2018_2019学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2第2课时空间向量与空间角学案.docx

第2课时空间向量与空间角1.理解直线与平面所成角的概念2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题3体会用空间向量解决立体几何问题的三步曲学生用书P66空间角及向量求法角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为，它们的方向向量为a，b，则cos |cosa，b|直线与平面所成的角设直线l与平面所成的角为，l的方向向量为a，平面的法向量为n，则sin |cosa，n|二面角设二面角l的平面角为，平面，的法向量分别为n1，n2，则|cos |cosn1，n2|0，(1)由于直线a、b所成角，故cos |cosa，b|.(2)直线a与平面所成角，由图形知a，m与的余角相等或互补，故sin |cosa，m|. (3)二面角l的大小0，n，m0，但两角可能相等或互补，因此需借助图形进行判断，判断后再解释结论 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等()(2)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cosn1，n2.()(3)直线与平面所成角的范围为.()答案：(1)(2)(3) 若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于()A30 B150C30或150 D.以上均错答案：A 已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量、法向量，若cosm，n，则直线l与平面所成的角为()A30 B60C120 D.150答案：A 已知两平面的法向量分别为m(0，1，0)，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为_答案：45或135探究点1求两条异面直线所成的角学生用书P67如图所示，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABBC，ABAD，且PAABBCAD1，求PB与CD所成的角【解】建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)，所以(1，0，1)，(1，1，0)，cos，所以，120，故PB与CD所成的角为60.求异面直线夹角的方法(1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解(2)向量法：在两异面直线a与b上分别取点A、B和C、D，则与可分别为a、b的方向向量，则cos .运用向量法常有两种途径：基底法在一些不适合建立坐标系的题型中，我们经常采用取定基底的方法，这是小技巧在由公式cosa，b求向量a、b的夹角时，关键是求出ab及|a|与|b|，一般是把a、b用基向量表示出来，再求有关的量坐标法根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CGCD，H是C1G的中点利用空间向量解决下列问题：(1)求EF与B1C所成的角；(2)求EF与C1G所成角的余弦值；(3)求F，H两点间的距离解：如图，以，为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，E，F，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，G.(1)易得，(1，0，1)，则(1，0，1)(1)0(1)0.所以，即EFB1C.所以EF与B1C所成的角为90.(2)(0，1)，则|.又|，且，所以cos，.即EF与C1G所成角的余弦值为.(3)因为H是C1G的中点，所以H，则.所以FH| .探究点2求直线和平面所成的角学生用书P67(2016高考全国卷)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值【解】(1)证明：由已知得AMAD2.取BP的中点T，连接AT，TN.由N为PC的中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)取BC的中点E，连接AE.由ABAC得AEBC，从而AEAD，且AE .以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C，N，(0，2，4)，.设n(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即可取n(0，2，1)于是|cosn，|，则直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.向量法求线面角的基本步骤(1)分析图形关系，建立空间直角坐标系(2)求出直线的方向向量a和平面的法向量n.(3)求出夹角a，n(4)判断直线和平面所成的角和a，n的关系，求出角. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ACBCCC1，M、N分别是A1B、B1C1的中点(1)求证：MN平面A1BC；(2)求直线BC1与平面A1BC所成角的大小解：(1)证明：根据题意CA、CB、CC1两两垂直，以C为原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设ACBCCC1a，则B(0，a，0)，B1(0，a，a)，C(0，0，0)，C1(0，0，a)，A1(a，0，a)，M，N.所以(a，a，a)，(a，0，a)，.于是0，0，即MNBA1，MNCA1.又BA1CA1A1，故MN平面A1BC.(2)因为MN平面A1BC，所以为平面A1BC的一个法向量，又(0，a，a)，则cos，所以，60.故直线BC1与平面A1BC所成的角为30.探究点3求二面角学生用书P68(2017高考全国卷)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，求二面角APBC的余弦值【解】(1)证明：由已知BAPCDP90，得ABAP，CDPD.