中考专题--几何综合之旋转专题.docx

第四讲 旋转专题例题1. 点在同一直线上，点在直线的同侧，直线交于点.（1）如图，若，则_；如图，若，则_；（2）如图，若，则_（用含的式子表示）；（3）将图中的绕点旋转（点不与点重合），得图或图.在图中，与的数量关系是_；在图中，与的数量关系是_.请你任选其中一个结论证明.思路点拨 从特殊到一般，在动态的旋转过程中，有两组不变的关系：，这是解本例的关键.例2.如图1，是等腰直角三角形，四边形是正方形，、分别在、边上，此时，成立（1）当正方形绕点逆时针旋转（）时，如图2，成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（2）当正方形绕点逆时针旋转时，如图3，延长交于点求证：；当，时，求线段的长例3. 在正方形的边上任取一点，作交于点，取的中点，连接，如图，易证且.（1）将绕点逆时针旋转，如图，则线段和有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想.（2）将绕点逆时针旋转，如图，则线段和有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.例4. 如图，在等边中，点是边的中点，点是线段上的动点（点与点不重合），连接.将绕点按顺时针方向旋转角（），得到，连接，射线分别交射线、射线于点.（1）如图，当时，在角变化过程中，与始终存在_关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；（2）如图，设.当时，有角变化过程中，是否存在与全等？若存在，求出与之间的数量关系；若不存在，请说明理.（3）如图，当时，点与点重合.已知，设，的面积为，求关于的函数关系式.例5. 将两块全等的直角三角形纸片ABC和DEF叠放在一起，其中ACB=E=90，BC=DE=6，AC=FE=8，点D与边AB的中点重合，将DEF绕着点D旋转（1）如图1，如果EDF的边DE经过点C，另一边DF与边AC交于点G，求GC的长；（2）如图2，如果EDF的边DF、DE分别交边BC于点M、N，设CN=x、BM=y，求y关于x的函数解析式，并求它的定义域；（3）如图3，如果EDF的边DF、DE分别交边AC于点M、N，如果DMN是等腰三角形，求AN的值例6. 已知，直角三角形ABC中，C=90，点D、E分别是边AC、AB的中点，BC=6（1）如图1，动点P从点E出发，沿直线DE方向向右运动，则当EP=时，四边形BCDP是矩形；（2）将点B绕点E逆时针旋转如图2，旋转到点F处，连接AF、BF、EF设BEF=，求证：ABF是直角三角形；如图3，旋转到点G处，连接DG、EG已知BEG=90，求DEG的面积例7.如图1，点O为正方形ABCD的中心（1）将线段OE绕点O逆时针方向旋转90,点E的对应点为点F，连结EF，AE，BF，请依题意补全图1；（2）根据图1中补全的图形，猜想并证明AE与BF的关系；（3）如图2，点G是OA中点，EGF是等腰直角三角形，H是EF的中点，EGF=90，AB=22，GE=2，EGF绕G点逆时针方向旋转角度，请直接写出旋转过程中BH的最大值例8. 如图1，在ABC中，CA=CB，ACB=90，D是ABC内部一点，ADC=135，将线段CD绕点C逆时针旋转90得到线段CE，连接DE（1）依题意补全图形；请判断ADC和CDE之间的数量关系，并直接写出答案（2）在（1）的条件下，连接BE，过点C作CMDE，请判断线段CM，AE和BE之间的数量关系，并说明理由（3）如图2，在正方形ABCD中，AB=2，如果PD=1，BPD=90，请直接写出点A到BP的距离例9.如图1，在ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为（0180）（1）当BAC=60时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上若CDP=120，则ACDABD（填“”、“=”、“”），线段BD、CD与AD之间的数量关系是；（2）当BAC=120时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若CDP=60，求证：BDCD=3AD；（3）将图3中的BP继续旋转，当30180时，点D是直线BP上一点（点P不在线段BD上），若CDP=120，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（不必证明）例10.已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90得到线段AE，连接CE求证：BD=CE，BDCE（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，探究AD、BD、CD三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由；（3）若BD=3CD，直接写出BAD的度数例11.如图1，在ABC中，ACB=90，AC=BC，EAC=90，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D（1）直接写出NDE的度数；（2）如图2、图3，当EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图4，若EAC=15，ACM=60，直线CM与AB交于G，BD=6+22，其他条件不变，求线段AM的长例12.已知正方形ABCD和正方形EBGF共顶点B，连AF，H为AF的中点，连EH，正方形EBGF绕点B旋转（1）如图1，当F点落在BC上时，求证：EH=12FC；（2）如图2，当点E落在BC上时，连BH，若AB=5，BG=2，求BH的长；（3）当正方形EBGF绕点B旋转到如图3的位置时，求EHCF的值例13.已知正方形和等腰，按图甲放置，使点在上，取 的中点，连接 探索的数量关系和位置关系，并说明理由； 将图甲中绕点顺时针旋转得图乙，连接，取的中点，问中的结论是否成立？并说明理由； 将图甲中绕点转动任意角度（旋转角在到之间）得图丙，连接，取的中点，问中的结论是否成立，请说明理由例14.