2019年高考数学三轮冲刺专题22函数与方程、数形结合思想专项讲解与训练.docx

专题22函数与方程、数形结合思想一函数与方程思想思想解读应用角度1.函数思想：是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决2.方程思想：是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决1.构造新函数或建立函数关系实现函数与不等式的相互转化，借助函数图象和性质解决相关问题，常涉及不等式的恒成立问题、比较大小问题2.利用二次函数或一元二次方程解决数列的通项及前n项和问题，常涉及最值问题或参数范围问题3.将解析几何中的范围、最值问题转化为求函数的值域、最值来解决4.利用列方程或建立函数表达式的方法解决立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算问题函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系 已知双曲线E：1(a0，b0)若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_【答案】2【解析】如图，由题意知|AB|，|BC|2c.又2|AB|3|BC|，所以232c，即2b23ac，所以2(c2a2)3ac，两边同除以a2，并整理得2e23e20，解得e2(负值舍去)本题利用了方程思想，关于椭圆、双曲线的离心率问题，主要有两类试题一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的取值范围基本的解题思路是建立椭圆或双曲线中a，b，c的关系式，求值问题就是建立关于a，b，c的等式，求取值范围问题就是建立关于a，b，c的不等式 【对点训练】1(2019安徽师大附中、马鞍山二中联考)若等差数列an的前n项和为Sn，且满足a2S34，a3S512，则a4S7的值是()A20B36C24 D72【答案】C.【解析】由a2S34及a3S512得，解得， 所以a4S78a124d24.故选C.2已知函数f(x)x3ax2bxa27a在x1处取得极大值10，则的值为_答案： (2019合肥模拟)直线xt分别与函数f(x)ex1的图象及g(x)2x1的图象相交于点A和点B，则|AB|的最小值为()A2 B3C42 ln 2 D32 ln 2【答案】C【解析】因为f(x)ex1，g(x)2x1，所以|AB|ex1(2x1)|ex2x2|.令h(x)ex2x2，则h(x)ex2.当xln 2时，h(x)0；当xln 2时，h(x)0，即h(x)在(，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)上单调递增，所以h(x)在xln 2时取最小值，最小值为h(ln 2)42ln 20，即|AB|的最小值为42ln 2.由题意可知，|AB|即为A、B两点的纵坐标之差的绝对值，即|AB|ex2x2|，构造函数h(x)ex2x2，从而将问题转化为函数h(x)的绝对值的最小值问题，利用导数求得h(x)min42ln 20，从而求出|AB|的最小值为42ln 2. 【对点训练】3.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1_m 时，仓库的容积最大 答案：(3，)解析：函数y|x|为偶函数，且左减右增函数yx22mx4m(xm)图象的对称轴为xm，且在对称轴右侧单调递增故当xm时函数f(x)先减后增，当xm时函数f(x)单调递增，如图所示，要使f(x)b有三个不同的根，则必须满足mm22m24m，解得m3. 已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足|1，则|2的最大值是()A. BC. D.【答案】B【解析】建立平面直角坐标系如图所示，则B(，0)，C(，0)，A(0，3)，则点P的轨迹方程为x2(y3)21.设P(x，y)，M(x0，y0)，则x2x0，y2y0，代入圆的方程得，所以点M的轨迹方程为，它表示以为圆心，以为半径的圆，所以|max，所以|.(1)本题利用数形结合思想，分析动点P和点M的轨迹是圆，再把|2的最大值转化为点B到圆上任一点的距离的平方的最大值问题(2)在解决向量的夹角、向量的共线与垂直等问题时常常借助于图形的几何性质，数中寻形，可以给烦琐的运算以简便的解释，显得直观、简单，运用向量工具，形中觅数，几何问题代数化，可降低思维难度 【对点训练】6已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是()A1 B2C. D.【答案】C.【解析】因为(ac)(bc)0，所以(ac)(bc)如图所示，设c，a，b，ac，bc，即.又，所以O，A，C，B四点共圆当且仅当OC为圆的直径时，|c|最大，且最大值为.课时作业1(2019福州模拟)已知aln 8，bln 5，clnln，则()AabcBacb Ccab Dcba【答案】B.