浙江省2020版高考数学大一轮复习函数的单调性与最值夯基提能作业.docx

2.2函数的单调性与最值A组基础题组1.(教材习题改编)函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则() A.m12B.m-12D.m-12答案By=(2m-1)x+b在R上是减函数,2m-10,解得mf(3)f(2)的只可能是()答案D因为f14f(3)f(2),所以函数y=f(x)有增有减,排除A,B.在C中,f14f(0),即f14f(cosB)B.f(sinA)f(sinB)D.f(sinA)f(sinB)答案Af(x)=x3-3x,f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),故函数f(x)在区间(-1,1)上是减函数,又角C是钝角,角A、B都是锐角,且A+B2,0A2-B2,sinAf(cosB),选A.7.若函数f(x)=2x+ax(aR)在1,+)上是增函数,则实数a的取值范围是()A.0,2B.0,4C.(-,2D.(-,4答案C由题意得f(x)=2-ax20在1,+)上恒成立,则a(2x2)min,又在1,+)上,(2x2)min=2,a2,故选C.8.(2018衢州高三联考)函数y=x-|1-x|的单调递增区间为.答案(-,1解析y=x-|1-x|=1,x1,2x-1,x1.作出该函数的图象如图所示.由图象可知,该函数的单调递增区间是(-,1.9.已知函数f(x)=x+2x-3,x1,lg(x2+1),x1,则f(f(-3)=,f(x)的最小值是.答案0;22-3解析因为f(-3)=lg(-3)2+1=lg10=1,所以f(f(-3)=f(1)=1+2-3=0.当x1时,x+2x-32x2x-3=22-3,当且仅当x=2x,即x=2时等号成立,此时f(x)min=22-30;当x1时,lg(x2+1)lg(02+1)=0,此时f(x)min=0.所以f(x)的最小值为22-3.10.(2018杭州学军中学高三模拟)已知函数f(x)=x-1x+2,x3,5.(1)判断函数f(x)的单调性,并证明;(2)求函数f(x)的最大值和最小值.解析(1)f(x)在3,5上为增函数.证明如下:任取x1,x23,5且x1x2,f(x1)-f(x2)=x1-1x1+2-x2-1x2+2=3(x1-x2)(x1+2)(x2+2),因为3x1x25,所以x1-x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以f(x)在3,5上为增函数.(2)由(1)知f(x)在3,5上为增函数,则f(x)max=f(5)=47,f(x)min=f(3)=25.11.(2018金丽衢十二校联考)已知函数f(x)=a-1|x|.(1)求证:函数y=f(x)在(0,+)上是增函数;(2)若f(x)2x在(1,+)上恒成立,求实数a的取值范围.解析(1)证明:当x(0,+)时,f(x)=a-1x,设0x10,x2-x10,f(x2)-f(x1)=a-1x2-a-1x1=1x1-1x2=x2-x1x1x20,所以f(x)在(0,+)上是增函数.(2)由题意知a-1x2x在(1,+)上恒成立,设h(x)=2x+1x,则ah(x)在(1,+)上恒成立.任取x1,x2(1,+)且x1x2,h(x1)-h(x2)=(x1-x2)2-1x1x2.因为1x1x2,所以x1-x21,所以2-1x1x20,所以h(x1)h(x2),所以h(x)在(1,+)上单调递增.故ah(1),即a3,所以实数a的取值范围是(-,3.B组提升题组1.设函数f(x)=|sinx|+cos2x,x-2,2,则函数f(x)的最小值是() A.-1B.0C.12D.98答案B当x-2,0时,f(x)=-sinx+cos2x=-2sin2x-sinx+1=-2sinx+142+98,此时sinx-1,0),当sinx=-1时,f(x)min=0;当x0,2时,f(x)=sinx+cos2x=-2sin2x+sinx+1=-2sinx-142+98,此时sinx0,1,当sinx=1时,f(x)min=0.由知函数f(x)的最小值是0.2.(2018宁波五校联考)已知f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,规定:当|f(x)|g(x)时,h(x)=|f(x)|;当|f(x)|g(x)时,h(x)=-g(x),则h(x)()A.有最小值-1,最大值1B.有最大值1,无最小值C.有最小值-1,无最大值D.有最大值-1,无最小值答案C由题意得,利用平移变换的知识画出函数|f(x)|,g(x)的图象如图,而h(x)=|f(x)|,|f(x)|g(x),-g(x),|f(x)|g(x),故h(x)有最小值-1,无最大值.3.已知函数f(x)=x+1x-ax-b(a,bR),当x12,2时,设f(x)的最大值为M(a,b),则M(a,b)的最小值为.答案14解析设g(x)=x+1x-ax-b,x12,2,则g(x)=1-1x2-a,当a34或a-3时,g(x)在区间12,2上单调,所以M(a,b)=maxf12, f(2)=max52-12a-b,52-2a-b52-a2-b+52-2a-b234|a|.因为|a|34,所以M(a,b)916.当-3a34时,g(x)在区间12,11-a上单调递减,在区间11-a,2上单调递增.若a0,则g12g(2),所以M(a,b)=maxf12, f11-a=max52-12a-b,21-a-b14|41-a+a-5|=14(2-1-a)214,当a=0,b=94时取等号;若a0,则g1214.综上可知,M(a,b)的最小值为14.4.已知函数f(x)=ax2-x-3.(1)求a的范围,使y=f(x)在-2,2上不具有单调性;(2)当a=12时,函数f(x)在闭区间t,t+1上的最小值记为g(t),求g(t)的函数表达式;(3)第(2)问的函数g(t)是否有最值?若有,请求出;若没有,请说明理由.解析(1)由题知a0且-2-12a14或a-14.(2)当a=12时,f(x)=12x2-x-3=12(x-1)2-72,g(t)=12t2-t-3(t1),-72(0t1),12t2-72(t0).(3)当t1时,g(t)-72;当0t1时,g(t)=-72;当t0时,g(t)-72.综上,g(t)有最小值-72,无最大值.5.(2019绍兴一中月考)已知函数f(x)=x2-ax-4(aR)的两个零点分别为x1,x2,设x10时,求证:-2x10;(2)若函数g(x)=x2-|f(x)|在区间(-,-2)和(2,+)上均单调递增,求a的取值范围.解析(1)证明:由x1x2=-40且x1x2知x10时,f(x)在区间(-2,0)上单调递减.又因为f(-2)f(0)=2a(-4)0,所以-2x10.(2)g(x)=ax+4,xx2.易知当a0时,g(x)在区间(-,-2)上不可能单调