如图，ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DEAB，将CDE绕点C按顺时针方向旋转得到CDE（使BCE180），连接AD、BE，设直线BE与AC、AD分别交于点O、E（1）若ABC为等边三角形，则ADBE的值为1，求AFB的度数；（2）若ABC满足ACB=60，AC=3，BC=2，求ADBE的值和AFB的度数；若E为BC的中点，求OBC面积的最大值例15.已知，在中，过点的直线从与边重合的位置开始绕点按顺时针方向旋转角，直线交边于点（点不与点、点重合），的边始终在直线上（点在点的上方），且，连接（1）当时，如图a，当时，的度数为_；如图b，当时，中的结论是否发生变化？说明理由；（2）如图c，当时，请直接写出与之间的数量关系，不必证明例16.两个大小相同且含30角的三角板和如图摆放，使直角顶点重合将图中绕点逆时针旋转30得到图，点、分别是、与的交点，点是与的交点（1）不添加辅助线，写出图中所有与全等的三角形；（2）将图中的绕点逆时针旋转45得，点、对应点分别为、，如图探究线段与之间的数量关系，并写出推理过程；（3）在（2）的条件下，若与交于点，求证：例17.如图1，在中，点为边中点，直线绕顶点旋转，若点，在直线的异侧，直线于点直线于点，连接，（1）延长交于点（如图2）求证：；求证：；（2）若直线绕点旋转到图3的位置时，点，在直线的同侧，其它条件不变，此时还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若直线绕点旋转到与边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形的形状及此时还成立吗？不必说明理由例18.已知是等腰直角三角形，是边上一动点（、两点除外），将绕点按逆时针方向旋转角得到，其中点是点的对应点，点是点的对应点（1）如图1，当时，是边上一点，且，连接求证：；（2）如图2，当时，与相交于点当点与点、不重合时，连接，求的度数；设为边的中点，当从变化到时，求点运动的路径长例19.已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF设CE=a，CF=b（1）如图1，当EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；（2）当AEF是直角三角形时，求a、b的值；（3）如图3，探索EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由例20. 已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点.（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）.（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当OFE=30时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明. 例21. 在ABC中，AB=AC，A=60，点D是线段BC的中点，EDF=120，DE与线段AB相交于点EDF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F（1）如图1，若DFAC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F求证：BE+CF=AB；（3）如图3，将（2）中的EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，作DNAC于点N，若DNAC于点N，若DN=FN，求证：BE+CF=（BECF）例22. 在ABC中，AB=BC=2，ABC=90，BD为斜边AC上的中线，将ABD绕点D顺时针旋转（0180）得到EFD，其中点A的对应点为点E，点B的对应点为点FBE与FC相交于点H（1）如图1，直接写出BE与FC的数量关系： ；（2）如图2，M、N分别为EF、BC的中点求证：MN=；（3）连接BF，CE，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF、CE与AC之间的数量关系： 例23.如图1，在菱形ABCD中，AC=6，BD=6，AC，BD相交于点O （1）求边AB的长；（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60角的两边分别于边BC，CD相交于E，F，连接EF与AC相交于点G判断AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；旋转过程中是否存在线段EF最短，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由例24.在RtABC中，A=90，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，若等腰RtADE绕点A逆时针旋转，得到等腰RtAD1E1，设旋转角为（0180），记直线BD1与CE1的交点为P（1）如图1，当=90时，线段BD1的长等于 ，线段CE1的长等于 ；（直接填写结果）（2）如图2，当=135时，求证：BD1=CE1，且BD1CE1；（3）求点P到AB所在直线的距离的最大值（直接写出结果）例25.在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在RtPMN中，MPN=90（1）如图1，若点P与点O重合且PMAD、PNAB，分别交AD、AB于点E、F，请直接写出PE与PF的数量关系；（2）将图1中的RtPMN绕点O顺时针旋转角度（045）如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；如图2，在旋转过程中，当DOM=15时，连接EF，若正方形的边长为2，请直接写出线段EF的长；如图3，旋转后，若RtPMN的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BD=mBP时，请直接写出PE与PF的数量关系例26.