[工学]11自控chapter.ppt

3.6 线性系统的稳定性分析,观察：增益(Gain)分别为1，4， 7时的阶跃响应。,3.6.1 初始条件下的运动,3.6.1 稳定的概念和定义,平衡位置（状态）的稳定性：它描述系统在受到外界的干扰，偏离了平衡 位置，在干扰除去之后，系统是否能回到平衡位置的能力。 1 系统的运动随时间离平衡位置越来越远； 不稳定 系统的运动随时间离平衡位置越来越近，无穷时回到平衡状态。稳定 系统的运动随时间在平衡位置附近振荡。 临界稳定,稳定性,系统结构与参数,受扰运动 系统的脉冲响应,3.6.2 线性系统稳定条件,扰动作用前，系统位于平衡点0，即坐标原点（输入为零，输出也为零）。设扰动信号为理想的脉冲信号，系统的扰动响应就是脉冲响应g(t)。,等于零：稳定 不等于零：不稳定,3.6.2 线性系统稳定条件,Resi0时，g(t) 0,Resi=0时，g(t) 有界,Resi0时，g(t),3.6.2 线性系统稳定条件,反馈系统稳定的充分必要条件是系统传递函数的所有极点均有 负的实部。,系统稳定的充分必要条件是系统传递函数的所有极点位于s平面的左半开平面。,S平面,3.6.1 稳定的概念和定义,注意： 1 稳定性是系统自身的固有特性，与外输入的大小、形式无关。 本文所讨论的稳定性是渐进稳定性，临界稳定不是渐进稳定的。,3.6.2 线性系统稳定条件,解：D(s)=1+G(s)H(s), D(s)=0 即,k=0.5或10, 系统稳定否?,例如：单位负反馈系统的 求 K=1时系统的稳定性。,s3+s2+s+k=0, K=1 s3+s2+s+1=0 s2(s+1)+s+1=0 (s2+1)(s+1)=0,Roots -1 ,+j , j 系统稳定？,系统稳定k的取值范围?,3.6.3 稳定判据,稳定的必要条件,可推出特征根具有负的实部的必要条件是各系数同号且不缺项。,3.6.3 稳定判据,例如,3.6.3 稳定判据,特征方程： ansn+ an-1sn-1+ an-2sn-2+ a1s+ a0=0 劳斯表： Sn an an-2 an-4 an-6 sn-1 an-1 an-3 an-5 an-7 sn-2 (an-1 .an-2 - an . an-3)/ an-1 S S0 a0,劳 斯 判 据,3.6.3 Routh-Hurwitz 稳定判据,特征方程： ansn+ an-1sn-1+ an-2sn-2+ a1s+ a0=0 劳斯判据：D(s)的正实部根的数目同劳斯表第一列中符号变化的次数相等。,系统稳定的充分必要条件为: 劳斯表第一列元素的符号不变化。 4种情况区别对待。,3.6.3 Routh-Hurwitz 稳定判据,例1：特征方程：s3+5s2+3s+2=0 列劳斯表：,劳斯表第一列元素不变号，系统稳定。,s3 1 3 s2 5 2 s (15-2)/5 s0 2,3.6.3 Routh-Hurwitz 稳定判据,例2：特征方程：s4+2s3+3s2+4s+5=0 列劳斯表：,劳斯表第一列元素变号两次，系统有两个正实部根，系统不稳定。,s4 1 3 5 s3 2 4 0 s2 1 5 s -6 s0 5,3.6.3 Routh-Hurwitz 稳定判据,例3：特征方程：a2s2+a1s+a0=0 列劳斯表： s2 a2 a0 s1 a1 0 s0 a0,系统稳定的条件为劳斯表的第一列大于零，即 ai0,课堂练习：已知系统的开环传递函数为 G(s)H(s)=10/s(s+1)(s+2),判断其稳定性。,解：1)写出特征方程 1+G(s)H(s)=0 2)列劳斯表： 3) 判断并得出结论,3.6.3 Routh-Hurwitz 稳定判据,例5：特征方程：s4+s3+s2+s+k=0,(k0),能否通过选择k使系统稳定？ 