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一、梯形法的递推化,上一节介绍的复化求积方法对提高精度是行之有效的，但在使用求积公式之前必须给出合适的步长，步长取得太大精度难以保证，步长太小则会导致计算量的增加，而事先给出一个恰当的步长又往往是困难的 实际计算中常常采用变步长的计算方案，即在步长逐次分半(即步长二分)的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直至所求得的积分值满足精度要求为止,设将求积区间a，b分成n等分，则一共有n+1个分点，按梯形公式计算积分值Tn，需要提供n+1个函数值如果将求积区间再二分一次，则分点增至2n+1个，我们将二分前后两个积分值联系起来加以考察,4 龙贝格求积公式,注意到每个子区间xk，xk+1经过二分只增加了一个分点xk+1/2( xk+xk+1)/2，用复化梯形公式求得该子区间上的积分值为,二、龙贝格算法,根据复化梯形公式的余项表达式,可见，利用两种步长计算的结果能估计截断误差.若将该截断误差加到计算结果中，就可得出“改进梯形求积公式”：,改进梯形求积公式的右边实际是,这就是说用梯形法二分前后的两个积分值Tn与T2n的线性组合的结果得到复化辛普森法求积公式,类似的情况，用辛普森法二分前后的两个积分值Sn与S2n的线性组合的结果可得到复化柯特斯求积公式,重复同样的手续，用柯特斯法二分前后的两个积分值Cn与C2n的线性组合的结果可得到龙贝格(Romberg)求积公式,我们在变步长的过程中运用加速公式(1)、(2)、(3)，就能将粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度较高的辛普森值Sn 、柯特斯值Cn和龙贝格值Rn .,龙贝格求积算法可用下表来表示：,三、理查森(Richardson)外推加速法,上面讨论说明由梯形公式出发，将区间a，b逐次二分可提高求积公式的精度，上述加速过程还可继续下去，其理论依据是梯形公式的余项展开，即,若记Tn = T(h)，当区间a，b分为2n等分时，有 ，则,可见I = T(h)的误差为O(h2)阶.若记 ，则,可以证明，如果 f (x) 充分光滑，那么T 数表每一列的元素及对角线元素均收敛到所求的积分值 I ，即,机械求积公式 含有2n+2个待定参数xk、Ak(k0，1，n)当 xk 为等距节点时得到的插值求积公式的代数精度至少为n次，如果适当选取 xk (k0，1，n)，有可能使求积公式具有 2n+1 次代数精度，这类求积公式称为高斯(Gauss)求积公式. 为使问题更具一般性，我们研究带权积分 ，这里r (x)为权函数，类似机械求积公式，它的求积公式为 Ak(k0，1，n)为不依赖于f (x)的求积系数，xk (k0，1，n)为求积节点，可适当选取 xk 及 Ak (k0，1，n)使积分(1)具有2n+1次代数精度,5 高斯求积公式,一、高斯点,定义4 如果求积公式(5.1)具有2n+1次代数精度，则称其节点 xk (k0，1，n)为高斯点，相应公式(5.1)称为高斯求积公式 . 根据定义要使(51)具有2n+1次代数精度，只要取f(x)xm， 对m0，1，2n+1，(5.1)精确成立，则得 当给定权函数r (x)，求出右端积分，则可由(5.2)解得 Ak 及 xk (k 0，1，n),从教材例5看到求解非线性方程组(5.2)较复杂，通常n2就很 难求解故一般不通过解方程(5.2)求 xk 及 Ak (k0，1，n)， 而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式,定理5 插值型求积公式(5.1)的节点 ax0xlxnb是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式 与任何次数不超过n的多项式P(x)带权r (x) 正交，即,定理表明在a，b上带权r (x)的n+1次正交多项式的零点就是求积公式(5.1)的高斯点，有了求积节点 xk (k0，l，n)，再利用(5.2)对m0，l，n 成立，则得到一组关于求积系数A0，A1，An 的线性方程解此方程则得Ak(k0，1，n) . 也 可直接由x0，x1，xn 的插值多项式求出求积系数Ak(k = 0, 1, ,n) .,二、高斯求积公式的余项,利用 f (x)在节点xk(k = 0，1，n)的埃尔米特插值 H2n+1 (x)，即 于是 ，两端乘r (x)，并由a到b积分，则得 其中右端第一项积分对2n+1次多项式精确成立，故 由于 0，故由积分中值定理得(5.1)的余项为,三、高斯求积公式的稳定性与收敛性,定理6 高斯求积公式(5.1)的求积系数 Ak (k0，1，n) 全是正的,由本定理及定理2，则得 推论 高斯求积公式(5.1)是稳定的. 定理7 设 f (x)C a，b，则高斯求积公式(5.1)是收敛 的，即,四、常用的高斯型求积公式,1、高斯勒让德求积公式,勒让德多项式 是区间-1，1上权函数 r (x) = 1的正交多项式，若以勒让德多项式的零点为高斯点，则求积公式 称为高斯勒让德求积公式.,高斯勒让德求积公式(5.9)的余项由(5.8)得,2、高斯切比雪夫求积公式,切比雪夫正交多项式 是区间-1，1上权函数 的正交多项式，若选取 n+1 次多项式的零点,为高斯点，则求积公式 称为高斯切比雪夫求积公式.相应的求积系数,其中，lk(x)是关于所选节点的拉格朗日插值基函数. 使用时将 n+1 个节点公式改为 n 个节点，于是高斯切比雪夫求积公式可写成,公式(5. 13)的余项由(5. 8)可算得,与积分相反，数值微分非常困难。积分描述了一个函数的整体或宏观性质，而微分则描述一个函数在一点处的斜率，这是函数的微观性质。因此积分对函数的形状在小范围内的改变不敏感。而微分却很敏感。一个函数小的变化，容易产生相邻点的斜率的大的改变。,由于微分这个固有的困难，所以应尽可能避免数值微分，特别是对实验获得的数据进行微分。在这种情况下，最好用最小二乘曲线拟合这种数据，然后对所得到的多项式进行微分。或用另一种方法，对该数据进行三次样条拟合，然后寻找该样条函数的微分。,6 数值微分,一、中点方法与误差分析,数值微分就是用函数值的线性组合近似函数在某点的导数 值按导数定义可以简单地用差商近似导数，这样立即得到几种数值微分公式,其中h为一增量称为步长后一种数值微分方法称为中点方法、它是前两种方法的算术平均但它的误差阶却由O(h)提高到O(h2) 上面所给出的三个公式是很实用的尤其是中点公式更为常用,的近似值，首先须选取合适的步长为此需要进行误差分析,再考察舍入误差按中点公式计算，当h很小时，因 f (a+h) 与 f (a-h)很接近，直接相减会造成有效数字的严重损失(参看第 1章第4节)因此，从舍入误差的角度来看，步长不宜太小,二、插值型的求导公式,对于列表函数 y = f (x)：,如果我们限定求某个节点 xk 上的导数值，那么上面的第二项因式变为零，这时有余项公式,下面我们仅仅考察节点处的导数值为简化讨论，假定所给 的节点是等距的,1两点公式,于是有下列求导公式：,而利用余项公式(6. 4)知，带余项的两点公式是：,2三点公式 设已给出三个节点x0，xl = x0+h，x2 = x0+2h上的函数值，做二次插值,令 x = x0+th，则,这里撇号()表示对变量x求导数上式分别取t = 0，1，2，得到三种三点公式：,而带余项的三点求导公式如下：,公式(6.6)是我们所熟悉的中点公式在三点公式中，它由于少用了一个函