如图，QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，QPN=，将QPN绕点P旋转，旋转过程中QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）（1）如图，当=90时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是 ；（2）如图，将图中的正方形ABCD改为ADC=120的菱形，其他条件不变，当=60时，（1）中的结论变为DE+DF=AD，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明例27. 如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC若ABC=BEF=60（1）请直接写出线段PG与PC的位置关系及的值（2）若将图1中的菱形BEFG饶点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变，如图2那么你在（1）中得到的结论是否发生变化？若没变化，直接写出结论，若有变化，写出变化的结果（3）在图1中，若ABC=BEF=2（090），将菱形BEFG饶点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请直接写出的值（用含的式子表示）例28.如图所示，在和中，AB=AC,AD=AE,，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点（1）求证：BE=CD；AMN是等腰三角形；（2）在图的基础上，将ADE绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图中延长ED交线段BC于点P求证：PBDAMN例29.如图1，和都是等腰直角三角形，点在线段上，点在线段上（1）请直接写出线段与线段的关系：_；（2）如图2，将图1中的绕点顺时针旋转角（），（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；当时，探究在旋转的过程中，是否存在这样的角，使以、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角的度数；若不存在，请说明理由例30.如图，在中，.将直角三角板的直角顶点放在线段的中点上，以点为旋转中心，转动三角板并使三角板的两直角边分别与相交于点，连，交于点.（1）求证：；（2）设线段的长为，的面积为，求与的函数关系式；（3）当三角板旋转到时，求的长.例31. 如图，中，于点，点在上，且，连结（1）求证：；（2）将绕点旋转，得到（点，分别与点，对应），连接如图，当点落在上时，（不与重合），若，求的长；如图，当是由绕点逆时针旋转得到时，设射线与相交于点，连接，试探究线段与之间满足的等量关系，并说明理由例32. 如图1，在四边形中，点、分别是、的中点，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接、，且（1）求证：；（2）求证：；（3）如图2，若、所在直线互相垂直，求的值例33. 已知是等腰直角三角形，连接，点是的中点（1）如图1，若点在边上，连接，当时，求的长；（2）如图2，若点在的内部，连接，点是中点，连接，求证：；（3）如图3，将图2中的绕点逆时针旋转，使，连接，点是中点，连接，探索的值并直接写出结果例34. 已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）求证：EG=CG；（2）将图中BEF绕B点逆时针旋转45，如图所示，取DF中点G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）例35. 如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM（1）求证：AMBENB；（2）当M点在何处时，AM+CM的值最小；当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长例36. 如图甲，在ABC中，ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF解答下列问题：（1）如果AB=AC，BAC=90，当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF，BD之间的位置关系为，数量关系为当点D在线段BC的延长线时，如图丙，中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果ABAC，BAC90，点D在线段BC上运动试探究：当ABC满足一个什么条件时，CFBC（点C，F重合除外）画出相应图形，并说明理由（画图不写作法）（3）若AC=4，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值例37. 已知：在ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD探究下列问题：（1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且ACB=60，则CD=；（2）如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且ACB=90，则CD=；（3）如图3，当ACB变化，且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的ACB的度数例38. 在ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DEAB，将CDE绕点C按顺时针方向旋转得到CDE（使BCE180），连接AD、BE，设直线BE与AC交于点O（1）如图1，当AC=BC时，AD：BE的值为；（2）如图2，当AC=5，BC=4时，求AD：BE的值；（3）在（2）的条件下，若ACB=60，且E为BC的中点，求OAB面积的最小值例39. 将绕点按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的倍，得，即如图，.我们将这种变换记为，.(1) 如图，对作变换60，得，则_ ；直线与直线所夹的锐角为 度(2) 如图，中，对作变换，得，使点，在同一直线上，且四边形为矩形，求和的值。(3) 如图，中，对作变换，得，使点，在同一直线上，且