医用高等数学第四章ppt课件

第四章 不定积分 Integration,第一节、不定积分的概念和性质 第二节、换元积分法和分部积分法 第三节、有理式积分法,第一节 不定积分的概念和性质,原函数和不定积分的概念 不定积分的几何意义 不定积分的性质 不定积分的基本公式及线性运算法则,例,定义：,一、原函数与不定积分的概念,原函数存在定理：,简言之：连续函数一定有原函数.,问题：,(1) 原函数是否唯一？,例,（ 为任意常数）,(2) 若不唯一它们之间有什么联系？,关于原函数的说明：,（1）若 ，则对于任意常数 ，,（2）若 和 都是 的原函数，,则,（ 为任意常数）,证,（ 为任意常数）,不定积分的定义：,例1 求,解,解,例2 求,例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（1，2）,所求曲线方程为,几何意义： 函数 f(x)的不定积分 是一族积分曲线(在每一条积分曲线上横坐标相同的点x处作切线，切线相互平行，其斜率都是f(x),x,x,y,o,二、不定积分的几何意义,由不定积分的定义，可知,结论：,微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,三、基本积分表,基本积分表 ,是常数);,说明：,例4 求积分,解,根据积分公式（2）,例5、求积分,例6、求积分,证,等式成立.,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,三、 不定积分的性质,例7 求积分,解,例8 求积分,解,例9 求积分,解,例10 求积分,解,说明：,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.,解,所求曲线方程为,基本积分表(1),不定积分的性质,原函数的概念：,不定积分的概念：,求微分与求积分的互逆关系,四、 小结,思考题,符号函数,在 内是否存在原函数？为什么？,思考题解答,不存在.,假设有原函数,故假设错误,所以 在 内不存在原函数.,结论,每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.,第二节 换元积分法和分部积分法,一、第一类换元法（“凑”微分法） 二、第二类换元法 三、分部积分法,问题,？,解决方法,利用复合函数，设置中间变量.,过程,令,一、第一类换元法,在一般情况下：,由此可得换元法定理,第一类换元公式（凑微分法）,说明,使用此公式的关键在于将,化为,观察重点不同，所得结论不同.,定理1,例1 求,解（一）,解（二）,解（三）,例2 求,解,一般地,例3 求,解,例4 求,解,例5 求,解,例6 求,解,例7 求,解,例8 求,解,例9 求,原式,例10 求,解,例11 求,解,说明,当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.,例12 求,解（一）,（使用了三角函数恒等变形）,解（二）,类似地可推出,问题,解决方法,改变中间变量的设置方法.,过程,令,（应用“凑微分”即可求出结果）,二、第二类换元法,第二类积分换元公式,例16 求,解,令,例17 求,解,令,例18 求,解,令,说明(1),以上几例所使用的均为三角代换.,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.,说明(2),（三角代换很繁琐）,令,解,例20 求,解,令,说明(3),当分母的阶较高时, 可采用倒代换,令,解,例22 求,解,令,（分母的阶较高）,例23 求,解,令,基本积分表 ,问题,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则.,分部积分公式,三、分部积分法,例24 求积分,解（一）,令,显然， 选择不当，积分更难进行.,解（二）,令,例25 求积分,解,（再次使用分部积分法）,总结,若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数),例26 求积分,解,令,例27 求积分,解,总结,若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为 .,例28 求积分,解,例29 求积分,解,注意循环形式,三、小结,两类积分换元法：,（一）“凑”微分,（二）换元法（三角代换、倒代换、根式代换）,基本积分表,合理选择 ，正确使用分部积分公式,分部积分法,思考题,求积分,思考题解答,思考题,在接连几次应用分部积分公式时， 应注意什么？,思考题解答,注意前后几次所选的 应为同类型函数.,例,第一次时若选,第二次时仍应选,第三节 几类特殊函数的不定积分,一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分,有理函数的定义：,两个多项式的商表示的函数称之.,一、有理函数的积分,假定分子与分母之间没有公因式,这有理函数是真分式；,这有理函数是假分式；,利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.,例,难点,将有理函数化为部分分式之和.,（1）分母中若有因式 ，则分解后为,有理函数化为部分分式之和的一般规律：,特殊地：,分解后为,特殊地：,分解后为,真分式化为部分分式之和的待定系数法,例1,代入特殊值来确定系数,取,取,取,并将 值代入,例2,求积分,解,例3,整理得,求积分,解,说明,将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：,多项式；,讨论积分,令,则,记,这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.,结论,有理函数的原函数都是初等函数.,三角有理式的定义：,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为,二、三角函数有理式的积分,（万能置换公式）,例7 求积分,解,由万能置换公式,例8 求积分,解（一）,解（二）,修改万能置换公式,令,结论:,比较以上两种解法, 便知万能置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段