2019版高考数学复习第一部分专题三导数的几何意义及简单应用讲义理（重点生，含解析）.docx

专题三 数的几何意义及简单应用卷卷卷2018奇函数的定义及利用导数的几何意义求切线方程T5利用导数的几何意义求切线方程T13利用导数的几何意义求参数值T14利用导数讨论函数的单调性T21(1)2017利用导数讨论函数的单调性T21(1)导数的运算、利用导数求函数极值T11_利用导数的极值点求参数T21(1)2016_导数的计算与几何意义、直线方程、斜率计算公式T16函数的奇偶性、利用导数的几何意义求切线方程T15利用导数公式直接求导T21(1)纵向把握趋势卷3年3考，涉及导数的几何意义以及讨论函数的单调性，其中利用导数求切线方程难度偏小，而用导数讨论函数的单调性难度偏大预计2019年仍会以解答题的形式考查函数单调性的讨论卷3年4考，涉及导数的运算、几何意义以及利用导数求函数的极值，题型为选择、填空题，难度适中预计2019年高考会考查利用导数讨论函数的单调性，难度偏大卷3年3考，涉及导数公式及导数几何意义的应用，题型多为填空题预计2019年仍会考查导数几何意义的应用，另外，要重点关注利用导数研究函数的单调性横向把握重点1.高考对导数的几何意义的考查，多在选择题、填空题中出现，难度较小2高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择、填空的后几题中出现，难度中等，有时也出现在解答题第一问3近几年全国卷对定积分及其应用的考查极少，题目一般比较简单，但也不能忽略.导数的几何意义题组全练1(2018全国卷)设函数f (x)x3(a1)x2ax，若f (x)为奇函数，则曲线yf (x)在点(0,0)处的切线方程为()Ay2xByxCy2x Dyx解析：选Df (x)x3(a1)x2ax，f (x)3x22(a1)xa.又f (x)为奇函数，f (x)f (x)恒成立，即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立，a1，f (x)3x21，f (0)1，曲线yf (x)在点(0,0)处的切线方程为yx.2过点(0，1)的直线l与曲线yln x相切，则原点到l的距离为()A1 B.C. D.解析：选C设切点为(x0，ln x0)由yln x，得y，所以直线l的斜率ky|xx0，所以切线方程为yln x0(xx0)，即yxln x01.因为切线过点(0，1)，则1ln x01，即x01，所以切线方程为yx1，即xy10，所以原点到l的距离d，故选C.3(2018唐山模拟)曲线y与其在点(0，1)处的切线及直线x1所围成的封闭图形的面积为()A1ln 2 B22ln 2C2ln 21 Dln 2解析：选C因为y，所以y，则曲线y在(0，1)处的切线的斜率k2，切线方程为y2x1，则曲线y与其在点(0，1)处的切线及直线x1所围成的封闭图形的面积S2x1dx2x11dxx22x2ln(x1) 2ln 21.4(2018全国卷)曲线y(ax1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为2，则a_.解析：y(axa1)ex，当x0时，ya1，a12，解得a3.答案：35已知曲线yxln x在点(1,1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_.解析：由yxln x，得y1，则曲线yxln x在点(1,1)处的切线斜率为2，故切线方程为y2x1，与yax2(a2)x1联立，得ax2ax20，显然a0，所以由a28a0a8.答案：8系统方法1求过切点切线问题的基本思路设曲线在(x0，y0)处的切线为l，则根据2过非切点的切线的求法设出切点坐标(x0，f (x0)，先求出在xx0处的切线方程，然后把所过点的坐标代入即求出x0，从而得出切线方程3由曲线的切线求参数的方法已知曲线在某点处的切线求参数的关键是用“方程思想”来破解，先求出函数的导数，从而求出在某点处的导数值；再根据导数的几何意义与已知条件，建立关于参数的方程，通过解方程求出参数的值利用导数研究函数的单调性多维例析角度一讨论函数的单调性或求函数单调区间已知函数f (x)x22cos x，g(x)ex(cos xsin x2x2)，其中e是自然对数的底数(1)求函数g(x)的单调区间；(2)讨论函数h(x)g(x)af (x)(aR)的单调性解(1)g(x)(ex)(cos xsin x2x2)ex(cos xsin x2x2)ex(cos xsin x2x2sin xcos x2)2ex(xsin x)记p(x)xsin x，则p(x)1cos x.