高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示学案.docx

31.4空间向量的正交分解及其坐标表示1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题2.理解基底、基向量的概念3掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中正确写出向量的坐标学生用书P571空间向量基本定理条件三个不共面的向量a，b，c和空间任一向量p结论存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc2.基底(1)条件：三个向量a，b，c不共面(2)结论：a，b，c叫做空间的一个基底(3)基向量：基底中的向量a，b，c都叫做基向量(1)基底选定后，空间所有向量均可由基底惟一表示(2)构成基底的三个向量a，b，c中，没有零向量，其中的每个向量称为基向量 3空间向量的正交分解及其坐标表示单位正交基底有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，记作e1，e2，e3空间直角坐标系以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxe1ye2ze3，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p(x，y，z) 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底()(2)若a，b，c为空间一个基底，则a，b，2c也可构成空间一个基底()(3)若向量的坐标为(x，y，z)，则点P的坐标也为(x，y，z)()(4)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面()答案：(1)(2)(3)(4) 下列各组向量能构成一个基底的是()A长方体ABCDA1B1C1D1中的向量，B三棱锥ABCD中的向量，C三棱柱ABCA1B1C1中(E是A1C1的中点)的向量，D四棱锥SABCD中的向量，答案：B 已知正方体OABCOABC的棱长为1，若以，为基底，则向量的坐标是()A(1，1，1) B(1，0，1)C(1，1，1) D(1，0，1)答案：A探究点1空间向量的基底学生用书P58已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3，试判断，能否作为空间的一个基底【解】假设，共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使得x y 成立，即e12e2e3x(3e1e22e3)y(e1e2e3)(3xy)e1(xy)e2(2xy)e3.因为e1，e2，e3是空间的一个基底，所以e1，e2，e3不共面，所以，此方程组无解即不存在实数x，y，使得xy成立，所以，不共面故，能作为空间的一个基底基底的判断思路判断给出的三个向量能否构成基底，关键是要判断这三个向量是否共面首先应考虑三个向量中是否有零向量，其次判断三个非零向量是否共面如果从正面难以入手判断，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面 设xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底，给出下列向量组：a，b，x，b，c，z，x，y，abc，其中可以作为空间一个基底的向量组有()A1个 B2个C3个 D.0个解析：选B.因为xab，所以向量x，a，b共面如图，令a，b，c，则x，y，z，abc.可知向量b，c，z和x，y，abc不共面，故选B.探究点2空间向量基本定理学生用书P58如图，在三棱柱ABCABC中，已知a，b，c，点M，N分别是BC，BC的中点，试用基底a，b，c表示向量，.【解】连接AN(图略)()()(abc)()()abc.变条件若把本例中的“a”改为“a”，其他条件不变，则结果是什么？解：因为M为BC的中点，N为BC的中点，所以()ab.()()()bac.用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果(3)下结论：利用空间向量的一个基底a，b，c可以表示出空间所有向量表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量 已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，M，N分别为PC，PD上的点，且M分PC成定比2，N为PD的中点，求满足xyz的实数x，y，z的值解：法一：如图所示，取PC的中点E，连接NE，则.因为.连接AC，则，所以()，因为，不共面所以x，y，z.法二：()()()，因为、不共面，所以x，y，z.探究点3空间向量的坐标表示学生用书P59在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出，的坐标【解】分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，0)，A1(0，2)，B1(，0，2)，C1(，0，2)，所以(0，0，2)，(，2)，(，2)用坐标表示空间向量的方法步骤如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PAAB1，试建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标解：因为PAABAD1，PA平面ABCD，ABAD，所以，是两两垂直的单位向量设e1，e2，e3，以e1，e2，e3为基底建立空间直角坐标系Axyz.