[工学]第三章 随机信号分析.ppt

1,第三章 随机信号,2,学习目标,随机过程的基本概念; 随机过程的数字特征（均值、方差、相关函数）; 随机过程的平稳性、各态历经性、自相关函数的性质、维纳辛钦定理; 高斯随机过程的定义、性质，其一维概率密度函数和正态分布函数，高斯白噪声; 平稳随机过程通过线性系统，其输出过程的均值、自相关函数和功率谱密度、带限白噪声; 窄带随机过程的表达式，其包络、相位的统计特性，其同相分量、正交分量的统计特性； 余弦波加窄带高斯过程的合成包络的统计特性 匹配滤波器 循环平稳随机过程,3,3.1 引言,自然界中事物的变化过程大致分成为两类： 确定性过程：其变化过程具有确定的形式，或者说具有必然的变化规律，用数学语言来说，其变化过程可以用一个或几个时间（t）的确定函数来描述。 随机过程：该过程没有确定的变化形式，也就是说，每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律，用数学语言来说， 这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。,4,通信过程是信号和噪声通过通信系统的过程。而通信系统中遇到的信号和噪声总带有随机性，从统计数学的观点看，随机信号和噪声统称为随机过程。,随机过程：设Sk(k=1, 2,)是随机试验。每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作xi(t)，所有可能出现的结果的总体x1(t), x2(t)，, xn(t)，就构成一随机过程，记作X(t)。简言之，无穷多个样本函数的总体叫做随机过程，如图所示： ,5,图 2- 1样本函数的总体,6,随机过程X(t)具有两个基本特征： （1） X(t)是时间t的函数； （2）在某一观察时刻t1，样本的取值X(t1)是一个随机变量。因此，我们又可以把随机过程看成依赖时间参数的一族随机变量。可见，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。,7,3.2随机过程的统计（概率）特性,设X(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1T， 其取值X(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。把随机变量X(t1)小于或等于某一数值x1的概率PX(t1)x1，简记为F1(x1, t1)，即 F1(x1,t1)=PX(t1)x1 上式称为随机过程X(t)的一维分布函数。,1、随机过程的分布函数和概率密度：,随机过程的统计性质可以由其分布函数和概率密度来描述,8,则称f1(x1, t1)为X(t)的一维概率密度函数。显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，而没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系。 ,任给两个时刻t1, t2T，则随机变量X(t1)和X(t2)构成一个二元随机变量X(t1), X(t2)，称 F2(x1,x2,t1,t2)=PX(t1)x1,X(t2)x2 为随机过程X(t)的二维分布函数。,如果F1(x1, t1)对x1的偏导数存在,9,则称 为X(t)的二维概率密度函数。,2,如果存在:,X(t)的n维概率密度:,同理，X(t)的n维分布函数:,10,如果对于X(t)任意时刻和任意n都给定了分布函数或概率密度，即n越大，对随机过程统计特性的描述就越充分，但问题的复杂性也随之增加。在一般实际问题中，掌握二维分布函数就已经足够了。,11,2、随机过程的数字特征,分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性, 但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。,（1） 数学期望（均值）,（2） 方差,12,均值和方差都只与随机过程的一维概率密度函数有关，因而它们描述了随机过程在各个孤立时刻的特征。为了描述随机过程在两个不同时刻状态之间的联系， 还需利用二维概率密度引入新的数字特征。,13,（3） 自相关函数,（4） 自协方差函数,（5） 归一化协方差函数,和 等于0，则称X(t1)，X(t2)不相关 。,14,3、 两随机过程的联合分布函数和数字特征,X(t)和Y(t)是两个随机过程,（1） 联合分布函数和概率密度,15,若X(t)和Y(t)是两个相互独立随机过程,则,上式是X(t)和Y(t)是两个相互独立的充要条件,（2） 两个随机过程的数字特征,互相关函数：,互协方差函数：,互协方差函数0，则X(t)和Y(t)不相关,X(t)和Y(t)独立与不相关的关系？