，（1）求函数在处的切线方程；（2）当时，求函数在上的最大值；（3）当时，对于给定的正整数，问函数是否有零点？请说明理由（参考数据）2017届江苏省扬州市高三第一学期期末检测数学试题（II卷）21（10分）已知，若点在矩阵对应的变换作用下得到点，求矩阵的特征值.22（10分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，试求直线与曲线C的交点的直角坐标.23（10分）为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设数学史、生活中的数学、数学与哲学、数学建模四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的.（1）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；（2）设为甲、乙、丙三人中选修数学史的人数，求的分布列和数学期望.24（10分）已知，其中 是关于的函数.（1）若，求，的值；（2）若，求证：.2017届江苏省扬州市高三第一学期期末检测数学试题答案12 3 4 567 8 9101112 13 1415.因为，且，. -6分方法一：在中， -9分又，所以，所以，-11分所以. -14分方法二：由，可得，又，所以. -8分在中，所以，-10分又，所以，所以，所以. -14分16. （1）证明：因为点E、F分别是棱PC和PD的中点，所以EFCD，又在矩形ABCD中，ABCD，所以EFAB， -3分又AB面PAB，EF面PAB，所以EF平面PAB. -6分证明：在矩形ABCD中，ADCD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，CD面ABCD，所以CD平面PAD， -10分又AF面PAD，所以CDAF.因为PA=AD且F是PD的中点，所以AFPD，由及PD面PCD，CD面PCD，PDCD=D，所以AF平面PCD. -14分17.方法一：在PME中，PE=AE-AP=4米，由正弦定理得，所以， -2分同理在PNE中，由正弦定理得，所以， - -4分所以PMN的面积S， -8分当M与E重合时，；当N与D重合时，,即，所以.综上可得：,. -10分方法二：在PME中，PE=AE-AP=4米，由正弦定理可知：，所以， -2分在PNE中，由正弦定理可知：，所以，-4分所以,又点P到DE的距离为， -6分所以PMN的面积S=， -8分当M与E重合时，；当N与D重合时，,即，所以.综上可得：,. -10分当即时，取得最小值为.-13分所以可视区域PMN面积的最小值为平方米. -14分18.（1）由在圆上得 又点在椭圆上得 解得椭圆的方程是 -5分（2）由得或 -7分由得或 -9分 ，即 ，即，又, -16分19. （1）因为，所以即 -2分故，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以 -4分（2）依题意，即，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 所以 -5分因为 -8分所以，所以恒成立，即，所以。 -10分（3）由得：，所以当时，当时，上式也成立，所以，又，所以， -12分假设存在两个互不相等的整数，使成等差数列，等价于成等差数列，即 -13分即 ，因为，所以，即 -14分令，则，所以递增，若，则，不满足，所以，代入得，当时，显然不符合要求；当时，令，则同理可证递增，所以，所以不符合要求. 所以，不存在正整数，使成等差数列. -16分20. 解：(1) ，故， 所以切线方程为，即 -3分（2）， 故，令，得或. 当,即时，在上递减，在上递增，所以, 由于，故，所以; -5分当,即时，在上递增，上递减，在上递增，所以，由于，故，-7分所以;综上得， -8分（3）结论：当时，函数无零点；当时，函数有零点 -9分理由如下：当时，实际上可以证明：方法一：直接证明的最小值大于0，可以借助虚零点处理，显然可证在上递增，因为，所以存在，使得，所以当时，递减；当时，递增，所以，其中，而递减，所以，所以，所以命题得证。 -14分 方法二：转化为证明，下面分别研究左右两个函数令，则可求得，令，则可求得，所以命题得证。-14分方法三：先放缩，再证明可先证明不等式（参考第1小题，过程略），所以只要证，令，则可求得，所以命题得证 -14分当时， 此时，下面证明，可借助结论处理，首先证明结论：令，则，故，所以在上递增，所以，所以在上递增，所以，得证。借助结论得，所以，又因为函数连续，所以在上有零点 - -16分. 21.解：由题意得,即,解得,所以, -5分所以矩阵的特征多项式为， 令，解得或，即矩阵的特征值为5和3. -10分22.解：将直线的极坐标方程化直角坐标系方程为 -2分将曲线C的参数方程化为普通方程可得： -5分由得，解得或，又，所以，所以直线与曲线C的交点的直角坐标为（1,1）. -10分注：结果多一解的扣2分23.解：甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门，共有种不同的选法，记“甲、乙、丙三人选择的课程互不相同”为事件，事件共包含个基本事件，则，所以甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率为. -3分方法一：可能的取值为， -4分，. -8分所以的分布列为：X0123所以的数学期望. -1