列劳斯表：,s4 1 1 k s3 1 1 0 s2 0 k,第一列出现零元素,3.6.3 Routh-Hurwitz 稳定判据,劳斯表第一列元素变号两次，系统有两个正实部根，系统不稳定。,s4 1 1 k s3 1 1 0 s2 e k,s1 (e-k)/e 0 s0 k,3.6.3 Routh-Hurwitz 稳定判据,例6：特征方程：s4+s3-3s2-s+2=0,求s右半平面有几个根？ 列劳斯表：,劳斯表中出现全零行,s4 1 -3 2 s3 1 -1 0,s2 -2 2,s1 0 0,s0 2,3.6.3 Routh-Hurwitz 稳定判据,例6：特征方程：s4+s3-3s2-s+2=0 列劳斯表： s4 1 -3 2 s3 1 -1 s2 -2 2 s1 -4 0 s0 2,劳斯表中出现全零行,构造辅助多项式F(s) F(s)=-2s2+2 求导：F(s)=-4s,系统有两个正实部根。关于坐标原点对称的根，可由辅助方程求得。,F(s)=0,s=+1,-1,3.6.3 Routh-Hurwitz 稳定判据,特征方程： s3+ 14s2+40s+40k=0，求系统稳定k的取值范围。 劳斯表： s3 1 40 s2 14 40k s1 (14*40-40k)/14 s0 40k,(14*40-40k)/140 40k0,稳定的条件为0K14,若使所有的极点都位于s=-1的左面，求系统稳定K的取值范围。,3.6.3 相对稳定性,s平面,s,z,a,s=z-a, a0 原特征方程 D(s)=0 现特征方程 D(z)=0,坐标变换,引入：s=z-1, 特征方程 Z3+11z2+15z+40k-27=0,稳定的条件为 0.675K4.8,(s-1)3+14(s-1)2+40(s-1)+40K=0,3.6.3 Routh-Hurwitz 稳定判据(练习),劳斯表： S4 1 8 -48 S3 1 -4 0 s2 12 -48 s1 0 0,某系统特征方程： s4+s3+8s2-4s-48=0，判断系统的稳定性，若不稳定求出不稳定的极点。,3.6.3 Routh-Hurwitz 稳定判据(练习),劳斯表： S4 1 8 -48 S3 1 -4 0 s2 12 -48 s1 24 0 s0 - 48,系统不稳定 (-2, 2, -3, -4),辅助多项式F(s)=12s2-48 F(s)=24s,解辅助多项式F(s)=12s2-48=0 得 s=2,-2,3.6.3 Routh-Hurwitz 稳定判据(练习),劳斯表： S4 1 8 -48 S3 1 -4 0 s2 1 -4 s1 2 0 s0 - 4,辅助多项式F(s)=s2-4 F(s)=2s 解F(s)=0, s=2,-2,3.7 线性系统的误差分析,系统的外作用包括 有用的输入信号和干扰信号,E(s)=ER(S)+EN(s),即，误差 E(s)=R(s)-H(s)C(s),定义1 （输入端）系统的误差定义=输入信号-主反馈信号 如图中的E(s),3.7.1 误差的基本概念,定义2: (输出端) 系统的误差=期望输出-实际输出 一般情况下，期望输出等于输入，所以误差 e(t)=r(t)-C(t) 或 E(s)=R(s)-C(s),单位反馈（H(s)=1)时,两种定义相同。,3.7.1 误差的基本概念,R(s),=E(s)/H(s),3.7.1 误差的基本概念,误差=误差的瞬态分量+误差的稳态分量,终值定理：,稳态误差=误差的稳态分量,条件为：sE(s)在虚轴和右半平面是解析的。