[理学]概率统计3随机向量.ppt

第三章 随机向量,第一节 二维随机向量及其分布,第二节 边缘分布,第三节 条件分布,第四节 随机变量的独立性,第五节 两个随机变量的函数的分布,1、二维随机向量及其分布函数,定义1：设E是一个随机试验，它的样本空间是=.设X()与Y()是定义在同一样本空间上的两个随机变量,则称(X(),Y()为上的二维随机向量或二维随机变量。简记为(X,Y).,定义2：设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x,y，称二元函数 F(x,y)=PXx，Yy 为二维随机向量(X,Y)的分布函数或联合分布函数。,第一节 二维随机向量及其分布,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,从几何图形上看,二维随机变量可看作是平面上的随机点(X,Y).,它的分布,函数F(x,y)表示随机点(X,Y),落入以(x,y)为顶点的无穷矩,形区域的概率.,二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)的性质:,(1).单调性:,F(x,y)是x的不减函数,同时也是y的不减函数.,事实上,固定y,当,.,上一页,下一页,返回,(2).有界性:,(3).右连续性:,上一页,下一页,返回,(4).对任意的ab,cd,有,事实上:,注:,一个二元函数F(x,y)若同,时具有上述四条性质, 它,必为某一二维随机变量的,分布函数.,上一页,下一页,返回,2、二维离散型随机变量,定义3：若二维随机变量(X,Y)的所有可能取值是有限对或无限可列多对,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。,设(X,Y)的一切可能值为(xi,yj)，i,j=1,2, ，且(X,Y)取各对可能值的概率为 PX=xi，Y=yj=pij， i,j=1,2, (*),称(*)式为(X,Y)的(联合)概率分布或(联合)分布律，,(X,Y)的分布律也可用表格形式表示,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,分布律的性质:,(1).非负性:,(2).规范性:,上一页,下一页,返回,例1 设二维离散型随机变量（X，Y）的分布律如下表：,求PX1,Y3及PX=1.,解: PX1,Y3=PX=2,Y=3+PX=2,Y=4 +PX=3,Y=3+PX=3,Y=4 =0.3；,PX=1=PX=1,Y=1+PX=1,Y=2+PX=1,Y=3,+PX=1,Y=4=0.2.,上一页,下一页,返回,例2.,一整数X随机地在1,2,3三个整数中取一个值,另一个整数Y随机地在1X中取一个值,试求(X,Y)的分布律及P(X=Y).,解:,上一页,下一页,返回,3 、二维连续型随机变量,定义4：设(X,Y)为二维随机变量,(X,Y)的分布函数为F(x,y).若存在非负二元函数f(x,y),对于任意实数x,y，有,上一页,下一页,返回,z=f(x,y)的图形称为分布曲面.,上一页,下一页,返回,(1).联合密度函数f(x,y)的性质,1)非负性:,f(x,y)0,即分布曲面在xoy平面的上方.,2)规范性:,(2).设G是平面上的一个区域,则,几何意义:,上一页,下一页,返回,=f(x,y)；,（3） 若f（x，y）在点（x，y）处连续，则有,常用多维分布,设G是平面上的有界区域,其面积为A,若二维随机变量(X,Y)的概率密度为,二维均匀分布,则称(X,Y)在区域G上服从均匀分布.,上一页,下一页,返回,二维正态分布,若(X,Y)的密度函数为:,上一页,下一页,返回,二维正态分布的分布曲面形状像个山岗,在点 处达到最高峰.,上一页,下一页,返回,二维正态分布图,上一页,下一页,返回,例3 .设（X，Y）在圆域x2+y24上服从均匀分布，求 （1）（X，Y）的概率密度； （2） P0X1，0Y1.,解 （1）圆域x2+y24的面积A=4，故（X，Y）的概率 密度为,f（x，y）=,（2） G为不等式0x1，0y1所确定的区域， 所以,P0X1，0Y1=,上一页,下一页,返回,例4 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为,(1) 确定常数k；（2）求（X，Y）的分布函数；,f（x，y）=,（3）求PXY.,=,1,=k/6,=,解 (1),于是，k=6.,上一页,下一页,返回,F（x,y）=,(2) 由定义有,(3) PXY=,=,上一页,下一页,返回,例5 设（X,Y）N（0,0,2,2,0）,求PXY.,解 f（x，y）=,（-x，y+），所以,PXY=,令x=rcos, y=rsin，,PXY=,则,4、n维随机变量,设E是一个随机试验,它的样本空间是= , 设随机变量 是定义在同一样本空间 上的n个随机变量，则称向量 为n维随机向量或n维随机变量.