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一、应掌握的基本概念,一定要严格区分构件的许可载荷与结构 的许可载荷。每一构件都有自身的许可载荷, 它是根据该构件的受力与强度条件之间的关 系确定;而结构是由构件所组成,因此整个结 构的许可载荷是构件许可载荷中的最小值。 在具体计算和分析问题时,绝对不能先 求出各构件的许可载荷,然后通过结构的平衡 求整个结构的许可载荷。,1.构件与结构许可 载荷的计算与确定,一般来说,某一根构件达到许可载荷,其它构件不一定也达到各自自的许可载荷,因为各构件并不同时达到危险状态,结构的许可载荷是由最小许可载荷的结构确定的,即整个结构的安全由最薄弱的构件所控制。,2.构件的基本变形,1)拉、压变形 截面的几何性质: A 刚 度: EA 应 力 公 式: =FN/A 变 形 公 式:l=FNL/(EA),2)剪切(挤压) 截面的几何性质: A 剪 切 刚 度: GA 剪切应力计算公式: =Q/A 挤压应力计算公式: =P/A 注意:剪切为实用算法。在工程联接中,剪 切、挤压与拉压变形同时存在,因此必须分清 那是剪切面、挤压面和受拉(压)面。,3).扭转变形 截面的几何性质: JP 刚 度: GJP 应 力 公 式: max=T/Wn 变 形 公 式: =TL/(GJP) 注意:(1)Mn是内力矩。 (2)以上公式仅适用于圆心和空心圆轴，非圆形截面按弹性力学求解。,4).纯弯曲 截面的几何性质: Iz 刚 度: EIz 应 力 公 式: =My/Iz,max=M/Wz 变 形 公 式: 1/=M/(EIz),注意: 当梁上受到横向载荷作用时,严格地说,以上公式不再适用,但对于细长粱,即h/L1/5,以上公式的计算精度满足工程精度要求,但此时在梁上还存在剪应力:=FSSZ/(Izb),基本变形小结,由以上可看出:四种基本变形有许多相 似之处,如: 刚度=材料的物理常数x截面的几何性质 应力=内力/截面的几何性质 相对变形=(内力x长度)/刚度,3.平面图形的几何性质,1)静矩 sz=zdA 2)惯性矩 Iz=z2dA 3)平行移轴公式 Iz=IZC+b2A 4)极惯矩 JP=2dA 5)惯性积 Ixy=xydA,4.强度理论,1).一点的应力状态 研究构件内一点处所截取的微正六面体 单元不同截面上应力的变化规律。 当单元体上某截面上剪应力为零,该平面称为主平面,主平面上的正应力称为主应力。 主平面有三个,它们相互正交,因此主应力 有三个,按由大到小记为1 2 3。,2).强度理论 a)脆性材料的断裂理论 第一强度理论(最大拉应力理论) 1b/nb= 第二强度理论(最大应变理论) 1-(2+3) b/nb=,b)塑性材料的断裂理论 第三强度理论(最大剪应力理论) 1-3 s/ns=,第四强度理论(形状改变比能理论) 1/2(1-2)2+ (2-3)2+(3-1)21/2 s/ns= 如果是平面应力状态,上式成为 1/2(1)2- 12+(3)21/2 s/ns=,注意: 根据上述强度理论，必须根据具体问题 掌握单元体的应力状态图的绘制，及主应力的计算。对于平面应力问题,主应力为: 1=(x+y)/2+(x-y)/22+()21/2 2=(x+y)/2-(x-y)/22+()21/2,5.组合变形问题,组合变形分为:斜弯曲,拉弯组合变形和弯 扭组合变形三类。 1)求解斜弯曲问题的步骤为: a).将载荷分解到两个形心主惯性平面; b).分别求载荷引起的弯矩; c).分别求各弯矩作用下引起的应力(变 形); d).求合成应力(变形),需要注意的几个问题: a).具体计算时,应判断各载荷分量产生的应力是拉应力还是压应力; b).