2019届高考数学二轮复习专题突破训练（二）导数与方程文.docx

专题突破训练(二)导数与方程时间 /45分钟分值 /72分基础热身1.(12分)已知函数f(x)=lnx.(1)若函数g(x)=f(x)-ax+12x2有两个极值点,求实数a的取值范围;(2)若关于x的方程f(x)=m(x+1),mZ有实数解,求整数m的最大值.2.(12分)2018芜湖二模 已知函数f(x)=x3-alnx(aR).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)在区间(1,e上存在两个不同零点,求实数a的取值范围.能力提升3.(12分)2018长春模拟 已知函数f(x)=lnx,g(x)=x+m(mR).(1)若f(x)g(x)恒成立,求实数m的取值范围;(2)已知x1,x2是函数F(x)=f(x)-g(x)的两个零点,且x1x2,求证:x1x20),由题意得方程x2-ax+1=0有两个不相等的正实数根,即=a2-40,x1+x2=a0,x1x2=10,解得a2.(2)方程lnx=m(x+1)有实数解,即m=lnxx+1有实数解,记函数h(x)=lnxx+1(x0),则h(x)=x+1x-lnx(x+1)2.令(x)=x+1x-lnx(x0),则(x)=-1x2-1x0,(e2)=1e2-10,h(x)单调递增,当x(x0,+)时,h(x)0).若a0,则f(x)0,此时函数f(x)在(0,+)上单调递增.若a0,则令f(x)=3x3-ax=0,得x=3a3,当x0,3a3时,f(x)0,函数f(x)在3a3,+上单调递增.(2)由题意知方程a=x3lnx在区间(1,e上有两个不同实数解,即直线y=a与函数g(x)=x3lnx(x(1,e)的图像有两个不同的交点.因为g(x)=x2(3lnx-1)(lnx)2(x(1,e),令g(x)=0得x=3e.所以当x(1,3e)时,g(x)0,g(x)在(3e,e上单调递增.所以g(x)min=g(3e)=3e,而g(e127)=e327ln e127=27e1927,且g(e)=e30),当x1时,F(x)0,当0x0,所以F(x)在(1,+)上单调递减,在(0,1)上单调递增,所以F(x)在x=1处取得极大值,也是最大值,最大值为-1-m.若f(x)g(x)恒成立,则-1-m0,即m-1.(2)证明:由(1)可知,若函数F(x)=f(x)-g(x)有两个零点,则m-1,0x11x2.要证x1x21,只需证x2F1x1,由F(x1)=0,得m=lnx1-x1,又F(x2)=0,所以只需证ln1x1-1x1-m=ln1x1-1x1+x1-lnx10.令h(x)=-1x+x-2lnx(0x0,所以h(x)在(0,1)上单调递增,h(x)h(1)=0,所以x1x21.4.解:(1)令(x)=lnx+1x,由题意知(x)的图像与直线y=a有两个交点.(x)=-lnxx2,令(x)=0,得x=1.当0x0,(x)在(0,1)上单调递增;当x1时,(x)0,(x)在(1,+)上单调递减.所以(x)max=(1)=1.当x0时,(x)-,所以当x(0,1)时,(x)(-,1).当x+时,(x)0,所以当x(1,+)时,(x)(0,1).综上可知,当且仅当a(0,1)时,直线y=a与(x)的图像有两个交点,即函数f(x)有两个零点.(2)因为函数g(x)有两个极值点,所以g(x)=lnx+1-ax=0,即lnx+1x-a=0有两个不同的正根x1,x2,不妨设x1x2.由(1)知,0x11x2,0a1,且当x(0,x1)时,g(x)0,当x(x2,+)时,g(x)0,所以函数g(x)在(0,x1),(x2,+)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,故g(x1)g(1)=0.又当x0时,g(x)a20,当x+时,g(x)-,所以函数g(x)有三个零点.5.解:(1)f(x)=1-aex.当a0时,f(x)0,f(x)在(-,+)上为增函数,所以函数f(x)无极值.当a0时,令f(x)=0,得x=lna.当x(-,lna)时,f(x)0.所以f(x)在(-,lna)上单调递减,在(lna,+)上单调递增,故f(x)在x=lna处取得极小值,且极小值为f(lna)=lna-1,无极大值.综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a0,f(x)在x=lna处取得极小值lna-1,无极大值.(2)当a=1时,f(x)=x-2+1ex.直线l:y=kx-2与曲线y=f(x)没有公共点等价于关于x的方程kx-2=x-2+1ex在R上没有实数解,即关于x的方程(k-1)x=1ex(*)在R上没有实数解.当k=1时,方程(*)可化为1ex=0,在R上没有实数解,符合题意.当k1时,方程(*)可化为1k-1=xex.令g(x)=xex,则有g(x)=(1+x)ex,令g(x)=0,得x=-1.当x变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表:x(-,-1)-1(-1,+)g(x)-0+g(x)-1e所以当x=-1时,g(x)min=-1e,又当x+时,g(x)+,所以g(x)的取值范围为-1e,+.所以当1k-1-,-1e时,方程(*)无实数解,故k的取值范围是(1-e,1).综上,k的取值范围是(1-e,1,即k的最大值为1.6.解:(1)设切点坐标为(x0,g(x0),因为g(x)=3(x-1)2,所以g(x0)=3(x0-1)2,由题知g(x0)-0x0-13=g(x0),即(x0-1)3x0-13=3(x0-1)2,可得(x0-1)3=(3x0-1)(x0-1)2,即x0(x0-1)2=0,所以x0=0或x0=1.当x0=0时,g(x0)=3,切线l的方程为y-0=3x-13,即3x-y-1=0;当x0=1时,g(x0)=0,切线l的方程为y-0=0x-13,即y=0.综上所述,切线l的方程为3x-y-1=0或y=0.(2)由3af(x)=g(x)得3af(x)-g(x)=0,即a(x-2)ex+(x-1)2=0,设h(x)=a(x-2)ex+(x-1)2,则h(x)=a(x-1)ex+2(x-1)=(x-1)(aex+2),由题意得函数h(x)有两个不同的零点.当a=0时,h(x)=(x-1)2,此时h(x)只有一个零点,不符合题意.当a0时,由h(x)0得x0得x1,即h(x)在(-,1)上为减函数,在(1,+)上为增函数,而h(1)=-ae0,所以h(x)在(1,+)上有唯一的零点,且该零点在(1,2)上.若a12,则ln12a0,取bln12ahln12a=12ln 12a-2+ln 12a-12=ln12aln 12a-320,所以h(x)在(-,1)上有唯一的零点,且该零点在(b,1)上.若00时,h(x)有两个不同的零点,符合题意.当a0时,由h(x)=0,得x=1或x=ln-2a.若a=-2e,则h(x)=-2e(x-1)(ex-e)0,所以h(x)至