立体几何及向量总结.doc

龙文教育-您值得信赖的专业化个性化辅导学校龙文教育个性化辅导授课案教师： 学生： 时间： 年 月 日 段一、授课目的与考点分析：立 体 几 何 及 向 量 内 容 总 结二、 授课内容知识精要：1、 平面及其基本性质：公理一：如果一条直线有两个点在一个平面内，则这条直线上任意一点都在该平面内；作用：判定一条直线在平面内的依据；结论平面过直线直线在平面内公理二：如果两个平面有一个公共点，则这两个平面有且仅有一条过这点的公共直线；作用：判定两个平面相交的依据；公理三：经过不在同一条直线上的三点有且仅有一个平面；推论：经过一条直线和这条直线外一点有且仅有一个平面；推论：经过两条相交直线有且仅有一个平面；推论：经过两条平行直线有且仅有一个平面；作用：确定平面的依据；2、 空间直线和平面：空间两直线直线与平面平面与平面位置关系相交平行异面在平面内平行相交平行相交记号异面公共点唯一无无穷多个无唯一无无穷多个3、 平行关系（重要结论）：公理四：平行于同一直线的两直线平行；()如果一条直线平行于一个平面，过这条直线的平面与这个相交，则这条直线与交线平行()两个平行平面与第三个平面相交，交线平行；()垂直于同一平面的两直线平行；（）若一个平面外的一条直线与这个平面内的一条直线平行，则这条直线平行于这个平面；()若两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面；()一个平面与这个平面外的一条直线垂直于同一平面，则这个平面与这条直线平行；（）若一个平面内两条相交直线平行于一个平面，则这两个平面平行；()平行于同一平面的两个平面平行；()垂直于同一直线的两平面平行；（）4、 垂直关系（重要结论）：如果两条直线所成的角为，则这两条直线垂直；若一直线垂直于一平面，则这条直线垂直于该平面内任一直线()若平面内一直线垂直于斜线在该平面内的射影，则这条直线垂直于该斜线；(，平面的斜线在内的射影是，)若平面内一直线垂直于平面的斜线，则这条直线垂直于该斜线在该平面内的射影；(，平面的斜线在内的射影是，)如果一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面；()两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面；()两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面；()一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线也垂直于另一个平面；()两平面所成的二面角是直角，则这两个平面垂直； 若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直；（）若一个平面垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个；（）5、 空间中的角（关键是构造三角形或利用空间向量的数量积）：异面直线所成的角：转化为相交直线所成的锐角或直角（构造三角形）；范围线面角：斜线与它在平面内的射影所成的锐角，垂直时为直角，在平面内或平行时为零角，取值范围是；（解决的关键是找到直线在平面内的射影）二面角：从一条直线出发的两个半平面组成的几何图形，用其平面角度量；平面角的作法：定义：在棱上任意取一点，过这点分别在两个面内作棱的垂线；在棱上任意取一点，过这点作棱的垂面，得两条交线（射线）所成的最小正角；当已知一个半平面的垂线时，可用三垂线定理或其逆定理作。6、 空间中的距离（构造三角形或利用空间向量的模）：点到平面的距离（也可用等积法）.7、 空间中的面积和体积的计算：关键要记住公式，特别是公式中的系数，找到相应的元素.8、 多面体的概念和性质（棱柱中的矩形、正棱锥中的两个直角三角形、正棱台中的两个直角梯形；平行于底面的相似或全等的多边形）.9、 向量(平面向量和空间向量)：既有大小，又有方向的量；向量的运算：加法、减法（平行四边形、三角形法则）； 实数与向量的乘积：，同向；，反向；，零向量；模为 向量的数量积(内积)：(为和的夹角)；变式： 数量积(内积)的几何意义：与在所在直线上的投影的乘积；向量的坐标运算：，则；存在，使（空间向量类似）重要结论：；向量共线（平行）的充要条件是存在使得向量共面的充要条件是存在使得一、 例题选讲：AVECBF1. 两条异面直线所成的角为，过空间中一点作与这两条异面直线都成角的直线可作多少条？2. 在侧棱长为的正三棱锥中， = = = 。若过点的截面，交于，交于，求截面周长的最小值。3. 有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是_。4. 已知：，且，其中。 用表示； 求的最小值，并求此时的夹角的大小.5. 设是不平行的两个非零向量.(1)若与起点相同，求实数为何值时，向量的终点在一直线上？(2)若, ,，试解关于的不等式.6. 已知，.(1)求点的轨迹的方程；(2)若直线与曲线交于两点，且有，试求实数的取值范围.7. (1)求证：；(2)设为已知向量，集合，求证：对中的任意两个向量及任意实数，总有.8. 直四棱柱中，底面是直角梯形，求异面直线与所成角PABCDOE9. 在四棱锥中，底面是边长为的菱形，对角线与相交于点，平面，与平面所成的角为（1）求四棱锥的体积；（2）若是的中点，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）ED1C1B1A1DABC10. 如图正方体的棱长为，是的中点，(1)求异面直线与所成的角；(2)棱上是否存在点，使，若存在，确定的位置，若不存在，说明理由；(3)进一步探索满足的点在侧面内的轨迹；(4)求与平面所成的角；(5)求二面角的大小.二、 巩固练习1. 若三棱锥有五条棱长均为，第六条棱长为，则仅当 时，三棱锥体积最大2. 给出下面四个命题：“直线为异面直线”的充分非必要条件是：直线不相交；“直线垂直于平面内所有直线”的充要条件是：平面；“直线”的充分非必要条件是“垂直于在平面内的射影”；“直线平面”的必要非充分条件是“直线至少平行于平面内的一条直线”其中正确命题的个数是 .3. 一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为的正三角形，这样的三棱锥体积可能是 。（只需写出一个即可）4. 如图，是四边形所在平面外一点，是的交点，且平面，当四边形满足_时，到四条边的距离相等(只需填一种正确条件)5. 如图，在正方体中，分别是正方形和的中心，是的中点，设与所成的角分别是，则 .6. 如图几何体中，底面是矩形，平面，则几何体的体积 .第5题图第6题图第7题图第4题图7. 如图，棱长为的正方体容器，在棱及对角线的中点各有一小孔，若此容器可任意放置，则该容器可装水的最大容积是 .ACPBEFD8. 如图，是底面边长为1的正三棱锥，分别为棱长上的点，截面底面, 且棱台与棱锥的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)。(1)证明：为正四面体；(2)若, 求二面角的大小；(结果用反三角函数值表示)；(3)设棱台的体积为， 是否存在体积为且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由。PQSADCB9. 正四棱锥所有棱长都是，为的中点，如图，（1）求二面角的大小；（2）如果点在棱上，那么直线与能否垂直？请说明理由。10. 直三棱柱，底面中，棱，分别是的中点，（1）求的长；（2）求