[工学]5-1 定积分的概念.ppt

1,本学期学习内容,教材上册:,第五章 定积分,第六章 定积分的应用,教材下册:,第八章 多元函数微分法及其应用,第九章 重积分,第十二章 微分方程,第十一章 无穷级数,2,第五章 定积分,第一节 定积分的概念与性质,3,实例1 （求曲边梯形的面积）,一、问题的提出,两个问题要解决:,一个是给出面积的定义，,一个是找出计算面积的方法。,矩形面积,梯形面积,4,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,5,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,6,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,7,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,8,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,9,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,10,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,11,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,12,曲边梯形如图所示，,具体解决步骤 :,分割,近似,13,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,求和,取极限,14,实例2 （求变速直线运动的路程）,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,15,（1）分割,（3）求和,（4）取极限,路程的精确值,(2) 近似,16,曲边梯形面积,变速直线运动 的路程,以上两个和式的极限形式完全相同,如何用数学 的方法统一的加以解决?,1. 对这类问题进行数学抽象,建立严格的理论基础;,2. 找到求这一类极限值的有效方法.,17,二、定积分的定义,定义,18,记为,积分上限,积分下限,积分和,19,注意：,20,21,定理1,定理2,三、存在定理（充分条件）,22,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,四、定积分的几何意义,23,几何意义：,24,例1,面积值为圆的面积的,25,例2 利用定义计算定积分,解,26,27,例3. 用定积分表示下列极限:,解:,28,思考题,将和式极限：,表示成定积分.,原式,29,对定积分的补充规定:,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,定积分的性质,30,证,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质1,31,证,性质2,32,补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.,例 若,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,性质3,33,证,性质4,性质5,34,性质5的推论：,证,（1）,35,证,性质5的推论：,（2）,36,性质5(定积分的保号性),命题,证,37,解,令,于是,38,例2,柯西-施瓦茨不等式,闵可夫斯基不等式,39,证,40,证,即证,柯西-施瓦茨不等式,41,证,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质6,42,解,43,解,44,45,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质7（定积分中值定理）,积分中值公式,46,使,即,积分中值公式的几何解释：,47,解,由积分