由于ABCD，故ABPD，从而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)在平面PAD内作PFAD，垂足为F.由(1)可知，AB平面PAD，故ABPF，可得PF平面ABCD.以F为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.由(1)及已知可得A，P，B，C.所以，(，0，0)，(0，1，0)设n(x1，y1，z1)是平面PCB的法向量，则即可取n(0，1，)设m(x2，y2，z2)是平面PAB的法向量，则即可取m(1，0，1)则cosn，m.所以二面角APBC的余弦值为.利用坐标法求二面角的步骤设n1，n2分别是平面，的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的大小，如图用坐标法解题的步骤如下： (1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系(2)求法向量：在建立的坐标系下求两个平面的法向量n1，n2.(3)计算：求n1与n2所成锐角，cos .(4)定值：若二面角为锐角，则为；若二面角为钝角，则为.如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形(1)证明：O1O底面ABCD；(2)若CBA60，求二面角C1OB1D的余弦值解：(1)证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1AC，DD1BD，又CC1DD1OO1，所以OO1AC，OO1BD，因为ACBDO，所以O1O底面ABCD.(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，ACBD，又O1O底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直如图，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OO1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系设棱长为2，因为CBA60，所以OB，OC1，所以O(0，0，0)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)，平面BDD1B1的一个法向量为n(0，1，0)，设平面OC1B1的法向量为m(x，y，z)，则m，m，所以x2z0，y2z0，取z，则x2，y2，所以m(2，2，)，所以cosm，n.由图形可知二面角C1OB1D的大小为锐角，所以二面角C1OB1D的余弦值为.1如图，已知四边形ABCD为直角梯形，DABABC90，SA平面ABCD，SAABBC1，AD.求平面SAB与平面SCD所成角的余弦值解：如图，以A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，S(0，0，1)，C(1，1，0)，D，(1，1，1)设平面SCD的一个法向量为n(x，y，z)，则n0，n0，所以所以令z1，得n(2，1，1)因为是平面SAB的一个法向量，所以cos，n.设平面SAB与平面SCD的二面角为，由图可知为锐角，所以cos .2.如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1，BCA90，点F1是A1C1的中点，BCCA2，CC11.(1)求异面直线AF1与CB1所成角的余弦值；(2)求直线AF1与平面BCC1B1所成的角解：(1)如图所示，分别以，为x，y，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，由BCCA2，CC11，得A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，1)，A1(2，0，1)，B1(0，2，1)因为F1为A1C1的中点，所以F1(1，0，1)所以(0，2，1)，(1，0，1)所以cos，即异面直线AF1与CB1所成角的余弦值为.(2)因为直三棱柱ABCA1B1C1，所以BB1平面ABC，AC平面ABC，所以BB1AC，因为BCA90，所以BCAC，因为BCBB1B，BC，BB1平面BCC1B1，所以AC平面BCC1B1，所以(2，0，0)是平面BCC1B1的一个法向量设直线AF1与平面BCC1B1所成的角为，则sin |cos，|，所以，所以直线AF1与平面BCC1B1所成的角为. 学生用书P69知识结构深化拓展1.空间角的各角取值范围：异面直线所成角的范围：；线面角的范围：；二面角的范围：0，2线面角涉及斜线的射影，故找出平面的垂线是解题的基本思路用向量法求解斜线与平面所成角的问题，关键是确定斜线的一个方向向量a和平面的一个法向量b，再通过线面角的向量公式sin |cosa，b|(是斜线与平面所成的角)求解，要特别注意a和b的夹角与线面角的关系3利用向量法求二面角的大小时，应注意二面角的大小与两法向量夹角大小的关系，它们之间可能相等，也可能互补，故应在分清关系的情况下求解，避免出现错误. 学生用书P139(单独成册)A基础达标1已知二面角l的两个半平面与的法向量分别为a，b，若a，b，则二面角l的大小为()A. B.C.或 D.或解析：选C.由于二面角的范围是0，而二面角的两个半平面与的法向量都有两个方向，因此二面角l的大小为或，故选C.2已知在棱长为a的正方体ABCDABCD中，E是BC的中点，则直线AC与DE所成角的余弦值为()A.B. C.D.解析：选C.如图所示建立空间直角坐标系，则A(0，0，a)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，E，(a，a，a)，cos，.3如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A. B.C. D.解析：选D.如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，1)，C1(0，2，1)，所以(2，0，1)连接AC，易证AC平面BB1D1D，所以平面BB1D1D的一个法向量为a(2，2，0)所以所求角的正弦值为|cosa，|.4.