高中数学练习题7.doc

教 案任课教师：杨保华课程名称：高等数学授课班级：07机械-2授课章节名称：第3章 中值定理与导数的应用第1节 中值定理 第2节 洛必达法则学时：2教学目的：1、正确理解拉格朗日中值定理的内容及其几何意义2、理解洛必达法则，掌握用洛必达法则求型和型以及型未定式的极限的方法，了解型极限的求法。教学重点：洛必达法则教学难点：理解洛必达法则失效的情况, 型的极限的求法。教学方法：讲解；启发；举例教学手段：传统式教案实施效果追记：学生缺乏洛必达法则求极限和第一章中的各种方法的综合运用教学效果： 良好第3.章 中值定理与导数的应用第1节 中值定理讲授新内容一、中值定理拉格朗日中值定理 若函数()满足：(1) 在闭区间,b上连续；(2) 在开区间(,b)内可导；则在(,b)内至少存在一点 (b),使得= 或 拉格朗日中值定理在几何上是显然的，事实上，如果函数在上连续，除端点外处处有不垂直于轴的切线，那么由图1容易看出，在AB上至少存在一点C(,()，使曲线在点C处的切线平行于弦AB。图1 拉格朗日中值定理给出了函数在区间上的改变量与函数在区间上某一点处导数之间的关系，从而为利用导数研究函数在区间上的性态提供了理论依据，是导数应用的理论基础，它在微分学理论中占有重要地位。罗尔中值定理 若函数满足：(1)在闭区间，b上连续； (2)在开区间(，b)内可导；(3)()=(b)，则在(，b)内至少存在一个点 (0时，在区间0,上考察函数。显然它在0,上满足拉格朗日中值定理的条件。因此有-0=又得。所以当0时，。第2节 洛必达法则在求函数的极限时,常会遇到两个函数都是无穷小或都是无穷大,这种极限可能存在也可能不存在,通常称这种比值的极限为不定式。当都是无穷小时,称它为型不定式；当都是无穷大时，称它为型不定式，例如重要极限就是型未定式；而是型未定式，这类极限不能用“商的极限等于极限的商”的运算法则来求.洛必达法则就是求这种未定式的一个重要且有效的方法。1、型和型不定式定理： 设函数满足:(1)；(2)在点的某去心邻域内,与存在且；(3)存在或为无穷大，则极限存在或为无穷大，且用以上定理求型未定式的值的方法称为洛必达(LHospiatl)法则。对于时为型未定式，以及或时为型未定式有类似的定理。定理 设函数满足：(1)(2)在点的某去心邻域内(当时),存在,且(3)存在或为无穷大,则。例3 求为常量,解 这是型未定式，用洛必达法则，得.例4 求.解 这是型未定式，用洛必达法则，得.等式右端仍为型未定式,再使用洛必达法则,有.例5 求.解 例6 求解 注意 在用洛必达法则时,必须检查所求极限是否是型(或型)未定式。特别是连续使用洛必达法则时必须每一次都做检查。如例2中所求的极限都是型未定式，直到最后出现重要极限.例4中最后出现,已不再是型未定式，不能再应用洛必达法则，否则会导致错误结果。例7 求.解 这是时的型未定式。由洛必达法则，得例8 求解 这是型未定式，用洛必达法则，得.例9 求为整数)解 .显然当不是整数时，结论仍成立。当时,三个函数,都是无穷大量，例6说明随着的增大，较增大得要慢.例7说明随着的增大, 较增大得要慢。也就是说增大的最快，次之，增大最慢。例10 求.解 .2、其他类型的未定式除上述,型未定式以外,还有其他类型的未定式,如,等。求这些未定式的值，通常是将其转化成为或型未定式，用洛必达法则来计算.下面以例题说明。 例11求解 这是型未定式,若改写成=则等式右端为型未定式，用洛必达法则，得=例12 求.解 这是型未定式,将其改写成=,等式右端为型未定式,用洛必达法则,得,所以.例13求.解 这是型未定式,设,取对数得所以或。而 是型未定式，用洛必达法则，得， =例14求.解 这是型未定式。因为,而,等式右端是型未定式,用洛必达法则,得所以=例15求.解 这是型未定式。因为,而所以=.由以上各例看出，洛必达法则是求未定式的值的一种简便有效的法则，应用这一法则时必须注意以下几点：(1) 必须将未定式化为或型才能使用洛必达法则.在连续使用洛必达法则时必须每一次都检查所求极限是否是或型未定式。(2) 在用洛必达法则求未定式的值时,要注意将所求极限尽量简化.例如,适当应用无穷小的替换可以简化运算.例17求.解 求这个型未定式的值要连续使用洛必达法则,此时分母的高阶导数较繁,设法简化计算过程.由于时,与是等价无穷小,用等价无穷小替换得=,而=.(3) 在应用洛必达法则时，要注意定理中的条件(3)，存在或为无穷大时,才有.若不存在也不为时,不能断言不存在.例18求.解 当时,为有界函数,所以,故知，此极限是型未定式.用洛必达法则,得=.因为不存在,等式右端的极限不存在也不是无穷大量.因此不能应用洛必达法则求该极限。若将所求极限变形为=,因为=1,，由极限运算法则知=.故所求极限是存在的.小结：1.本节我们学习了拉格朗日中值定理，