正确区分平面弯曲与斜弯曲 平面弯曲:梁的挠曲线是载荷作用平面内 的一条曲线; 斜弯曲:梁的挠曲线不再载荷作用平面内.,挠曲线平面与铅垂面之间的夹角和载 荷作用面与铅垂面之间的夹角两者存在如 下关系: tg=(Iy/Iz)tg 如果Iy=Iz,则=,则为平面弯曲;若IyIz,则,则为斜弯曲。,2)拉弯组合变形,当轴向载荷与横向载荷同时作用构件上,则产生拉弯组合变形。若构件的抗弯刚度较大,弯曲变形所产生的挠度远小于截面尺寸,则可采用叠加法求解,截面上任一点的正应力为: =FS/A+My*Z/Iy+Mz*Y/Iz 上式中:A横截面面积,Iy,Iz横截面对y,z轴的惯性矩。,3).弯扭组合变形,圆截面杆同时受到弯曲与扭转作用时,通常横截面上有弯矩My、Mz和扭矩T,将弯矩合成为M=(My2+Mz2)1/2,危险点处的最大正应力和最大剪应力分别为: =M/W, =T/Wn 该点处于平面应力状态,对于塑性材料其强度 条件为:,按笫三强度理论: =(M2+T2)1/2/W 按笫四强度理论: =(M2+0.75xT2)1/2/W 对于非圆形截面,危险点处的扭转剪应力应按 非圆形截面杆计算,而弯曲正应力也不应求合 成弯矩,而是分别求出My,Mz所对应的正应力 ,叠加得到总的正应力,然后按第三,第四强,度理论建立强度条件,即 笫三强度理论 (2+42)1/2 笫四强度理论 (2+32)1/2 在求解具体问题时应注意如下问题: 1)根据构件受力的具体情况,分解出扭矩和 弯矩;,2).对扭矩作扭矩图,对弯矩如有必要分解为水平面内弯矩和铅垂面内弯矩,并分别作弯矩图; 3).将两个弯矩图按几何和进行合成; 4).进行强度校核时,要对扭矩和合成弯矩最大的截面中的危险点进行校核。,6.用能量法求变形,1.变形能计算 拉(压)变形能: U=1/2FN2(x)/(EA)dx 弯曲变形能: U=1/2M2(x)/(EI)dx 扭转变形能: U=1/2T2(x)/GJpdx 如果积分中的任一参数是分段给出,则其积分应分段计算。,2.莫尔积分法(单位力法) 莫尔积分法是用于求指定点的位移f(转角),它需在指定点施加一单位力F0=1(m0=1),令 F0=1(m0=1)引起的弯矩为M0(x),于是计算位移f()的莫尔积分为: f()=M(x) M0(x)/(EI)dx 3.卡氏定理: i=U/pi,其中U是系统的总变形 能,而pi是要求位移处的载荷。,7.交变应力,交变应力-受载构件内一点的应力大小和(或)符号随时间呈周期性地变化,它有5个特征量。即: 循环特性 r=max/ mix ; 平均应力 m=(max+mix )/2 ; 应力幅值 a=(max-mix )/2 ;,8.动载荷,定义:使构件内各点产生加速度的载荷称为动 载荷;构件在动载荷作用下产生的应力 为动应力。 动荷系数kd:以Fd,d,d分别表示动载荷,动应力和动位移;以Fs,s,s分别表示静载荷,静应力和静位移,则动荷系数kd可表示为: kd= Fd/Fs=d/s=d/ s,1.构件以等加速度运动时的动应力 依据达朗贝尔原理将惯性力作为静载处理,根据静力平衡求内力。 2.承受冲击载荷时构件的动应力 忽略冲击中的能量损失,依据能量守恒,刚 体冲击物在冲击过程中减少的动能T和势能V 应等于被冲击物的弹性变形能Ud,即: T+V=Ud,3.自由落体冲击时的动荷系数 如果S表示重物Q以静荷作用于被冲击物体上的变形,而h表示重物与被冲击之间的距离,即重物的下落高度,那么动荷系数为: kd=1+(1+2h/S)1/2,9.压杆稳定,失稳与强度不足是两类不同的概念,强度不足是指结构处于同一平衡状态下,结构内某些部位的应力超过允许应力,而失稳是指受压构件,当载荷超过临界载荷时,构件便由原有平衡状态过渡到新的平衡状态。 压杆失稳时的压力称为临界压力,其临界压力的欧拉公式为: Fcr=2EI/(l)2; cr=2E/2,其中:是与支座有关的系数: 两端铰支 =1; 两端刚固 =0.5; 一端铰支另一端固定 =0.7; 一端自由另一端固定 =2。 =l/I; 而i=(I/A)1/2。,注意: 1)此处I应为杆件横剖面的最小惯性矩; 2)是杆件的柔度系数，根据的数值不同，可以将压杆分为细长杆，中长杆和短压杆。细长杆用欧拉公式计算临界应力，这时crF，这种杆只发生失稳破坏而不会发生强度破坏。反之，短杆只发生强度破坏而不发生失稳破坏。因为若用欧拉公式计算，这种短杆的临界应力已经超过了屈服极限或强度极限。,最复杂的是介于上述两种情况之间的中等柔度杆，它既有强度破坏的性质又有较明显的失稳现象。通常是根据实验数据来处理这类问题，有各种不同的经验公式，直线经验公式是最简单实用的一种。必须注意，上述三种不同柔度杆的划分，其分界点的值对不同材料是不同的，直线公式的系数也因材料不同而异，详见相关教材。 注意：在计算压杆失稳问题时，必须先要计算值，然后方能确定用什么公式计算失稳临界力。,临界力计算的步骤,10. 超静定问题,未知力数目多于静力平衡方程数目的弹性系统称为超静定系统。 静不定次数=未知力数目-静力平衡方程数目,一.分析的基本步骤 1 判别结构的静不定次数； 2 放松多余的内外约束，将静不定结构转化为静定的基本结构，简称静定基。静定基必须是几何不可动的，仍能承受外载荷作用。 3 按多余内外约束的实际变形情况写出变形协调条件（静定基必须和静不定结构的变形一致），并建立补充方程。 4 将平衡方程和补充方程联立求解。,二.对称性的利用 所谓对称性是指载荷与结构均对称。 定理一： 对称载荷作用在对称的结构上，在结构的对称平面内反对称的内力一定为零，即轴力和剪力为零。 根据该定理，在对称面就可以将结构简化为可上下滑动的固定端，这样就可以只取结构一半进行计算。,定理二： 反对称载荷作用在对称的结构上，在结构的对称平面内对称的内力一定为零，即弯矩为零。 根据该定理，在对称面就可以将结构简化为简支座，这样也可以只取结构一半进行计算。,二 综合应用问题,1.静载与动载相结合; 2.强度问题与稳定问题相结合; 3.基本变形的组合; 4.静载变形与温度载荷相结合; 5.静载变形与安装偏差相结合; 6.强度问题与变形问题相结合。,材料力学例题分析,三,一、图示铸铁T 型截面梁，已知：Iz=7.65106mm4，材料的 许用拉应力t=40MPa，许用压应力C=60MPa，试 确定此梁的许用负荷P。,（二）绘C、B 截面的应力分布图。,（三）确定许用荷载P,二、图示结构，CD 杆的直径d=40mm，E=2105MPa，,p=100，试求结构的临界荷载 。,解：（一）确定CD 杆的临界力,CD 杆为细长压杆，可由欧拉公式计算其临界力,(二)求结构的临界荷载,由结构的平衡条件 得：,三、重物 Q 从高度 H 处自由下落在图示结构 B 处，求,梁内最大动应力；, C 截面的挠度。,（AC 梁抗弯模量W1,是CD 梁抗弯模量W2,的 倍）,解（一）求C处约束力,（二）求动荷载系数KD,a冲击点B处的静位移,b动荷载系数KD,（三）梁内最大动应力,梁内最大动应力为,（四）C 处的挠度,C 处静位移为：,C 处动位移为：,四、图示托架中，已知圆截面杆 DC 的直径 d =100mm ，材料 E = 1104MPa ，P = 8MPa 。试求托架的临界荷 qcr 。,解：（一）确定 CD 杆的临界力,，CD 杆的临界力计算式可用欧拉公式,其临界力为：,（二）求结构的临界荷载 qcr,五、相同两梁，受自由落体冲击。已知弹簧刚度 ，,动荷系数 ，求图示两种情况下的动荷系数之,比及最大动应力之比。,解：（一）图 a 为超静定问题,2求动荷系数和最大动应力,（二）求图 b 梁的动荷系数和最大动应力,（三）两种情况下的动荷系数之比和最大动应力之比,动荷系数之比：,最大动应力之比：,六. 图示钢制实心圆轴，其齿轮C上作用铅直切向