,独立，必不相关，反之，未必！,正态随机过程，独立与不相关等价,16,3.3平稳随机过程,1、严(狭义)平稳随机过程定义 随机过程X(t),若对于任意n和任意选定t1,t2,tn, 以及任意的，有 pn(x1, x2, , xn; t1, t2, , tn)=pn(x1, x2, , xn; t1+, t2+, , tn+） 定义说明:当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维概率密度函数或分布函数是不变的，具体到它的一维分布, 则与时间t无关，而二维分布只与时间间隔有关，即：,平稳随机过程是在通信系统中占重要地位的一种特殊而又广泛应用的随机过程。,17,2、严平稳随机过程的数字特征,（1） 数学期望（均值）:与时间无关,（2） 方差：与时间无关,18,（3） 自相关函数（与时间间隔有关）,（4） 自协方差函数（与时间间隔有关）,3、宽(广义)平稳随机过程(定义):,若X(t)的数学期望为常数，自相关函数只与时间间隔有关，则称X(t)为宽(广义)平稳随机过程,严平稳一定是宽平稳，反之，不一定，对正态随机过程，二者等价,不加特殊说明，平稳过程均指宽平稳,19,注意： 通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。以后讨论的随机过程除特殊说明外，均假定是平稳的， 且均指广义平稳随机过程， 简称平稳过程。 ,20,4、联合宽平稳随机过程,若X(t)，Y(t)是平稳随机过程，且,则称X(t)，Y(t)是联合宽平稳随机过程。,21,5、平稳随机过程相关函数的性质,条件：X(t)是实平稳随机过程。,若X(t)是电流或电压，则X2(t)是它在1欧姆电阻上的瞬时功率(t时刻)，而RX(0)是其统计平均功率(与t无关)。,(4) 若X(t)=X(t+T)，即为周期是T的随机过程,(5) 一般当|，X(t)与X(t+)相互独立，所以,X(t)的直流功率,X(t)的交流功率,若均值为0，则方差？,22,6、各态历经性（遍历性）,有种平稳随机过程，它的数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的数字特征（均为时间平均）来替代。也就是说，假设x(t)是平稳随机过程X(t)的任意一个实现，它的时间均值和时间相关函数分别为,23,如果：,“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，我们无需（实际中也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。,则称该平稳随机过程具有各态历经性。,均值遍历过程,自相关遍历过程,24,注意：具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。 如果不加特别说明，遍历过程即宽遍历过程。,强调：对于遍历过程，只要根据其一个样函数，便可得到其数字特征。,25,7、平稳随机过程的功率谱密度,随机过程中的任一实现是一个确定的功率型信号。而对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度为,随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。,FT()是x(t)的截短函数xT(t)所对应的频谱函数。我们可以把x(t)看成是平稳随机过程X(t)中的任一实现，因而每一实现的功率谱密度也可用上式来表示。,26,功率信号x(t)及其截短函数xT(t),27,由于X(t)是无穷多个实现的集合，哪一个实现出现是不能预知的，因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看做是任一实现的功率谱的统计平均，即,PX()就被称为随机过程X(t)的功率谱密度。,28,8、维纳辛钦定理,平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度的关系,平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度互为傅立叶变换，即：,著名的维纳辛钦定理！,29,9、平稳随机过程功率谱密度的性质,(4) 若X(t)是实平稳随机过程，则RX()和PX()均为偶函数。,另外的变换关系？课本P43,是X(t)在1电阻上的平均功率,单边功率谱定义：,30,例3.3.1,并判断是否是广义平稳？