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压轴题提分练(一)1(2018威海模拟) 已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,且过点P(,),动直线l:ykxm交椭圆C于不同的两点A,B,且0(O为坐标原点)(1)求椭圆C的方程(2)讨论3m22k2是否为定值?若为定值,求出该定值,若不是请说明理由解析:(1)由题意可知,所以a22c22(a2b2),即a22b2,又点P(,)在椭圆上,所以有1,由联立,解得b21,a22,故所求的椭圆方程为y21.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由0,可知x1x2y1y20.联立方程组消去y化简整理得(12k2)x24kmx2m220,由16k2m28(m21)(12k2)0,得12k2m2,所以x1x2,x1x2,又由题知x1x2y1y20,即x1x2(kx1m)(kx2m)0,整理为(1k2)x1x2km(x1x2)m20.将代入上式,得(1k2)kmm20.化简整理得0,从而得到3m22k22.2(2018南宁二中模拟)设函数f(x)a2ln xx2ax(aR)(1)试讨论函数f(x)的单调性;(2)设(x)2x(a2a)ln x,记h(x)f(x)(x),当a0时,若方程h(x)m(mR)有两个不相等的实根x1,x2,证明h0.解析:(1)由f(x)a2ln xx2ax,可知f(x)2xa.因为函数f(x)的定义域为(0,),所以,若a0,当x(0,a)时,f(x)0函数f(x)单调递减,当x(a,)时,f(x)0,函数f(x)单调递增;若a0时,f(x)2x0在x(0,)内恒成立,函数f(x)单调递增;若a0,当x(0,)时,f(x)0,函数f(x)单调递减,当x(,)时,f(x)0,函数f(x)单调递增(2)证明:由题可知h(x)f(x)(x)x2(2a)xaln x(x0),所以h(x)2x(2a).所以当x(0,)时,h(x)0;当x(,)时,h(x)0;当x时,h()0.欲证h()0,只需证h()h(),又h(x)20,即h(x)单调递增,故只需证明.设x1,x2是方程h(x)m的两个不相等的实根,不妨设为0x1x2,则两式相减并整理得a(x1x2ln x1ln x2)xx2x12x2,从而a,故只需证明,即x1x2.(*)因为x1x2ln x1ln x20,所以(*)式可化为ln x1ln x2,即ln.因为0x1x2,所以01,不妨令t,所以得到ln t,t(0,1)记R(t)ln t,t(0,1),所以R(t)0,当且仅当t1时,等号成立,因此R(t
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