因为cos x1,1，所以p(x)1cos x0，所以函数p(x)在R上单调递增而p(0)0sin 00，所以当x0时，p(x)0，g(x)0时，p(x)0，g(x)0，函数g(x)单调递增综上，函数g(x)的单调递减区间为(，0)，单调递增区间为(0，)(2)因为h(x)g(x)af (x)ex(cos xsin x2x2)a(x22cos x)，所以h(x)2ex(xsin x)a(2x2sin x)2(xsin x)(exa)由(1)知，当x0时，p(x)xsin x0；当x0时，p(x)xsin x0，所以x0时，h(x)0，函数h(x)单调递增；x0时，h(x)0时，令h(x)2(xsin x)(exa)0，解得x1ln a，x20.若0a1，则ln a0，所以x(，ln a)时，exa0，函数h(x)单调递增；x(ln a,0)时，exa0，h(x)0，h(x)0，函数h(x)单调递增若a1，则ln a0，所以xR时，h(x)0，函数h(x)在R上单调递增若a1，则ln a0，所以x(，0)时，exa0，函数h(x)单调递增；x(0，ln a)时，exa0，h(x)0，h(x)0，函数h(x)单调递增综上所述，当a0时，函数h(x)在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减；当0a1时，函数h(x)在(，0)，(ln a，)上单调递增，在(0，ln a)上单调递减类题通法讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类：(1)最高次幂的系数是否为0；(2)导函数是否有变号零点；(3)导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内；(4)导函数的变号零点之间的大小关系角度二已知函数的单调性求参数范围已知函数f (x)axb(a，bR)(1)若函数f (x)在R上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f (x)在(1,3)上单调，求实数a的取值范围解(1)f (x)a，设g(x)1xaex，由题意知g(x)0在R上恒成立，即1xaex0在R上恒成立由ex0，分离参数可得a在R上恒成立设h(x)，则h(x)，由h(x)0，得x2；由h(x)2，所以h(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，所以h(x)maxh(2)，故a.所以a的取值范围为.(2)函数f (x)在(1,3)上单调，则函数f (x)在(1,3)上单调递增或单调递减若函数f (x)在(1,3)上单调递增，则f (x)0在(1,3)上恒成立，即1xaex0在(1,3)上恒成立，所以a在(1,3)上恒成立设h(x)，则h(x)，所以h(x)在(1,2)上单调递增，在(2,3)上单调递减，所以h(x)maxh(2)(x(1,3)，故a.所以a的取值范围为，.若函数f (x)在(1,3)上单调递减，则f (x)0在(1,3)上恒成立，即1xaex0在(1,3)上恒成立，所以a在(1,3)上恒成立设h(x)，则h(x)，所以h(x)在(1,2)上单调递增，在(2,3)上单调递减又h(1)2e，h(3).显然2eh(1)2e(x(1,3)，所以a的取值范围为(，2e综上，a的取值范围为(，2e. 类题通法由含参函数单调性求解参数范围问题的2个关注点(1)准确把握函数单调性与导函数符号之间的关系：若可导函数f (x)在区间M上单调递增，则f (x)0在区间M上恒成立；若可导函数f (x)在区间M上单调递减，则f (x)0在区间M上恒成立(2)注意参数在导函数解析式中的位置，先尝试分离参数，将问题的求解转化为求解对应函数的最值问题；若不能分离参数或分离参数后对应函数的单调性无法利用导数解决，则可以直接转化为求解含参函数的最值问题综合训练1已知aR，函数f (x)(x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数)(1)当a2时，求函数f (x)的单调递增区间；(2)若函数f (x)在(1,1)上单调递增，求a的取值范围；(3)函数f (x)是否为R上的单调减函数？若是，求出a的取值范围？若不是，请说明理由解：(1)当a2时，f (x)(x22x)ex，所以f (x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f (x)0，即(x22)ex0，因为ex0，所以x220，解得x0，所以x2(a2)xa0，则a(x1)对x(1,1)都成立令g(x)(x1)，则g(x)10.所以g(x)(x1)在(1,1)上单调递增所以g(x)0，所以x2(a2)xa0对xR都成立所以(a2)24a0，即a240，这是不可能的故函数f (x)不可能在R上单调递减2(2018合肥质检)已知f (x)ln(2x1)(aR)(1)讨论f (x)的单调性；(2)若f (x)ax恒成立，求a的值解：(1)f (x)的定义域为，f (x).令g(x)2x22axa，若2x22axa0的根的判别式4a28a0，即当0a2时，对任意x，g(x)0恒成立，即当x时，f (x)0恒成立，f (x)在上单调递增若2x22axa0的根的判别式0，即当a2或a0时，函数g(x)图象的对称轴为直线x.当a0时，0.