,已知X(t)sin(0t+)，其中0为常数，为均匀分布的随机变量，其概率密度为：,31,X(t)的自相关函数为：,解：先考察是否是宽平稳过程，条件？,结论：宽平稳！,32,3.4高斯随机过程（正态）,1.定义：若一随机过程的任意n维（n=1, 2, ）概率密度都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。公式见P44。,2.性质：,（1）高斯过程的宽平稳和严平稳是一致的。,（2）对于正态随机过程的任何两个时刻的随机 变量，不相关也就是统计独立。,3.一维正态分布：,一维正态概率密度表示式：,33,一维正态概率密度曲线,34,一维正态概率密度性质：,(2)p(x)对称于x=a,说明：a表示分布中心，表示集中程度，p(x)图形将随着的减小而变高和变窄。当a=0，=1时，称p(x)为标准正态分布的密度函数。,35,这个积分无法用闭合形式计算，我们要设法把这个积分式和可以在数学手册上查出积分值的特殊函数联系起来，一般常用以下几种特殊函数： ,正态分布函数：,36,（1） 误差函数和互补误差函数。 误差函数的定义式为,误差函数erf(x)是自变量的递增函数 erf(0)=0，erf()=1，且erf(-x)=-erf(x) 1-erf(x)为互补误差函数，记为erfc(x), 即,互补误差函数erfc(x)是自变量的递减函数，erfc(0)=1，erfc()=0，且erfc(-x)=2-erfc(x)。当x1时（实际应用中只要x2)即可近似有：,37,（2） 概率积分函数和Q函数。 概率积分函数定义为,Q函数是一种经常用于表示高斯尾部曲线下的面积的函数，其定义：,正态分布函数和概率积分函数的关系：,38,用误差函数或互补误差函数表示F(x)的好处是:它简明的特性有助于今后分析通信系统的抗噪声性能。,39,3.5平稳随机过程通过线性系统,随机过程通过系统（或网络）后，输出过程将是什么样的过程？,这里，我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。 随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线性系统的分析原理的基础之上的。,线性系统的响应y(t)等于输入信号x(t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即,将线性系统输入信号x(t)换成随机过程X(t)，则输出信号则为随机过程Y(t)，即,40,将线性系统输入信号x(t)换成随机过程X(t)，则输出信号y(t)变为随机过程Y(t)，即,41,1. 输出随机过程Y(t)的均值,设EX(t)，且系统稳定,H(0)=?,42,2. 输出随机过程Y(t)的自相关函数,结论：平稳随机过程！,为什么？,43,3. X(t)和Y(t)的互相关函数与互功率谱密度,定义：X(t)和Y(t)的互功率谱密度是其互相关函数的傅立叶变换,44,定义：X(t)和Y(t)的互功率谱密度是其互相关函数的傅立叶变换，即：,4. Y(t)的功率谱密度,45,十分有用的一个重要公式！想得到输出过程的自相关函数Ro()时，比较简单的方法：先计算出功率谱密度Po()，然后求其反变换，这比直接计算Ro()要简便得多。,例题：带限白噪声。试求功率谱密度为n0/2的白噪声通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为,46,解：,47,带限白噪声的功率谱和自相关函数,48,H=2fH。由此可见，带限白噪声只有在=k/2fH (k=1, 2, 3, )上得到的随机变量才不相关。它告诉我们，如果对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不相关的随机变量。这是一个很重要的概念。,5. 输出过程Y(t)的概率密度,带限白噪声的自相关函数Ro()在=0 处有最大值，这是带限白噪声的平均功率!,结论：,(1)若X(t)是正态随机过程，Y(t)也是正态随机过程,(2)若X(t)的带宽远大于系统带宽，则Y(t)趋于高斯过程（正态过程）,49,据此可以确定输出过程的分布。如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。 ,输出过程在任一时刻得到的每一随机变量，都是无限多个高斯随机变量之和。由概率论得知，这个“和”的随机变量也是高斯随机变量。这就证明，高斯过程经过线性系统后其输出过程仍然为高斯过程,注意：由于线性系统的介入，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。