高中数学中的对称问题小结.doc

对称问题一、要点梳理1. 对称问题的核心是点关于点的中心对称和点关于直线的轴对称，要充分利用转化的思想将问题转化为这两类对称中的一种加以处理.2.解决最值问题最常用的方法是目标函数法和几何法。3.求对称曲线的常用思想方法：代入转移法4.许多问题中都隐含着对称性，要注意挖掘、充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等二、基础练习1、已知圆C与圆(x1)2y21关于直线yx对称，则圆C的方程为 ( )A.(x1)2y21B.x2y21C.x2(y1)21 D.x2(y1)212、方程|2x+y|+|2x-y|=4表示的曲线曲线 ( )A.关于x轴对称但不关于y轴对称 B.关于y轴对称但不关于x轴对称C.关于原点对称 D.以上都不对3、函数yex的图象 ( )A.与yex的图象关于y轴对称B.与yex的图象关于坐标原点对称C.与的图象关于y轴对称 D.与的图象关于坐标原点对称4、曲线x24y24关于点M（3，5）对称的曲线方程为_.5、光线从点A（-3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（-2，6），求射入y轴后的反射线的方程。变式：已知直线l1: x+my+5=0和直线l2:x+ny+P=0，则l1、l2关于y轴对称的充要条件是( )A、 B、p=-5 C、m=-n且p= -5 D、且p=-56. 直线交x、y轴于A、B两点，试在直线上求一点P，使最小，则P点的坐标是_ 思考、已知函数的图象C上存在一定点P满足：若过点P的直线与曲线C交于不同于P的两点，且恒有为定值，则的值为（ ）A. B. C. D. 7、已知点M（3，5），在直线：和y轴上各找一点P和Q，使的周长最小。8、在直线上任取一点P，过点P且以椭圆的焦点为焦点作椭圆。问：点P在何处时，所作椭圆的长轴最短？并求具有最短长轴的椭圆的方程。9、已知长方形的四个顶点A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1x42，求tan的取值范围.10、已知抛物线y=ax21上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求实数a的取值范围.变式：已知椭圆方程为，试确定实数的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称。11、已知函数（1）在函数的图象上是否存在一点（m,n），使得的图象关于（m,n）对称？（2）令，是否存在这样的实数b，使得任意的时，对任意的x，不等式恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由.12、已知抛物线，过M(m,0)的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点.（）若m=3，l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；（）若，且存在直线l使得成等比数列，求m的取值范围.（）若，记A关于x轴的对称点为，求证：直线过定点.13、设两点在抛物线上，l是AB的垂直平分线（）当且仅当取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；()当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围14、已知函数f（x）=的图像在点P（0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2.()求实数a,b的值；()设g（x）=f(x)+是上的增函数。 （i）求实数m的最大值； (ii)当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。参考解答：1、C；2、C；3、D；4、（x6）2+4（y10）2=4；5、解：A（-3，4）关于x轴的对称点（-3，-4）在经x轴反射的光线上；A1（-3，-4）关于y轴的对称点（3，-4）在经过射入y轴的反射的光线上，=所求直线方程为 ，即变式、C；6、(0,0)；思考、B；解析： 从而的图像关于定点对称，所以点为，7、解：可求得点M关于的对称点为（5，1），点M关于y轴的对称点为（-3，5），则的周长就是，连，则直线与y轴及直线的交点P、Q即为所求。直线的方程为，直线与y轴的交点坐标为，由方程组 得交点，点、即为所求。8、略9、解：设P1B=x，P1P0B=，则CP1=1x，P1P2C、P3P2D、AP4P3均为，tan=x.又tan=x，CP2=1.而tan=x，DP3=x（3）=3x1.又tan=x，AP4=3.依题设1AP42，即132，4.tan.10、解法一：设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P（x1，y1）、Q（x2，y2），线段PQ的中点为M（x0，y0），设直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，所以方程组有两组不同的实数解，即得方程ax2x（1+b）=0. 判别式=1+4a（1+b）0.由得x0=，y0=x0+b=+b.Ml，0=x0+y0=+b，即b=，代入解得a.解法二：设同解法一，由题意得将代入，并注意到a0，x1x20，得由二元均值不等式易得2（x12+x22）（x1+x2）2（x1x2）.将代入上式得2（+）（）2，解得a.解法三：同解法二，由，得y1y2=a（x1+x2）（x1x2）.x1x20，a（x1+x2）=1. x0=.M（x0，y0）l，y0+x0=0，即y0=x0=，从而PQ的中点M的坐标为（，）.M在抛物线内部，a（）2（）10. 解得a.（舍去a0，为什么?）变式：解法一：该问题等价于存在直线，使得这直线与椭圆有两个不同的交点、，线段的中点落在直线上。由消去y得直线与椭圆有两个不同交点。 由韦达定理得：，。故中点为 又在直线上， 由知 解法二：设、是椭圆上关于直线对称的相异的两点，中点为。 则,由点差法得，代入解得，点坐标为。而是中点，点在椭圆内部。解得。11、【解析】（1）若存在一点（m，n），使得y =f(x)的图象关于点（m，n）对称，则f(x+m)+f(mx)=2n 即当时f(x+m)+f(mx)=2n 在y=f(x)的图像上，所以在y=f(x)的图像上存在一点，使得y=f(x)的图像关于对称。 （2）g=lnn(1), 构造函数F=n则因为所以若，则x上是减函数；若，则x上是增函数；所以当取最小值，即=ln=ln=ln 记ln,又因为3，4所以,即在上为增函数，所以所以若使恒成立，只需.所以存在这样的实数，对任意的x时，不等式ln（1+x）x-ax2+b恒成立.12、（）解：由题意， 直线l的方程为，由 得，故以AB为直径的圆的圆心为AB中点，半径为.（）解：设A, B两点坐标为, .则, 所以 因为点A, B在抛物线C上, 所以, 由，消去得. 若此直线l使得成等比数列，则， 即，所以， 因为，所以，整理得， 因为存在直线l使得成等比数列，所以关于x1的方程有正根， 因为方程的两根之积为m20, 所以只可能有两个正根， 所以，解得.故当时，存在直线l使得成等比数列. （）定点位N(-m,0)。13、解：（）两点到抛物线的准线的距离相等抛物线的准线是x轴的平行线，不同时为0，上述条件等价于， 上述条件等价于 即当且仅当时，l经过抛物线的焦点F另解：（）抛物线，即，焦点为 （1）直线的斜率不存在时，显然有 （2）直线的斜率存在时，设为k，截距为b即直线：y=kx+b 由已知得： 即的斜率存在时，不可能经过焦点 所以当且仅当=0时，直线经过抛物线的焦点F （II）设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为；过点A、B的直线方程可写为，所以满足方程得；A，B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式 即设AB的中点N的坐标为，则由即得l在y轴上截距的取值范围为（）法二:y1=2x12, y2=2x22, 相减得, 中点在抛物线内必14、解：（）由及题设得即。（）（）由 得。是上的增函数， 在上恒成立，