对任意x，g(x)0恒成立，即对任意x，f (x)0恒成立，f (x)在上单调递增当a2时，1，且g0.记g(x)0的两根分别为x1，x2，且x1(a)，x2(a)当x(x2，)时，g(x)0，当x(x1，x2)时，g(x)0，当x(x1，x2)时，f (x)2时，f (x)在和，上单调递增，在上单调递减(2)f (x)ax恒成立等价于对任意x，f (x)ax0恒成立令h(x)f (x)axln(2x1)ax，则h(x)0h(1)恒成立，即h(x)在x1处取得最大值h(x).由h(1)0，得a1.当a1时，h(x)，当x时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0，求函数f (x)在区间m,2m上的最大值解(1)因为函数f (x)的定义域为(0，)，且f (x)，由得0xe.所以函数f (x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，)，且f (x)极大值f (e)1，无极小值(2)当即0m时，函数f (x)在区间m,2m上单调递增，所以f (x)maxf (2m)1；当me2m，即me时，函数f (x)在区间(m，e)上单调递增，在(e,2m)上单调递减，所以f (x)maxf (e)11；当me时，函数f (x)在区间m,2m上单调递减，所以f (x)maxf (m)1.综上所述，当0m时，f (x)max1；当m0时，若f (x)在区间1，e上的最小值为2，求a的取值范围解(1)当a1时，f (x)x23xln x(x0)，所以f (x)2x3，所以f (1)2，f (1)0.所以切线方程为y20.(2)函数f (x)ax2(a2)xln x的定义域为(0，)，当a0时，f (x)2ax(a2)，令f (x)0，解得x或x.当01，即a1时，f (x)在1，e上单调递增所以f (x)在1，e上的最小值为f (1)2，符合题意；当1e，即a1时，f (x)在上单调递减，在上单调递增，所以f (x)在1，e上的最小值为f f (1)2，不合题意；当e，即0a时，f (x)在1，e上单调递减，所以f (x)在1，e上的最小值为f (e)1)在1,2上的值域为p(a)，q(a)，求(a)q(a)p(a)的最小值解：(1)因为f (x)x33x2，所以f (x)3x26x，所以曲线yf (x)在点P(1，2)处的切线的斜率为f (1)3，所以切线方程为y(2)3(x1)，即3xy10.(2)因为g(x)2x33(a1)x26ax，所以g(x)6x26(a1)x6a6(x1)(xa)令g(x)0，得x1或xa，若1a2，当x(1，a)时，g(x)0，所以g(x)在(a,2)上单调递增若g(1)g(2)，即1a，此时q(a)g(2)4，p(a)g(a)a33a2，所以(a)4(a33a2)a33a24，因为(a)3a26a3a(a2)g(2)，即a.若a2，当x1,2时，g(x)0，所以g(x)在1,2上单调递减，所以q(a)g(1)3a1，p(a)g(2)4，所以(a)3a143a5(a2)，所以(a)在2，)上的最小值为(2)1.综上，(a)的最小值为.2已知函数f (x)x23x.(1)若a4，讨论f (x)的单调性；(2)若f (x)有3个极值点，求实数a的取值范围解：(1)因为a4时，f (x)x23x，所以f (x)2x3(x0)，令f (x)0，得x2；令f (x)0，得x0或0x0，得x1或x0；由g(x)0，得0x0，得a0，当a0时，0，g()2()33(a)a2a(1)0，故a0时，g(x)在(，0)上有唯一零点；令g(1)1a1，故1a0时，g(x)在(0,1)上有唯一零点；又1a0，所以g(x)在(1，)上有唯一零点综上可知，实数a的取值范围是(1,0)重难增分函数与导数的综合应用典例细解(2015全国卷)设函数f (x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f (x0)0，则a的取值范围是()A. B.C. D.学解题法一：直接法(学生用书不提供解题过程)若a0，则对任意负整数m，有f (m)em(2m1)a(m1)0，不符合题中唯一要求，故必有0a1.由于f (x)ex(2x1)a，易知当x1时f (x)e1a0，故f (x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增注意到f (1)e0，所以在(1，)内不存在正整数x0使得f (x0)0.又f (0)1a0，这样我们就找到了，那个唯一的整数x0就是0.则满足题意的充要条件是f (1)0，即a，故a的取值范围是.法二：分离参数法(学生用书不提供解题过程)f (x)ex(2x1)当x1时，有a1，这与题设矛盾，舍去；当x1时，有a.记g(x)，则g(x)(x1)当x0；当0x1时，g(x)0，故g(x)在(，0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，作出函数yg(x)的大致图象如图所示由题意知，存在唯一的整数x0使得f (x0)0，即ag(x0)，由图易知a的取值范围是g(1)a1，选D.