【解析】因为aln 8，bln 5，cln ln ，所以aln，bln ，cln ln .又对数函数yln x在(0，)上为单调递增函数，由，得ln ln ln ，所以acb，故选B.2(2019.郑州第一次质量预测)已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率为()A. B2C. D2【答案】C.【解析】不妨设双曲线的方程为1(a0，b0)，因为焦点F(c，0)到渐近线bxay0的距离为a，所以a，即a，所以1，所以该双曲线的离心率e，故选C.3(2019昆明模拟)过点(，0)引直线l与曲线y相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A. BC D【答案】B.【解析】由于y，即x2y21(y0)，直线l与x2y21(y0)交于A，B两点，如图所示SAOBsinAOB，且当AOB90时，SAOB取得最大值，此时AB，点O到直线l的距离为，则OCB30，所以直线l的倾斜角为150，则斜率为.4(2019广州模拟)曲线y2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为()A2 BC1 D1【答案】C.【解析】在同一平面直角坐标系中作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分所示)和曲线y2x.易知直线xy30与曲线y2x的交点为A(1，2)，由图可知，当m1时，曲线y2x上存在点(x，y)满足约束条件，故m的最大值为1.故选C.5设等差数列an的前n项和为Sn，若S42，S50，S63，则nSn的最小值为()A3 B5C6 D9【答案】D. 6(2019南昌十校第二次模拟)已知函数f(x)2x21，函数g(x)，则函数y|f(x)|g(x)的零点的个数为()A2 B3C4 D5【答案】C. 【解析】函数y|f(x)|g(x)的零点的个数，即|f(x)|g(x)0的根的个数，可得|f(x)|g(x)，画出函数|f(x)|，g(x)的图象如图所示，观察函数的图象，则它们的交点为4个，即函数y|f(x)|g(x)的零点个数为4，选C.7(2019山西八校第一次联考)已知等差数列an的前n项和为Sn，满足S7S11，且a10，则Sn最大时n的值是_答案：9解析：设等差数列an的公差为d，由S7S11可得7a1d11a1d，即2a117d0，得到da1，所以Snna1dna1(a1)(n9)2a1，由a10可知0.故当n9时，Sn最大8(2017高考北京卷)已知x0，y0，且xy1，则x2y2的取值范围是_答案：，1解析：法一：由已知可得，y1x，代入x2y2，得x2y2x2(1x)22x22x12(x)2，x0，1，当x0或x1时，取得最大值1，当x时，取得最小值，所以x2y2的取值范围是，1法二：设直线xy1与两坐标轴的交点分别为A(0，1)，B(1，0)，点P(x，y)为线段AB上一点，则P到原点O的距离为|PO|，又|PO|AO|1，所以1，所以x2y2的取值范围是，19(2019合肥模拟)设P，Q分别是圆x2(y1)23和椭圆y21上的点，则P，Q两点间的最大距离是_答案：解析：设Q(x，y)，因为圆x2(y1)23的圆心为(0，1)，半径为，所以点Q到圆心(0，1)的距离为 ，所以P，Q两点间的最大距离为.10(2019郑州市第二次质量预测)已知点P(a，b)在函数y上，且a1，b1，则aln b的最大值为_答案：e解析：由题意知b，则aln balna(2ln a)，令ta(2ln a)(t0)，则ln tln a(2ln a)(ln a)22ln a(ln a1)211，当ln a10时取得最大值1，此时ln t1，所以te，即aln be.11(2019贵州适应性考试)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B4，bsin A3.(1)求tan B及边长a的值；(2)若ABC的面积S9，求ABC的周长12(2019南昌十校联考)已知等比数列an满足an0，a1a2a364，Sn为其前n项和，且2S1，S3，4S2成等差数列 (1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog2a1log2a2log2an，求数列的前n项和Tn.【解析】：(1)设数列an的公比为q，因为2S1，S3，4S2成等差数列，所以2S32S14S2，即2(a1a1qa1q2)2a14(a1a1q)，化简得q2q20，解得q2或q1.因为an0，所以q1不合题意，舍去，由a1a2a364可得a64，解得a24，故2a14，得到a12，所以ana1qn122n12n.(2)因为bnlog2a1log2a2log2anlog2(a1a2an)log2212n12n.所以2()所以Tn2()()()2(1).13已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0，2)处