九年级数学下册直角三角形的边角关系章末小结与提升课时作业（新版）北师大版.docx

直角三角形的边角关系章末小结与提升直角三角形的边角关系锐角三角函数定义sinA=A的对边斜边=accosA=A的邻边斜边=bctanA=A的对边A的邻边=ab锐角三角函数间关系sinA=cosB,tanAtanB=1sin2A+cos2A=1,tanA=sinAcosA特殊角的三角函数值sin30=12,sin45=22,sin60=32cos30=32,cos45=22,cos60=12tan30=33,tan45=1,tan60=3解直角三角形解直角三角形定义:由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程常用关系式三边之间的关系a2+b2=c2两锐角间的关系A+B=90边角之间的关系(锐角三角函数)应用举例基本概念仰角、俯角坡度、坡角方位角应用直角三角形解决实际问题的步骤审题建模解题答题类型1锐角三角函数典例1如图,方格中的每个小正方形的边长均为1,已知ABC的三个顶点均在小正方形的顶点上,则sin B的值为()A.33B.233C.253D.55【解析】如图,连接CD,由勾股定理得CD=2,BC=10,BD=22,则CD2+BD2=BC2,CDB=90,sinB=CDBC=210=55.【答案】 D【针对训练】1.如图,由6个形状、大小完全相同的小矩形组成矩形网络,小矩形的顶点称为这个矩形网络的格点,已知小矩形较短边长为1,点A,B,C,D都在格点上,则sin BAD的值为(A)A.55B.12C.255D.22.如图,RtABC中,BAC=90,ADBC于点D,设ABC=,则下列结论错误的是(D)A.BC=ACsinB.CD=ADtanC.BD=ABcosD.AC=ADcos3.(舟山中考)如图,把n个边长为1的正方形拼接成一排,求得tan BA1C=1,tan BA2C=13,tan BA3C=17,计算tan BA4C=113,按此规律,写出tan BAnC=1n2-n+1.(用含n的代数式表示)类型2特殊角的三角函数值典例2已知,均为锐角,且满足sin-12+(tan-1)2=0,则+=.【解析】sin-12+(tan-1)2=0,sin=12,tan=1,=30,=45,+=30+45=75.【答案】 75【针对训练】1.在ABC中,三边之比为BCACAB=132,则sin A+tanA等于(A)A.3+236B.12+3C.332D.3+122.在ABC中,A,B为锐角,且有|tan B-3|+(2sin A-3)2=0,则ABC的形状是等边三角形.3.计算:2tan45-sin23023tan60-sin260-2sin60+1.解:原式=21-122233-32-12=2-146-1-32=724-1+32=32-1724.类型3解直角三角形1.在ABC中,已知C=90,BC=4,sin A=23,那么AC边的长是(B)A.6B.25C.35D.2132.如图,在ABC中,ACB=90,sin A=45,BC=8,D是AB的中点,过点B作直线CD的垂线,垂足为E.(1)求线段CD的长;(2)求cosABE的值.解:(1)在ABC中,ACB=90,sin A=BCAB=45,又BC=8,AB=10,D是AB的中点,CD=12AB=5.(2)在RtABC中,AB=10,BC=8,AC=AB2-BC2=6,D是AB的中点,BD=5,SBDC=12SABC,即12CDBE=1212ACBC,BE=245,在RtBDE中,cosDBE=BEBD=2425.3.如图所示,把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12 mm的横格纸中,恰好四个顶点都在横格线上,已知=36,求长方形卡片的周长.(结果精确到1 mm,参考数据:sin 360.60,cos 360.80,tan 360.75)解:作BEl于点E,DFl于点F.+DAF=180-BAD=90,ADF+DAF=90,ADF=36.根据题意得BE=24 mm,DF=48 mm.在RtABE中,sin =BEAB,AB=BEsin3640 mm.在RtADF中,cosADF=DFAD,AD=DFcos3660 mm.长方形卡片的周长为2(40+60)=200 mm.