几何与代数实验报告.doc

10-11-2几何与代数数学实验报告学号：06010329 姓名：周志浩 得分： .实验一：平板的稳态温度分布问题（线性方程组应用）在热传导的研究中，一个重要的问题是确定一块平板的稳态温度分布。假定下图中的平板代表一条金属梁的截面，并忽略垂直于该截面方向上的热传导。已知平板内部有9个节点，每个节点的温度近似等于与它相邻的四个节点温度的平均值，例如,；为避免出现分数，可写成。设4条边界上的温度分别等于每位同学学号的后四位的4倍，例如学号为16308209的同学计算时，选择、。求：（1）建立可以确定平板内节点温度的线性方程组；（2）用MATLAB软件的三种方法求解该线性方程组 (请输出精确解（分数形式）) ； 方法一：利用Cramer法则求解； 方法二：作为逆矩阵的方法求解； 方法三：利用Gauss消元法即通过初等行变换求解。实验部分构造的线性方程：方法一：Cramer法则 format rata1=4,-1,0,-1,0,0,0,0,0,;a2=-1,4,-1,0,-1,0,0,0,0;a3=0,-1,4,0,0,-1,0,0,0;a4=-1,0,0,4,-1,0,-1,0,0;a5=0,-1,0,-1,4,-1,0,-1,0;a6=0,0,-1,0,-1,4,0,0,-1;a7=0,0,0,-1,0,0,4,-1,0;a8=0,0,0,0,-1,0,-1,4,-1;a9=0,0,0,0,0,-1,0,-1,4;b=12,0,4,12,0,4,24,12,16; D=det(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9),D = 100352 D1=det(b,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9),D2=det(a1,b,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9),D3=det(a1,a2,b,a4,a5,a6,a7,a8,a9),D4=det(a1,a2,a3,b,a5,a6,a7,a8,a9),D5=det(a1,a2,a3,a4,b,a6,a7,a8,a9),D6=det(a1,a2,a3,a4,a5,b,a7,a8,a9),D7=det(a1,a2,a3,a4,a5,a6,b,a8,a9),D8=det(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,b,a9),D9=det(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,b),D1 = 630784 D2 = 419328 D3 =344064 D4 =899584 D5 =702464 D6 =555520 D7 =1060864 D8 =935424 D9 =774144 T1=D1/D,T2=D2/D,T3=D3/D,T4=D4/D,T5=D5/D,T6=D6/D,T7=D7/D,T8=D8/D,T9=D9/DT1 = 44/7 T2 = 117/28 T3 = 24/7 T4 = 251/28 T5 = 7 T6 = 155/28 T7 = 74/7 T8 = 261/28 T9 =54/7 方法二：逆矩阵a1=4,-1,0,-1,0,0,0,0,0,;a2=-1,4,-1,0,-1,0,0,0,0;a3=0,-1,4,0,0,-1,0,0,0;a4=-1,0,0,4,-1,0,-1,0,0;a5=0,-1,0,-1,4,-1,0,-1,0;a6=0,0,-1,0,-1,4,0,0,-1;a7=0,0,0,-1,0,0,4,-1,0;a8=0,0,0,0,-1,0,-1,4,-1;a9=0,0,0,0,0,-1,0,-1,4; b=12,0,4,12,0,4,24,12,16; A=a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,B=12,0,4,12,0,4,24,12,16,A = Columns 1 through 5 4 -1 0 -1 0 -1 4 -1 0 -1 0 -1 4 0 0 -1 0 0 4 -1 0 -1 0 -1 4 0 0 -1 0 -1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 Columns 6 through 9 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 -1 0 0 -1 0 -1 0 4 0 0 -1 0 4 -1 0 0 -1 4 -1 -1 0 -1 4 B = 12 0 4 12 0 4 24 12 16 T=inv(A)*BT = 44/7 117/28 24/7 251/28 7 155/28 74/7 261/28 54/7 方法三：Gauss消元法a1=4,-1,0,-1,0,0,0,0,0,;a2=-1,4,-1,0,-1,0,0,0,0;a3=0,-1,4,0,0,-1,0,0,0;a4=-1,0,0,4,-1,0,-1,0,0;a5=0,-1,0,-1,4,-1,0,-1,0;a6=0,0,-1,0,-1,4,0,0,-1;a7=0,0,0,-1,0,0,4,-1,0;a8=0,0,0,0,-1,0,-1,4,-1;a9=0,0,0,0,0,-1,0,-1,4; b=12,0,4,12,0,4,24,12,16; A=a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,b,A = Columns 1 through 7 4 -1 0 -1 0 0 0 -1 4 -1 0 -1 0 0 0 -1 4 0 0 -1 0 -1 0 0 4 -1 0 -1 0 -1 0 -1 4 -1 0 0 0 -1 0 -1 4 0 0 0 0 -1 0 0 4 0 0 0 0 -1 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 Columns 8 through 10 0 0 12 0 0 0 0 0 4 0 0 12 -1 0 