法三：几何直观法(学生用书提供解题过程)设g(x)ex(2x1)，yaxa，由题意知存在唯一的整数x0，使得g(x0)在直线yaxa的下方因为g(x)ex(2x1)，所以当x时，g(x)时，g(x)0，所以当x时，g(x)min2e，因为g(0)10，直线yaxa恒过点(1,0)，且斜率为a，画出函数的大致图象如图所示，故ag(0)1，g(1)3e1aa，解得a1.法四：特殊值探路(学生用书提供解题过程)注意到f (0)a10，故x00.又x0唯一，故解得a，所以a1(*)这是a需满足的必要条件求导得f (x)ex(2x1)a.当x1时，f (x)a0，f (x)在1，)上单调递增，有f (x)f (1)0.可见(*)式也是充分的于是，a的取值范围就是a0时，xf (x)f (x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0,1) B(1,0)(1，)C(，1)(1,0) D(0,1)(1，)解析令g(x)(x0)，则g(x)，当x0时，xf (x)f (x)0，g(x)0时，由f (x)0，得g(x)0，由图知0x1，当x0，得g(x)0，由图知x0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)答案A启思维本题考查了导数运算的逆运算，通过xf (x)f (x)0(或0(或0(或0(或0)，构造函数F(x).增分训练1已知函数f (x)，对xR，都有f (x)f (x)x2，在(0，)上，f (x)0时，g(x)f (x)x0，则不等式f (x)0，g(x)0，即g(x)为R上的减函数g(1)，由不等式f (x)ex2，得e2，即g(x)1，不等式f (x)0，解得0x2，故函数f (x)的单调递增区间是和(2，)3(2018石家庄模拟)已知f (x)，其中e为自然对数的底数，则()Af (2)f (e)f (3) Bf (3)f (e)f (2)Cf (e)f (2)f (3) Df (e)f (3)f (2)解析：选D由f (x)，得f (x)，令f (x)0，解得xe，当x(0，e)时，f (x)0，函数f (x)单调递增，当x(e，)时，f (x)0，函数f (x)单调递减，故f (x)在xe处取得最大值f (e)，f (2)f (3)0，f (2)f (3)f (2)，故选D.4(2019届高三广州调研)已知直线ykx2与曲线yxln x相切，则实数k的值为()Aln 2 B1C1ln 2 D1ln 2解析：选D由yxln x知yln x1，设切点为(x0，x0ln x0)，则切线方程为yx0ln x0(ln x01)(xx0)，因为切线ykx2过定点(0，2)，所以2x0ln x0(ln x01)(0x0)，解得x02，故k1ln 2，选D.5已知定义在R上的可导函数f (x)的导函数为f (x)，满足f (x)f (x)，且f (x3)为偶函数，f (6)1，则不等式f (x)ex的解集为()A(2，) B(0，)C(1，) D(4，)解析：选B因为f (x3)为偶函数，所以f (3x)f (x3)，因此f (0)f (6)1.设h(x)，则原不等式即h(x)h(0)又h(x)，依题意f (x)f (x)，故h(x)0，因此函数h(x)在R上是增函数，所以由h(x)h(0)，得x0.故选B.6已知定义在R上的函数yf (x)满足f (x)f (x)，当x(0,2时，f (x)ln xax，当x2,0)时，f (x)的最小值为3，则a的值等于()Ae2 BeC2 D1解析：选A因为定义在R上的函数yf (x)满足f (x)f (x)，所以yf (x)为奇函数，其图象关于原点对称，因为当x2,0)时，f (x)的最小值为3，所以当x(0,2时，f (x)ln xax的最大值为3.又f (x)(0x2)，所以当0x0；当x2时，f (x)0；所以函数f (x)ln xax在区间上单调递增，在区间上单调递减，故f (x)maxf lna3，解得ae2.7若函数f (x)ln xax22x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是_解析：f (x)ax2，由题意知f (x)0，ax22x10有实数解当a0时，显然满足；当a0，1a1.答案：(1，)8已知函数f (x)exmx1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线yex垂直的切线，则实数m的取值范围是_解析：函数f(x)的导数f(x)exm，设切点为(x0，ex0mx01)，即切线斜率ke x0m，若曲线C存在与直线yex垂直的切线，则满足(e x0m)e1，即e x0m有解，即me x0有解，e x0，m.