简记为,设 是n维随机变量，对于任意实数 ,称n元函数 为n维随机变量 的联合分布函数。,上一页,下一页,返回,X和Y自身的分布函数分别称为二维随机向量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数，分别记为FX(x), FY(y)。当已知(X,Y)的联合分布函数F(x,y)时，可通过,求得两个边缘分布函数.,第二节 边缘分布,上一页,下一页,返回,例1:设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,1、二维离散型随机变量的边缘分布,设二维离散随机变量(X,Y)的分布律为:,上一页,下一页,返回,此为概率分布表中第i行的概率之和,Y的分布律为:,此为概率分布表中第j列的概率之和,上一页,下一页,返回,X和自身的分布律分别称为(X,Y)关于X和Y的边缘分布律.,上一页,下一页,返回,例2.,袋内装2个白球3个黑球,采用放回摸球和不放回摸球两种方式.定义下列随机变量,求两种摸球方式下,(X,Y)的联合分布及边缘分布.,解:,(X,Y)的分布律及边际分布律如下表:,放回摸球,不放回摸球,上一页,下一页,返回,该例说明:联合分布可唯一确定边缘分布,反之,边缘分布,一般不能确定联合分布.,2、二维连续型随机变量的边缘分布,设(X,Y)为二维连续型随机向量，具有概率密度f(x,y)则,从而知，X为连续型随机变量且概率密度为,同理，Y也是连续型随机变量，其概率密度为,上一页,下一页,返回,例3 设随机变量X和Y具有联合概率密度,f（x，y）=,求边缘概率密度fX（x），fY（y）.,fX（x）=,解,fY（y）=,上一页,下一页,返回,例4.,解:,上一页,下一页,返回,同理,上一页,下一页,返回,这说明,注:X与Y的边缘分布,一般不能确定联合分布.,分布的两个边缘分布都是一维正态分布.,即,二维正态,第三节 条件分布,1.二维离散型随机变量的条件分布律,定义1:,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,解 (1) 由联合分布律表可知边缘分布律.,于是,上一页,下一页,返回,PX=1Y=1= =12/25；,PX=2Y=1= =6/25；,PX=3Y=1= =4/25；,PX=4Y=1= =3/25.,上一页,下一页,返回,即，在Y=1的条件下X的条件分布律为,(2) 同理可求得在X=2的条件下Y的条件分布律为,上一页,下一页,返回,例2： 一射手进行射击,每次射击击中目标的概率均为p(0p1)且假设各次击中目标与否相互独立,射击到击中目标两次为止.记X表示首次击中目标所需要的射击次数, Y表示总共进行的射击次数.试求(X,Y)的联合分布律和条件分布律.,解: 由题意,X=i表示首次击中目标射击了i次,Y=j表示第二次击中目标共射击了j 次,因而ij, X=i, Y=j表示第i次和第j次击中目标而其余j-2次均未击中目标.于是(X,Y)的联合分布律为：,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,2.二维连续型随机变量的条件分布,定义2： 对固定的实数y，设对于任意给定的正数， Py-0,且若对于任意实数x，极限,存在，则称此极限为在Y=y的条件下X的条件分布函数， 记作P 或记为 .,同样,在X=x条件下随机变量Y的条件分布函数为,上一页,下一页,返回,设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，概率密度为f(x,y)。若在点(x,y)处f(x,y)连续，边缘概率密度fY(y)连续，且fY(y)0，则有：,亦即,上一页,下一页,返回,类似地在相应条件下可得在X=x条件下Y的条件分布密度为,若记 为条件Y=y下X的条件分布密度，则由上式知：,上一页,下一页,返回,且有边缘概率密度,当1y1时有：,解： (X,Y)的概率密度为,例3： 设随机变量(X,Y)在区域D=(x,y)x2+y21上服从均匀分布，求条件概率密度 。