,误差的时间特性,3.7.1 误差的基本概念,如何选择控制器减小输入信号引起的稳态误差,抑制扰动对系统的影响，,3.7.2 给定作用下的稳态误差计算,H(S),G(S),R(S) E(s) C(s),讨论给定输入信号作用下产生 的稳态误差,3.7.2 给定作用下的稳态误差计算,K为系统的开环增益; 为系统的型数,3.7.2 给定作用下的稳态误差计算,1 阶跃输入：r(t)=A.1(t), R(s)=A/s,静态位置误差系数,3.7.2 给定作用下的稳态误差计算,求单位反馈系统在单位阶跃信号作用下的稳态误差?,3.6.2 给定作用下的稳态误差计算,斜坡输入：R(s)=B/s2, r(t)=Bt t0,设：,静态速度误差系数,3.7.2 给定作用下的稳态误差计算,斜坡输入：R(s)=C/s3, r(t)=C/2t,设：,静态加速度误差系数,3.7.2 给定作用下的稳态误差计算,取不同的,r(t)=R1(t),r(t)=Vt,r(t)=At2/2,型,0型,型,R1(t),Vt,0,0,0,At2/2,k,k,0,静态误差系数,稳态误差,小结：,1,2,3,啥时能用表格？,表中误差为无穷时系统还稳定吗?,3.7.2 给定作用下的稳态误差计算,输入：r(t)=A+Bt+C/2t2,计算稳态误差的方法: 终值定理 静态误差系数(V,K) 方法,3.7.2 给定作用下的稳态误差计算,课堂练习：系统如图，求当输入r(t)=1+2t, t0时的稳态误差。,解：判断系统的稳定性 由于为2阶系统且各项系数为正, 所以系统稳定, 满足终止定理的条件 方法1: 静态误差系数法,3.7.2 给定作用下的稳态误差计算,课堂练习：系统如图，求当输入r(t)=1+2t, t0时的稳态误差。,方法2 直接计算法,3.7.2 给定作用下的稳态误差计算,课堂练习：系统如图，求当输入r(t)=3t2时的稳态误差。,解：1 判断系统的稳定性 写出特征方程,劳斯表： S3 1 3 s2 4 2 s1 5/2 S0 2,系统稳定,3.7.2 给定作用下的稳态误差计算,例题：系统如图，求当输入r(t)=3t2时的稳态误差。,2 写出误差E(s)。可直接用静态误差系数法求取。,R(S) E(s) C(s),3.7.2 给定作用下的稳态误差计算,课堂练习: 某单位反馈系统的开环传递函数如下，求当输入r(t)时的稳态误差。,解：求三个静态误差系数,3.7.2 给定作用下的稳态误差计算,so,3.7.3 扰动作用下的稳态误差计算,扰动作用,首先关注误差的定义： 第一种定义下： 期望的输入为零 E(s)=-Cn(s),3.7.3 扰动作用下的稳态误差计算,第二种定义下： 结构图中的E(s),若,3.7.3 扰动作用下的稳态误差计算(选择),例题3-7 温度控制系统利用加热器来克服户外的低温，以减小电路温度的变化幅度。 温度控制系统的框图如所示，环境温度的降低可以看作一个负的阶跃干扰信号N(s), 电路的实际温度为C(s)。求干扰N(s)对输出的稳态影响.,电路,加热控制,3.7.3 扰动作用下的稳态误差计算,解：,3.7.3 扰动作用下的稳态误差计算,解：,3.7.4 提高系统控制精度的措施,例题：确定G1(s)的传递函数，使系统在单位斜坡作用下无稳态误差。,按输入补偿的复合控制,解：,当G1(s)=0，斜坡函数作用下的稳态误差为？,3.7.4 提高系统控制精度的措施,3.7.4 提高系统控制精度的措施,若,判断系统的稳定性,劳斯表： S3 1 3 s2 2 5 s1 1/2 S0 5,系统稳定,3.7.4 提高系统控制精度的措施,当 a=4,3.7.4 提高系统控制精度的措施,选：,则，ess=0,当 G1(s)=bs+a,3.7.4 提高系统控制精度的措施,例题：例题3-21 设r(t)=at (a为任意常数）。确定ki，使系统对斜坡输入的响应的稳态误差为零。,解：,写出E(s)的表达式；判断稳定性；用终值定理,由于该系统为二阶系统，由各项系数为正可知，系统稳定。,3.7.4 提高系统控制精度的措施,当 Ki=1/K,3.7.4提高系统控制精度的措施,扰动输入是幅值为2的阶跃函数，求 1 K=40时，系统在扰动作用下的稳态输出和稳态误差。 