答案：9已知x0为函数f (x)(ea)x3x的极值点，若x0(e为自然对数的底数)，则实数a的取值范围是_解析：f(x)aeax3，则f(x0)3aeax00，由于eax00，则a0，则x0ln t，构造函数g(t)ln t(t0)，g(t)ln t(ln t1)，当0t0，g(t)为增函数，且g(t)0恒成立，当t时，g(t)0，g(t)为减函数，g(t)maxg，且g(e)，因此当x0时，0te，即0e，a，故实数a的取值范围为.答案：10(2019届高三长春模拟)已知函数f (x)ax3bx23x(a，bR)在点A(2，f (2)处的切线方程为9xy160.(1)求函数f (x)的解析式；(2)若过点M(2，m)(m2)可作曲线yf (x)的三条切线，求实数m的取值范围解：(1)因为f (x)ax3bx23x(a，bR)，所以f (x)3ax22bx3.根据题意，得即解得所以f (x)x33x.(2)设切点为(x0，y0)(x02)，则y0x3x0.因为f (x0)3x3，所以切线的斜率为3x3，则3x3，即2x6x6m0.因为过点M(2，m)(m2)可作曲线yf (x)的三条切线，所以方程2x6x6m0有三个不同的实根，设函数g(x)2x36x26m，则函数g(x)有三个零点，且g(x)6x212x，令g(x)0，得x0或x2.g(x)，g(x)随x的变化而变化的情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)g(x)00g(x)极大值极小值若函数g(x)有三个零点，则需即解得6m2.所以实数m的取值范围为(6,2)11(2018成都模拟)已知函数f (x)(ax1)ln x.(1)若a2，求曲线yf (x)在点(1，f (1)处的切线l的方程；(2)设函数g(x)f (x)有两个极值点x1，x2，其中x1(0，e，求g(x1)g(x2)的最小值解：(1)当a2时，f (x)(2x1)ln x，则f (x)2ln xx2，f (1)2，f (1)，切线l的方程为y2(x1)，即4x2y30.(2)函数g(x)aln xxa，定义域为(0，)，则g(x)1，令g(x)0，得x2ax10，其两根为x1，x2，且x1x2a，x1x21，故x2，a.g(x1)g(x2)g(x1)galn x1x1a22aln x122ln x1，令h(x)22ln x.则g(x1)g(x2)minh(x)min，又h(x)，当x(0,1时，h(x)0，当x(1，e时，h(x)0，即当x(0，e时，h(x)单调递减，h(x)minh(e)，故g(x1)g(x2)min.12(2018郑州模拟)已知函数f (x)ln xx，g(x)mx3mx(m0)(1)求曲线yf (x)在点(1，f (1)处的切线方程；(2)若对任意的x1(1,2)，总存在x2(1,2)，使得f (x1)g(x2)，求实数m的取值范围解：(1)易知切点为(1，1)，f (x)1，切线的斜率kf (1)0，故切线方程为y1.(2)设f (x)在区间(1,2)上的值域为A，g(x)在区间(1,2)上的值域为B，则由题意可得AB.f (x)ln xx，f (x)10时，g(x)0在x(1,2)上恒成立，则g(x)在(1,2)上是增函数，此时g(x)在区间(1,2)上的值域B为，则解得m(ln 22)3ln 2.当m0时，g(x)0恒成立，函数f (x)在(0，)上单调递增，则函数f (x)不存在两个不同的零点当a0时，由f (x)0，得x，当0x0，函数f (x)单调递增，当x时，f (x)0，即ln 2a1，所以02a，即0a0对任意的x1恒成立，则m的最大值为()A2 B3C4 D5解析：选B法一：因为f (x)xxln x，且f (x)m(x1)0对任意的x1恒成立，等价于m在(1，)上恒成立，等价于m1)令g(x)(x1)，所以g(x).易知g(x)0必有实根，设为x0，则x02ln x00，且g(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，此时g(x)ming(x0)x0，因此mx0，令h(x)x2ln x，可得h(3)0，又mZ，故m的最大值为3.故选B.法二：f (x)m(x1)在(1，)上恒成立，而f (x)2ln x，得f (x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，)上单调递增，由图象可知，过点(1,0)的直线ym(x1)必在f (x)的图象下方，设过点(1,0)且与f (x)的图象相切的直线的斜率为k，则mk.此时设切点为(x0，x0x0ln x0)，则有k2ln x0，可得x0ln x020，令g(x)xln x2，显然g(e)0，所以ex0e2，所以1ln x02,3k4，又m0，aR恒成立，则实数m的最大值为()A. B2Ce D3解析：选Bb(a2)2ln b(a1)2等价于点P(b，ln b)与点Q(a2，a1)距离的平方，易知点P，Q分别在曲线C：yln x及直线l：yx1上令f (x)ln x，则f (x)，令f (x)1，得x1，故与直线l平行且与曲线C相切