,上一页,下一页,返回,特别y=0和y= 时条件概率密度分别为,类似于条件概率的乘法公式，也有,上一页,下一页,返回,例4 设(X,Y)N(0,0,1,1,),求fXY(xy)与fYX(yx).,解 易知f(x,y)= （-x，y+），,fXY（xy）=,fYX（yx）=,上一页,下一页,返回,例5 设随机变量XU(0,1),当观察到X=x（0x1）时, YU(x,1),求Y的概率密度fY（y）.,解 按题意,X具有概率密度,fX（x）=,类似地,对于任意给定的值x(0x1)，,在X=x的条件下，,Y的条件概率密度,fYX（yx）=,上一页,下一页,返回,因此,X和Y的联合概率密度为,f(x,y)=fYX(yx)fX(x)=,于是,得关于Y的边缘概率密度为,fY(y)=,上一页,下一页,返回,定义:设X,Y是两个随机变量,若对任意的实数x,y,事件(Xx)与(Yy)相互独立,即,P(Xx, Yy)=P (Xx) P(Yy) *,则称X与Y相互独立.,* 式即为:,第四节 随机变量的独立性,上一页,下一页,返回,(1),(2),例1.,一整数X随机地在1,2,3三个整数中取一个值,另一个整数Y随机地在1X中取一个值,求得(X,Y)的联合分布律及边际分布律如下表:,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,例2 设（X，Y）在圆域x2+y21上服从均匀分布，问X 和Y是否相互独立？,解 （X，Y）的联合分布密度为,f（x，y）=,由此可得,fX（x）=,fY（y）=,在圆域x2+y21上，f（x，y）fX(x)fY(y), 故X和Y不相互独立.,上一页,下一页,返回,例3. 设X和Y分别表示两个元件的寿命（单位：小时）， 又设X与Y相互独立，且它们的概率密度分别为,fX（x）=,fY（y）=,求X和Y的联合概率密度f（x，y）.,解 由X和Y相互独立可知,f（x，y）=fX（x）fY（y）,=,于是,上一页,下一页,返回,第五节 两个随机变量函数的分布,设(X,Y)是二维随机变量,则Z=g(X,Y)是一维随机变量,本节问题:如何由(X,Y)的分布,求出Z=g(X,Y)的分布.,1.二维离散随机变量函数的分布,例1 设（X,Y）的分布律为,求 X+Y, X-Y ,XY及X/Y的分布.,X,上一页,下一页,返回,解：先列出下表,于是X+Y的分布律为,上一页,下一页,返回,同理X-Y的分布律为,XY及X/Y的分布律分别为,上一页,下一页,返回,例2.,解:,依题意得:,将“同一类分布的独立随机变量之和的分布仍为这类分布”的这种性质称为分布具有可加性.因此,泊松分布和二项分布都具有可加性.,上一页,下一页,返回,设(X,Y)为二维连续型随机变量，具有概率密度f(x,y)，若Z=g(X,Y)为连续随机变量,求Z的概率密度,为求Z的概率密度，可先求出Z的分布函数,2、二维连续型随机变量函数的分布,上一页,下一页,返回,求解过程中，关键在于将事件Zz等价地转化为用(X,Y)表示的事件g(X,Y) z=(X,Y) ,其中 。,即首先找出上式右端的积分区域Dz。如果求得了FZ(z) ,那么可通过 求出Z的概率密度 。,上一页,下一页,返回,例3：设 且X与Y相互 独立，求 的概率密度。,由于X与Y相互独立，于是(X,Y)的概率密度为,解 :X和Y的概率密度分别为,先求Z的分布函数FZ(z),当z0时 , FZ(z)=0,当z0时,上一页,下一页,返回,所以,于是可得,上一页,下一页,返回,的概率密度为,如果一随机变量的概率密度为上式，称该随机变量服从参数为的瑞利分布。由题可知，若X,Y独立服从同一分布 则 服从参数为的瑞利分布。,设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，求Z=X+Y的概率密度.,(1)和的分布,上一页,下一页,返回,令,，则Z的分布函数为,固定z和y对积分 作换元法，令x+y=u得,于是：,由概率密度定义，即得Z的概率密度为,由X与Y的对称性，又可得,当X与Y相互独立时，有,其中 分别是X和Y的密度函数。,上一页,下一页,返回,卷积公式,上一页,下一页,返回,例4 设X和Y是两个相互独立的随机变量，它们都服从 N(0,1）,求Z=X+Y的概率分布密度.,解 由题设知X，Y的分布密度分别为,fX（x）=, -x+，,fY（y）=, -y+.,由卷积公式知,fZ(z)=,上一页,下一页,返回,设t=,，得,fZ(z),即Z服从N（0，2）分布.,一般,设X,Y相互独立,且XN(1,12),YN（2,22),则 Z=X+YN（1+2,12+22）.这个结论还能推广到