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实验名称: 牛顿法解非线性方程组1 引言我们已经知道,线性方程组我们可以采取Jacobi迭代法,G-S迭代法以及SOR迭代方法求解。而在科学技术领域里常常提出求解非线性方程组的问题,例如,用非线性函数拟合实验数据问题、非线性网络问题,用差分法求解非线性微分方程问题等。我们在解非线性方程组时,也考虑用迭代法求解,其思路和解非线性方程式一样,首先要将F(x)=0转化为等价的方程组或者简记为x=g(x),其中迭代法:首先从某个初始向量开始,按下述逐次代入方法构造一向量序列:其中,。或写成向量形式:如果(存在),称为收敛。且当为连续函数时,可得说明为方程组的解。又称为x=g(x)的不动点。本实验中采用牛顿迭代法来求解非线性方程组。2 实验目的和要求运用matlab编写一个.m文件,要求用牛顿法非线性方程组:3 算法原理与流程图1、算法原理设有非线性方程组F(x)=0其中:由偏导数作成的矩阵记为J(x)或称为F(x)的Jacobi矩阵设为F(x)=0的解,且设,为的近似解,现利用多元函数 在点的泰勒公式有其中,在与x的所连的线段内。如果用泰勒公式中的线性函数近似代替,并将线性方程组的解作为的第k+1次近似解记为 将上述方程写成矩阵形式:如果为非奇异矩阵,则得到牛顿迭代公式:求解非线性方程组F(x)=0牛顿法或为用上式可知,每计算一步,需要:(1) 计算矩阵及;(2) 求解一个线性方程组:(3) 计算。2、流程图见附图14 程序代码及注释%牛顿法解非线性方程组function Z,P,k,e = newton(P,e0)%用P输入初始猜想矩阵,不断迭代输出计算解%Z为迭代结束后的F矩阵%k为迭代次数,e为每次迭代后的无穷范数,e0为误差限Z=F(P(1),P(2);J=JF(P(1),P(2);Q=P-JZ;e=norm(Q-P),inf);P=Q;Z=F(P(1),P(2);k=1;while e=e0 J=JF(P(1),P(2); Q=P-JZ; e=norm(Q-P),inf); P=Q; Z=F(P(1),P(2); k=k+1; endend %子函数一,用来求每一步的F(x)function out=F(x,y)syms x1 x2;f1=x1-0.5*cos(x2);f2=x2-0.5*sin(x1);Y=f1;f2;x1=x;x2=y;out=subs(Y);end %子函数二,用来求每一步的Jacobi矩阵function y=JF(x,y)syms x1 x2 f1=x1-0.5*cos(x2);f2=x2-0.5*sin(x1);df1x=diff(sym(f1),x1);df1y=diff(sym(f1),x2);df2x=diff(sym(f2),x1);df2y=diff(sym(f2),x2);j=df1x,df1y;df2x,df2y;%j中的元素为一阶偏导数x1=x;x2=y;y=subs(j);end5算例分析(1)首先输入系数矩阵初始猜想解和误差限e0 P=0 0; e0=0.001;(2)输出结果 Z P k e=newton(P,e0)Z = 1.0e-009 * 0.550442413871366 0.398026500647575P = 0.486405155145713 0.233725502568820k = 3e = 5.835820948590920e-005其中,P为计算解,k为迭代次数,Z为第k次迭代后的F矩阵,e为第k次迭代后的6讨论与结论1、 时间复杂度: tic;Z P k e=newton(P,e0);tocElapsed time is 0.068248 seconds.2、 程序优化在本次的程序设计中,我采用了C语言中子函数调用的思想,使得程序的可读性增强,条理清晰。其次,在求每一步的时,要解方程,此语句可以用Q=P-inv(J)*Z;但考虑到算法的时间复杂性,本语句采用了Q=P-JZ来实现,从而减少了计算机时间。参考文献1 易大义,沈云宝,李有法. 计算方法(第2版),浙江大学出版社. p.29-53.2 张琨 高思超 毕靖 编著 MATLAB2010从入
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