2018_2019学年高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例练习新人教A版.docx

1.4 生活中的优化问题举例 A基础达标1炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：)为f(x)x3x28(0x5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是()A8 B. C1 D8解析：选C.原油温度的瞬时变化率为f(x)x22x(x1)21(0x5)，所以当x1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值1.2某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品若该商品零售价定为P元，销售量为Q件，且销量Q与零售价P有如下关系：Q8 300170PP2，则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)()A30元 B60元C28 000元 D23 000元解析：选D.毛利润为(P20)Q，即f(P)(P20)(8 300170PP2)，f(P)3P2300P11 7003(P130)(P30)令f(P)0，得P30或P130(舍去)又P20，)，故f(P)maxf(P)极大值，故当P30时，毛利润最大，所以f(P)maxf(30)23 000(元)3某工厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁(墙壁足够长)，其他三边需要砌新的墙壁，若使所用的材料最省，则堆料场的长和宽应分别为()A32 m，16 m B30 m，15 mC64 m，8 m D36 m，18 m解析：选A.要使材料最省，则新砌的墙壁的总长度应最短设堆料场宽为x m，则长为 m，因此新墙总长L(x)2x(x0)，则L(x)2.令L(x)0，解得x16(x16舍去)故当x16时，L(x)取得最小值，此时长为32(m)4某出版社出版一读物，一页上所印文字占去150 cm2，上、下要留1.5 cm空白，左、右要留1 cm空白，出版商为节约纸张，应选用的尺寸为()A左右长12 cm，上下长18 cmB左右长12 cm，上下长19 cmC左右长11 cm，上下长18 cmD左右长13 cm，上下长17 cm解析：选A.设所印文字区域的左右长为x cm，则上下长为 cm，所以纸张的左右长为(x2)cm，上下长为cm，所以纸张的面积S(x2)3x156.所以S3，令S0，解得x10.当x10时，S单调递增；当0x0)，y240，令y0，得v80，当v80时，y0；当0v80时，y0)由L(x)x20，得x25.令L(x)0，得0x25；令L(x)25，得L(x)在区间(0，25)上单调递增，在区间(25，)上单调递减，所以当x25时，总利润最高答案：259某商店经销一种奥运纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a(a为常数，4a5)元的税收，设每件产品的日售价为x(35x41)元，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式；(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值解：(1)设日销售量为，当日售价为40元，日销量为10件时，10，所以k10e40，故日销售量为件则日利润L(x)(35x41)(2)由(1)可得L(x)，因为4a5，所以35a3136.令L(x)0，得xa31，故L(x)在35，a31上为增函数，在a31，41上为减函数所以当xa31时，L(x)取得最大值，最大值为10e9a.10某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩在桥面距离计算中都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解：(1)设需要新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1，所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256(0xm)(2)对第一问中函数f(x)求导得，f(x)mx(x512)(x512)(0x640)令f(x)0，解得x512，即x64.当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0，64)上为减函数；当640，f(x)在区间(64，640上为增函数所以f(x)在x64处取得极小值，也是最小值，此时n119.故需新建9个桥墩才能使y最小B能力提升11若球的半径为R，作内接于球的圆柱，则其侧面积的最大值为()A2R2 BR2C4R2 D.R2解析： 选A.设内接圆柱的高为h，底面半径为x，则x ，所以S侧2xh2h 2 ，令tR2h2，则t2R2hh3，令t0，得hR(舍负)或h0(舍去)，当0h0，当Rh2R时，t0，所以当hR时，圆柱的侧面积最大所以侧面积的最大值为22R2，故应选A.12将边长为1 m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s，则s的最小值是_解析：如图，设ADx(0x1)，则DEADx，所以梯形的周长为x2(1x)13x.又SADEx2，所以梯形的面积为x2，所以s(0x1)，则s.令s0，解得x或x3(舍去)当x(0，)时，s0，s为增函数，故当x时，s取得极小值，也是最小值，此时s的最小值为.答案：13某学校拟建一座长60米，宽30米的长方形体育馆按照建筑要求，每隔x米需打建一个桩位，每个桩位需花费4.5万元(桩位视为一点且打在长方形的边上且四个顶点各有一个桩位)，桩位之间的x米墙面需花(2)x万元，在不计地板和天花板的情况下，当x为何值时，所需总费用最少？解：由题意可知，需打2(1)2(1)(0x30)个桩位墙面所需费用为(2)x180(2)(0x30)，所以所需总费用y180(2)180()360(0x30)令t，则t，当0x3时，t0；当3x0.所以当x3时，t取极小值为t.而在(0，30)内极值点唯一，所以tmin.所以当x3时，ymin1803601 170(万元)，即每隔3米打建一个桩位时，所需总费用最小为1 170万元14(选做题)如图是某市在城市改造中的沿市内主干道城站路修建的圆形休闲广场，圆心为O，半径为100 m，其与城站路一边所在直线l相切于点M，MO的延长线交圆O于点N，A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在ABM内进行绿化，设ABM的面积为S(单位：m2)(1)以AON(rad)为自变量，将S表示成的函数；(2)求使绿化面积最大时点A的位置及最大绿化面积解：(1)由题意知，BM100sin ，AB100100cos ，故S5 000sin (1cos )(0)(2)因为S5 000sin (1cos )(0)，所以S5 000(cos cos2sin2)5 000(2cos2co