类型4解直角三角形的应用典例3(烟台中考)某中学广场上有旗杆如图1所示,在学习解直角三角形以后,数学兴趣小组测量了旗杆的高度.如图2,某一时刻,旗杆AB的影子一部分落在平台上,另一部分落在斜坡上,测得落在平台上的影长BC为4米,落在斜坡上的影长CD为3米,ABBC,同一时刻,光线与水平面的夹角为72,1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米,求旗杆的高度.(结果精确到0.1米,参考数据:sin 720.95,cos 720.31,tan 723.08)【解析】如图,作CMAB交AD于点M,MNAB交AB于点N.由题意得CMCD=PQQR,即CM3=12,解得CM=32,在RtAMN中,ANM=90,MN=BC=4,AMN=72,tan72=ANMN,AN12.3,MNBC,ABCM,四边形MNBC是平行四边形,BN=CM=32,AB=AN+BN=13.8米.【针对训练】1.如图,大海中某岛C的周围25 km范围内有暗礁.一艘海轮沿正东方向航行,在A处望见C在北偏东60处,前进20 km后到达点B,测得C在北偏东45处.如果该海轮继续沿正东方向航行,有无触礁危险?请说明理由.(参考数据:21.41,31.73)解:没有触礁危险.理由:过点C作CDAB,交AB的延长线于点D.由题意可知ACD=60,BCD=45,设CD=x.在RtACD中,tanACD=ADCD,AD=3x.在RtBCD中,tanBCD=BDCD,BD=x.AD-BD=AB,3x-x=20,x=203-127.4 km.27.425,该海轮继续沿正东方向航行,没有触礁危险.2.(安徽中考)为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面上水平放置一个平面镜E,使得点B,E,D在同一水平线上,如图所示,该小组在标杆的F处测得旗杆顶A的仰角为39.3,平面镜E的俯角为45,FD=1.8米,问旗杆AB的高度约为多少米?(结果保留整数,参考数据:tan 39.30.82,tan 84.310.02)解:方法一:由题意知AEB=FED=45,AEF=90.在RtAEF中,tanAFE=AEFE,AEFE=tan 84.310.02,在ABE和FDE中,ABE=FDE=90,AEB=FED.ABEFDE,ABFD=AEFE,则ABFD=10.02,AB=10.02FD=18.03618(米).答:旗杆AB的高度约为18米.方法二:作FGAB于点G,AG=AB-GB=AB-FD=AB-1.8,由题意知ABE和FDE均为等腰直角三角形,AB=BE,DE=FD=1.8,FG=DB=DE+BE=AB+1.8.在RtAFG中,tanAFG=AGFG,即AGFG=tan 39.3,AB-1.8AB+1.80.82,解得AB=18.218米.答:旗杆AB的高度约为18米.3.如图,直线l与t轴垂直,垂足为D,它与从原点出发的三条射线分别交于点A,B,C.射线OA,OB,OC分别表示正常行走的人,站在自动扶梯上不走的人,在自动扶梯上同时正常行走的人所移动的路程s(m)与时间t(min)的函数关系,在这些关系中,正常行走的人的速度相同,自动扶梯的速度也相同.(1)猜想线段AD,BD,CD之间满足的数量关系,并说明理由;(2)已知COD=60,BOD=45,正常行走的人的速度是自动扶梯的速度的多少倍?解:(1)CD-BD=AD.理由:在时间相同的情况下,AD=tv人,BD=tv自动扶梯,CD=tv人+自动扶梯.CD-BD=tv人+自动扶梯-tv自动扶梯=t(v人+自动扶梯-v自动扶梯)=tv人=AD.(2)在RtCOD中,tanCOD=CDOD,CD=3OD.在RtBOD中,tanBOD=BDOD,BD=OD,AD=CD-BD=(3-1)OD,v人v自动扶梯=ADODBDOD=(3-1)ODODODBD=3-1,即正常行走的人的速度是自动扶梯的速度的(3-1)倍.4.美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过,沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一.数学课外实践活动中,小林在南滨河路上的A,B两点处,利用测角仪分别对北岸的一个观景亭D进行了测量.如图,测得DAC=45,DBC=65.若AB=132米,求观景亭D到南滨河路A