,50,信号在信道中传输时， 常会遇到这样一类噪声， 它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内：,高斯白噪声,这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过程。 式中n0为一常数，单位是瓦/赫。显然，白噪声的自相关函数可借助于下式求得，即,51,高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。,这说明，白噪声只有在=0时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。,如果白噪声又是高斯分布的， 我们就称之为高斯白噪声。,理论分析的重要模型,52,3.6窄带随机过程,1、窄带随机过程的定义：随机过程通过以fc为中心频率的窄带系统的输出，即是窄带随机过程。所谓窄带系统，是指其通带宽度ffc，且fc远离零频率的系统。,实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪声又是随机的，则称它们为窄带随机过程。如用示波器观察一个实现的波形，则如图所示，它是一个频率近似为fc，包络和相位随机缓变的正弦波。,53,图2-6 窄带过程的频谱和波形示意,54,2、窄带随机过程的表示式(3种),55,3.窄带平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度,（1）Z(t)的自相关函数与功率谱密度,56,（2）复包络XL(t)的自相关函数与功率谱密度,57,解析信号和复包络的率谱密度,58,（3）Xc(t) Xs(t)的统计特性,（b）若X(t)是高斯过程，则Xc(t)和Xs(t)也是高斯过程。,（a）若EX(t)0，则EXc(t)0 ，EXs(t)=0,（c）若X(t)是宽平稳过程，Xc(t) Xs(t)是联合宽平稳过程：即它们的互相关函数只与有关。,59,（d）X(t)、Xc(t) 、Xs(t)的方差是相等的：,60,61,结论：均值为0的窄带高斯平稳随机过程，其同相分量Xc(t)和正交分量Xs(t)也是高斯平稳过程，且均值为0，方差等于X(t)的方差，在同一时刻Xc(t)和Xs(t)相互独立。,62,（4）Xc(t) ,Xs(t)，a(t),(t)的概率密度,（a）Xc(t)，Xs(t)的联合概率密度（独立）,63,（b）a(t)， (t)的联合概率密度,64,（b）a(t)， (t)的联合概率密度,65,(5)窄带平稳高斯噪声通过相干解调器,66,67,注意：nc(t)，ns(t)，n0(t)的带宽相同，同为m，计算功率时需要考虑2m！,68,3.7余弦波加窄带平稳高斯随机过程,69,70,R(t)和(t)的联合概率密度,莱斯分布或广义瑞利分布,零阶修正贝塞尔函数,71,引入归一化变量和信噪比：,上式称为莱斯分布或广义瑞利分布的标准形式！,72,标准广义瑞利分布,（1）a=0时，为瑞利分布,（2）a1时，在v=a附近，近似高斯分布（即A,大信噪比时）,73,3.8匹配滤波器,匹配滤波器是保证输出信噪比最大的线性滤波器。,匹配滤波器在数字通信理论、信号最佳接收理论以及雷达信号的检测理论等方面均具有重要意义。,74,1、匹配滤波器的定义,n(t)：均值为0的白噪声，双边功率谱为,n0(t)：n(t)的响应，是一个随机过程,定义：我们称保证在某时刻t0输出信号s0(t0)的瞬时功率与输出噪声n0(t)的平均功率之比(输出信噪比最大的线性滤波器为信号s(t)的匹配滤波器。,75,说明1：在相同条件下(输入相同)，不同滤波器的输出信噪比不一样，能够保证在tt0抽样时刻输出信噪比最大的滤波器就是匹配滤波器。所以匹配滤波器又称为保证最大输出信噪比的最佳线性滤波器。,说明2：只有当n(t)是白噪声时，可以保证输出信噪比最大的滤波器才被称为匹配滤波器；当n(t)不是白噪声时，可以保证输出信噪比最大的滤波器被称为广义匹配滤波器。,76,2、匹配滤波器的传递函数与单位冲激响应,目标：寻找能够保证在t=t0抽样时刻的输出信噪比最大的H()和h(t),77,在t=t0抽样时刻，滤波器输出为,在t=t0抽样时刻，滤波器输出的输出信噪比为,问题：如何求得n0(t)的平均功率？,利用功率谱密度！,n0(t)的功率谱密度如何求得？,n0(t)的平均功率：,78,匹配滤波器的输出信噪比为：,分析：S()是输入，做为已知条件出现！,方法：,分析：H() 是满足r0最大的待求量,许瓦尔兹不等式！,79,对于任意复函数：,存在下列不等式：,有下述关系式：,80,说明1：其中E是信号s(t)的