0 0 -1 4 -1 0 24 4 -1 12 -1 4 16 rref(A)ans = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 44/7 0 1 0 0 0 0 0 0 0 117/28 0 0 1 0 0 0 0 0 0 24/7 0 0 0 1 0 0 0 0 0 251/28 0 0 0 0 1 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 1 0 0 0 155/28 0 0 0 0 0 0 1 0 0 74/7 0 0 0 0 0 0 0 1 0 261/28 0 0 0 0 0 0 0 0 1 54/7 实验二：比赛排名问题在有n位选手参加的单循环比赛中，比赛胜一场得1分，负一场得0分，我们可以构造一个对角线元素为零的n阶矩阵表示比赛结果，其中矩阵M的第i行表示选手i的比赛胜负情况，该行元素之和为选手i的取胜次数，即选手i在比赛中的积分。如果e表示元素全为1的n维列向量，则向量的每个元素就是每位选手的积分。可以根据每位选手的积分高低确定比赛名次。如果有多位选手积分相同，则需要考虑第二级积分，即所战胜选手的积分之和。根据第二级积分，选手名次的排列可能会出现波动，继续计算第三级、第四级积分，一般地由计算第k级积分。根据竞赛图理论，如果比赛至少有4位选手参加、并且任意两位选手比赛的负者都可以间接“战胜”其胜者，则对于矩阵M的最大的特征值和特征向量s，成立 （1）这表明在一定条件下，积分向量序列收敛到一个固定的排列，我们可以根据积分向量s各分量的大小确定各选手的成绩排名。在计算时可以将特征向量s或者各个分量同时除以一个数，保证s的分量的绝对值在迭代过程中不趋向于无穷大（零）。一种常用的方法是每次除以绝s的和，这个过程称为归一化。具体求出积分向量s的方法有两种：方法一：直接计算矩阵M的最大特征值，及其对应的特征向量s，并对它们进行归一化处理(使向量各分量绝对值的和为1)，并根据特征向量s确定选手的名次排列；方法二：依次计算各级积分向量，并对它们进行归一化处理(使向量各分量绝对值的和为1)，直至相邻两次计算的结果小于指定的精度，并根据最后的积分向量s确定选手的名次排列。问题：请自行构造有8名选手参加的单循环比赛成绩矩阵M，要求有两组选手，他们的积分分别相同，比如一组4人都得4分，一组4人都得3分。同时满足（1）式成立的条件。求：（1）分析单循环比赛的成绩矩阵具有什么特点；（2）根据所构造的矩阵M，分别用方法一、方法二确定这8名选手的名次排列；（3）你是否可以找到更简单的排列名次方法。实验部分（1） M对称位置上的数不相等，一个是0，一个就是1，对角线上的元素都是0（2） M= M=0,1,0,1,0,1,0,1;0,0,1,0,1,1,1,0;1,0,0,1,0,0,1,1;0,1,0,0,1,0,1,1;1,0,1,0,0,1,0,0;0,0,1,1,0,0,1,0;1,0,0,0,1,0,0,1;0,1,0,0,1,1,0,0; P,D=eig(M)P = 0.4017 0.0273 + 0.2141i 0.0273 - 0.2141i 0.5302 0.5302 -0.4095 -0.1772 - 0.0097i -0.1772 + 0.0097i 0.3887 -0.2665 - 0.2424i -0.2665 + 0.2424i -0.2021 + 0.1925i -0.2021 - 0.1925i -0.1671 -0.4508 -0.4508 0.4009 0.4682 0.4682 -0.0087 - 0.0358i -0.0087 + 0.0358i 0.5165 -0.2829 + 0.1306i -0.2829 - 0.1306i 0.3808 0.0155 + 0.3273i 0.0155 - 0.3273i -0.2201 + 0.3106i -0.2201 - 0.3106i -0.2016 0.1561 + 0.4077i 0.1561 - 0.4077i 0.3246 -0.1327 - 0.3010i -0.1327 + 0.3010i 0.0629 - 0.3914i 0.0629 + 0.3914i -0.0862 0.1545 + 0.3680i 0.1545 - 0.3680i 0.3138 0.1837 - 0.3348i 0.1837 + 0.3348i 0.0731 + 0.3301i 0.0731 - 0.3301i -0.0640 0.3000 - 0.2610i 0.3000 + 0.2610i 0.2979 0.1071 + 0.2134i 0.1071 - 0.2134i -0.3352 - 0.3213i -0.3352 + 0.3213i -0.2830 0.0442 - 0.3432i 0.0442 + 0.3432i 0.2986 -0.3825 + 0.1990i -0.3825 - 0.1990i 0.0866 + 0.0145i 0.0866 - 0.0145i 0.6367 0.0818 - 0.1836i 0.0818 + 0.1836iD = 3.4399 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.4969 + 2.0373i 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.4969 - 2.0373i 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.4950 + 1.5989i 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.4950 - 1.5989i 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.4983 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.4789 + 0.2340i 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.4789 - 0.2340i M=