K=20时，结果如何？ 在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节1/s, 对结果有何影响？在扰动作用点之后的前向通道中引入积分环节1/s, 结果又如何？,3.7.4提高系统控制精度的措施,解：1 N(s)作用下的稳态输出和稳态误差,由于该系统为二阶系统，由各项系数为正可知，系统稳定。,3.7.4提高系统控制精度的措施,解：1 N(s)作用下的稳态输出和稳态误差,开环增益的减小，使系统稳态输出增加，同时使稳态误差的绝对值增加。,3.7.4提高系统控制精度的措施,R(s) E(s) C(s),解：3 加积分环节,3.7.4提高系统控制精度的措施,劳斯表： S3 0.05 1 s2 5.05 2. 5 s1 (5.05-0.125)/5.050 S0 2.5,系统稳定,3.7.4提高系统控制精度的措施,解：3 前加积分环节,3.7.4提高系统控制精度的措施,R(s) E(s) C(s),N(s),2.5,解：3 后加积分环节,3.8 基本控制律分析,控制器Gc(s),P、I、D,自动控制系统是由被控对象和控制器两部分组成，控制器按时间需要以某种规律向对象发出控制信号，以达到预期的控制目的,3.8.1 比例（）控制律,u(t)=Kpe(t),Gc(s)=Kp,3.8. 基本控制律分析,一阶系统,其中,，,显然，T2T，说明系统的惯性降低了。,3.8. 基本控制律分析,二阶系统,此时,，,比例控制使系统的开环增益增大，自然频率增加，阻尼比减小,开环增益为,。,开环增益为,3.8. 基本控制律分析,或,，,式中，Kp为比例系数，TD为微分时间常数，单位：1/秒。Kp与TD都是可调参数,传递函数为,3.8.2 比例-微分（PD）控制律,3.8. 基本控制律分析,，,PD控制律具有“预见性”。比例-微分控制可增加系统阻尼，改善系统的动态性能和稳态性能。由于增加了闭环的零点，提高动态的快速性。,微分控制不能单独使用。因为微分控制作用仅在e(t)变化的瞬态过程中起作用，而当系统进入稳态时，偏差信号不变化了，微分控制将为零。若单独使用微分控制律，此时相当于信号断路，控制系统将无法正常工作。另外，微分控制律虽有预见信号变化趋势的优点，也有易于放大噪声的缺点。,系统中能否单独使用微分控制？,3.8. 基本控制律分析,或,，,式中，Kp为比例系数，TI为积分时间常数，两者都是可调参数,传递函数为,。,3.8.3 积分（I）控制律,3.8.4 比例-积分（PI）控制律,3.8. 基本控制律分析,例3-26 在图3-66 中， ，分析PI控制律的作用。,，,解 （1） 稳态性能 未加PI控制器时，系统是型，加入PI控制器后，系统的开环传递函数为,从上式可出，控制系统变为型，对阶跃输入、斜坡输入的稳态误差为零，参数选择合适，匀加速信号的稳态误差也可以大为下降。说明PI控制律改善了系统的稳态性能。,。,举例说明PI控制可提高系统的稳态性能,3.8. 基本控制律分析,，,如果系统稳定必须选择TIT 。一般采用比例-积分控制律主要是为了改善系统的稳态性能。,。,（2） 稳定性,给出原系统和加比例-积分控制后的随增益变化时闭环的根轨迹图，,3.8. 基本控制律分析,另外，也可通过特征方程来分析。加入比例-积分控制律后，系统的特征方程为,从上式得出，满足稳定的充要条件是TI T,说明PI控制律可使系统的型数从型提高到型，适当选择控制器参数可满足动态性能的要求。,3.8. 基本控制律分析,或,式中，Kp为比例系数，TI为积分时间常数，TD是微分时间常数，三者都是可调参数,传递函数为,3.8.5 比例-积分-微分（PID）控制律,3.8. 基本控制律分析,当,，,从上式看出，PID控制律除使系统提高了一个型数之外，还提供了两个负实零点。与PI控制律比较，PID控制律保持了