因为()()e2e3，所以.1设p：a，b，c是三个非零向量；q：a，b，c为空间的一个基底，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：选B.当非零向量a，b，c不共面时，a，b，c可以当基底，否则不能当基底当a，b，c为基底时，一定有a，b，c为非零向量因此pq，qp.2三棱锥PABC中，ABC为直角，PB平面ABC，ABBCPB1，M为PC的中点，N为AC的中点，以，为基底，则的坐标为_解析：()()，故.答案：3如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，a，b，c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点(1)用基底a，b，c表示向量，；(2)化简，并在图中标出化简结果解：(1)abc.abc.a(bc)abc.(2)().如图，连接DA1，则即为所求 学生用书P60知识结构深化拓展1.对空间向量基本定理的两点说明(1)任意性：用空间三个不共面的向量可以线性表示出空间中任意一个向量(2)惟一性：基底确定后，空间向量基本定理中实数组x，y，z是惟一的2空间向量坐标表示注意点(1)空间向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为e1，e2，e3，be1e2ke3，则b的坐标为(，k)(2)点的坐标反映了点在空间直角坐标系中的位置，而向量的坐标实质上是该向量在标准正交基底下的分解式的一种简化表示，它也能间接反映向量的方向与大小.学生用书P133(单独成册)A基础达标1已知O、A、B、C为空间四点，且向量，不能构成空间的一个基底，则()A.，共线B.，共线C.，共线DO、A、B、C四点共面解析：选D.由，不能构成基底知、三向量共面，所以一定有O、A、B、C四点共面2已知a，b，c是空间一组基底，pab，qab，一定可以与向量p，q构成空间另一组基底的是()Aa BbCc D.p2q解析：选C.因为a，b，c不共面，所以p，q，c不共面若存在x，yR，使cxpyq(xy)a(xy)b成立，则a，b，c共面，这与已知a，b，c是空间一组基底矛盾，故p，q，c不共面3已知A(1，2，1)关于平面xOy的对称点为B，而B关于x轴的对称点为C，则()A(0，4，2) B(0，4，0)C(0，4，2) D.(2，0，2)解析：选C.易知B(1，2，1)，C(1，2，1)，所以(0，4，2)4.如图，梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，点O为空间内任意一点，设a，b，c，则向量可用a，b，c表示为()Aab2cBab2cCabcD.abc解析：选D.()abc.5设i，j，k是单位正交基底，已知向量p在基底a，b，c下的坐标为(8，6，4)，其中aij，bjk，cki，则向量p在基底i，j，k下的坐标是()A(12，14，10) B(10，12，14)C(14，12，10) D.(4，3，2)解析：选A.依题意，知p8a6b4c8(ij)6(jk)4(ki)12i14j10k，故向量p在基底i，j，k下的坐标是(12，14，10)6在长方体ABCDA1B1C1D1中，若3i，2j，5k，则向量在基底i，j，k下的坐标是_解析：3i2j5k，所以向量在基底i，j，k下的坐标是(3，2，5)答案：(3，2，5)7已知空间的一个基底a，b，c，mabc，nxaybc，若m与n共线，则x_，y_解析：因为m与n共线，所以存在实数，使mn，即abcxaybc，于是有解得答案：118正方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若0(R)，则_解析：如图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF綊A1D，所以，即0，所以.答案：9.如图所示，在三棱锥OABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA1，OB2，OC3，E，F分别为AC，BC的中点，建立以，方向上的单位向量为正交基底的空间坐标系Oxyz，求EF中点P的坐标解：令Ox，Oy，Oz轴方向上的单位向量分别为i，j，k，因为()()()i2j3kijk，所以P点的坐标为.10已知平行六面体OABCOABC，且a，b，c.(1)用a，b，c表示向量；(2)设G，H分别是侧面BBCC和OABC的中心，用a，b，c表示.解：(1)bca.(2)()()(abcb)(abcc)(cb)B能力提升11如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1.若xyz，则xyz()A1 B0C. D.1解析：选C.因为()，所以x1，y1，z，所以xyz.12已知i，j，k是空间直角坐标系Oxyz中x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，且向量pi3jk，则p的坐标为_答案：13(选做题)(2018黑龙江哈师大附中高二(上)期末考试)已知e1，e2，e3为空间的一个基底，且2e1e23e3，e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3.(1)判断P，A，B，C四点是否共面；(2)能否以，作为空间的一个基底？若能，试以这一基底表示；若不能，请说明理由解：(1)假设P，A，B，C四点共面，则存在实数x