高考数学考纲解读与热点难点突破专题24函数与方程思想、数形结合思想教学案（含解析）.docx

函数与方程思想、数形结合思想【2019年高考考纲解读】数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用.【高考题型示例】题型一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解.例1.若0x1x2ln x2ln x1B.ln x2ln x1C.D.答案C解析设f(x)exln x(0x1)， 则f(x)ex. 令f(x)0，得xex10.根据函数y1ex与y2的图象(图略)可知两函数图象的交点的横坐标x0(0，1)，因此函数f(x)在(0，1)上不是单调函数，故A，B选项不正确；设g(x)(0x1)，则g(x).又0x1，g(x)0， 函数g(x)在(0，1)上是减函数.又0x1x2g(x2)，故选C.例2.已知定义在R上的函数g(x)的导函数为g(x)，满足g(x)g(x)1的解集为_.答案(，0)例3.已知f(t)log2t，t，8，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2mx42m4x恒成立，则x的取值范围是_.答案(，1)(2，)解析t，8，f(t).问题转化为m(x2)(x2)20恒成立，当x2时，不等式不成立，x2.令g(m)m(x2)(x2)2，m.问题转化为g(m)在上恒大于0，则即解得x2或x1.例4.若x2，1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是_.答案6，2解析当2x0时，不等式转化为a.令f(x)(2x0)，则f(x)，故f(x)在2，1上单调递减，在(1，0)上单调递增，此时有af(x)minf(1)2.当x0时，不等式恒成立.当0x1时，a，则f(x)在(0，1上单调递增，此时有af(x)maxf(1)6.综上，实数a的取值范围是6，2.题型二、函数与方程思想在数列中的应用数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决.例5. 已知an是等差数列，a1010，其前10项和S1070，则其公差d等于()A. B.C. D.答案D解析设等差数列的首项为a1，公差为d，则即解得d. 例6.已知在数列an中，前n项和为Sn，且Snan，则的最大值为()A.3 B.1 C.3 D.1答案C例7.在等差数列an中，若a10， 设Snf(n)，则f(n)为二次函数，又由f(7)f(17)知，f(n)的图象开口向上，关于直线n12对称，故Sn取最小值时n的值为12.例8.设等差数列an的前n项和为Sn，若S42，S63，则nSn的最小值为_.答案9解析由解得a12，d1，所以Sn ，故nSn.令f(x)，则f(x)x25x，令f(x)0，得x0或x， f(x)在上单调递减，在上单调递增.又n是正整数，故当n3时，nSn取得最小值9.题型三、函数与方程思想在解析几何中的应用解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.例9.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A.2 B.4 C.6 D.8答案B解析不妨设抛物线C：y22px(p0)，圆的方程设为x2y2r2(r0)，如图，又可设A(x0，2)，D，点A(x0，2)在抛物线y22px上，82px0，点A(x0，2)在圆x2y2r2上，x8r2，点D在圆x2y2r2上，52r2，联立，解得p4(负值舍去)，即C的焦点到准线的距离为p4，故选B.例10.如图，已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，若PAQ60，且3，则双曲线C的离心率为()A. B. C. D.答案B解析因为PAQ60，|AP|AQ|，所以|AP|AQ|PQ|，设|AQ|2R，又3，则|OP|PQ|R.双曲线C的渐近线方程是yx，A(a，0)，所以点A到直线yx的距离d，所以2(2R)2R23R2，即a2b23R2(a2b2)，在OQA中，由余弦定理得， 例10.设双曲线C：1(a0，b0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线C的离心率为()A. B.C.2 D.答案D解析如图所示，设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q，连接OQ，则OQPF2.又PF1PF2，O为F1F2的中点，所以|PF1|2|OQ|2a.又|PF2|PF1|2a，所以|PF2|4a.在RtF1PF2中，由|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，得4a216a220a24c2，即e.例11.已知抛物线的方程为x28y，F是其焦点，点A(2，4)，在此抛物线上求一点P，使APF的周长最小，此时点P的坐标为_. 答案解析因为(2)284，所以点A(2，4)在抛物线x28y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQl于点Q，过点A作ABl于点B，连接AQ，由抛物线的定义可知，APF的周长为|PF|PA|AF|PQ|PA|AF|AQ|AF|AB|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，APF的周长取得最小值，即|AB|AF|.因为A(2，4)，所以不妨设APF的周长最小时，点P的坐标为(2，y0)，代入x28y，得y0.故使APF的周长最小的点P的坐标为. 例12.已知P是直线l：3x4y80上的动点，PA，PB是圆x2y22x2y10的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为_. 答案2解析连接PC，由题意知圆的圆心C(1，1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x4y80向左上方或右下方无穷远处运动时，RtPAC的面积SPAC|PA|