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA平面AC，若EA1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是()A120 B45C150 D.60解析：选B.以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0，0，1)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，(1，0，1)，(1，1，1)设平面BCE的法向量为n(x，y，z)，则有可取n(1，0，1)又平面EAD的一个法向量为(1，0，0)，所以cosn，故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45.5(2018云南昭通绥江一中高二(上)月考)如图所示，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且PA平面ABCD，PAADAC，点F为PC的中点，则二面角CBFD的正切值为()A. B.C. D.解析：选D.如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PAADAC1，则BD，所以O(0，0，0)，B(，0，0)，F(0，0，)，C(0，0)，(0，0)，易知为平面BDF的一个法向量，由(，0)，(，0，)，可得平面BCF的一个法向量为n(1，)所以cosn，sinn，所以tann，.故二面角CBFD的正切值为.6如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，A1Px，则O(1，1，0)，P(2，x，2)，B(2，2，0)，M(0，2，1)，(1，x1，2)，(2，0，1)所以0，所以直线BM与OP所成的角为.答案：7已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为_解析：由题意得(1，2，0)，(1，0，3)设平面ABC的法向量为n(x，y，z)由，知.令x2，得y1，z，则平面ABC的一个法向量为n(2，1，)平面xOy的一个法向量为(0，0，3)由此易求出所求锐二面角的余弦值为.答案：8正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为_解析：设三棱柱的棱长为1，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，则C1(0，1，1)，A，则.易知平面BB1C1C的一个法向量n(1，0，0)，设AC1与平面BB1C1C的夹角为，则sin |cosn，|，所以cos .答案：9.已知，如图，PA平面ABC，ACBC，PAAC1，BC，求二面角APBC的余弦值解：如图建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，(0，0，1)，(，1，0)，(，0，0)，(0，1，1)设平面PAB的法向量为m(x，y，z)，则即解得令x1，则m(1，0)设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，则即解得令y1，则n(0，1，1)，所以cosm，n.故二面角APBC的余弦值为.10(2018武汉高二期末)如图，在四棱锥PABCD中，O是AD的中点，PO平面ABCD，PAD是等边三角形，ABBCAD1，cosADB，ADBC，ADBD.(1)证明：平面POC平面PAD；(2)求直线PD与平面PAB所成角的大小解：(1)证明：因为PAD是等边三角形，O是AD的中点，所以POAD，在DAB中，因为ABAD1，cosADB，所以cosADB，即BD28BD30，解得BD或BD，因为BDAD2，与ADBD矛盾，所以BD.因为AB2AD21225BD2，所以DAB是直角三角形，BAD90，因为ADBC，O是AD的中点，ABBCAD，所以四边形ABCO是正方形，所以COAD.由，得AD平面POC.又AD平面PAD，所以平面POC平面PAD.(2)如图，以O为坐标原点，OC，OD，OP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，)，(0，1，)，(1，1，)，(0，1，)设n(x，y，z)为平面PAB的法向量，则，所以，令z1，则y，x0，则n(0，1)为平面PAB的一个法向量直线PD与平面PAB所成的角记为，则sin |cosn，|，故60，所以直线PD与平面PAB所成角的大小为60.B能力提升11如图，在四棱锥ABCDE中，底面BCDE为平行四边形，平面ABE平面BCDE，ABAE，DBDE，BAEBDE90.(1)求异面直线AB与DE所成角的大小；(2)求二面角BAEC的平面角的余弦值解：(1)设O是BE的中点， 连接AO、DO，由ABAE，DBDE，得AOBE，DOBE，因为平面ABE平面BCDE，AO平面ABE，平面ABE平面BCDEBE，AOBE，所以AO平面BCDE，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，不妨设OAa，则A(0，0，a)，B(0，a，0)，C(a，2a，0)，D(a，0，0)，E(0，a，0)，所以(0，a，a)，(a，a，0)因此cos，所以异面直线AB与DE所成的角为60.(2)设平面ACE的法向量为n1(x，y，z)因为(0，a，a)，(a，3a，0)，所以取y1，得x3，z1，所以n1(3，1，1)又易知平面ABE的一个法向量为n2(1，0，0)，因此cosn1，n2，设二面角BAEC的平面角为，由图形知是锐角，则cos ，因此二面角BAEC的平面角的余弦值为.12.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC45，PAAD2，AC1.(1)证明：PCAD；(2)求二面角APCD的正弦值；(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30，求AE的长解：如图，以点A为坐标原点，AD，AC，AP所在直线分